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1、高等数学期末复习 第九章多元函数微分学 一 内容要求 1 会求简单二元函数定义域 2 会求多二元函数表达式和值 3 会求简单二元函数的极限 4 掌握二元函数偏导数定义 性质 能确识别二元函数偏导数定义形式 得出偏导数正确表达 5 会求二元函数偏导数值 求偏导函数 代入点求值 6 会求二元函数微分值 求偏导函数 代入点求微分表达式 7 会按一元函数求导法则求直接函数的偏导数 8 会由轮换对称性确定多元函数对称元导数 9 会用链式规则求抽象形式多元函数的偏导数 10 会求多元函数全微分 11 会求多元隐函数的偏导数 12 会求二元函数驻点 判定二元函数极值的存在性 13 能观察出简单多元函数极值情
2、况 14 能应用多元函数求极值方法解决简单应用问题 15 会求空间曲面的切平面 法线方程 16 会求空间曲线的切线 法平面方程 17 会求多元函数的方向导数 18 会求多元函数的梯度 二 例题习题 1 二元函数 x y zarcsin的定义域是 A xyyxB 0 xxyyx C 0 xxyyxD 0 xxyyx 解 使函数 x y zarcsin有意义 只要 1 0 y x x 即 0yxx 所以 选B 内 容要求 1 2 函数 22 1 ln f x yxy xy 的定义域为 解 使 函 数 22 1 ln f x yxy xy 有 意 义 只 要 22 0 0 xyxy 所 以 填 22
3、 0 0 x yxyxy 内容要求1 3 设 22 fxy xyxy则 f x y A 22 xy B 22 xy C 2 xy D xy 解 令 uxy vxy 则 22 uvuv xy 于是 22 f xy xyxy f u vuv 即由函数与自变量记号选取无关性有 f x yxy 所以选 D 内容要求2 4 设 22 2 xy fx y xy 则 2 3 f 解 4913 2 3 1212 f 所以填 13 12 内容要求2 5 0 0 11 lim x y xy xy A 2 1 B 4 1 C 1D 0 解 0 0 0 0 0 0 11 11 1 1 11 2 11 11 limli
4、mlim x yx yx y xyxyxy xy xyxyxy 所以选 A 内容要求3 6 0 0 sin lim x y xy x 解 0 0 0 0 0 0 0 0 sinsinsin limlim limlim0 x yx yx yx y xyxyxy yy xxyxy 所以填 0 内容要求3 7 2 0 sin lim x y xy y 解 2 0 2 0 2 0 sinsin limlimlim2 x yx yx y xyxy x yxy 所以填2 内容要求3 8 函数 yxf在点 0 0 处存在偏导数 则 x xff x 0 2 0 0 lim 0 A 0 0 2 1 x fB 0
5、 0 2 1 x fC 0 0 2 x fD 0 0 2 x f 解 由偏导数定义 00 0 0 2 0 2 0 0 0 lim2lim2 0 0 2 x xx ffxfxf f xx 所以选 C 内容要求4 9 函数 yxf在点 0 0 处存在偏导数 则 y yff y 2 0 0 0 lim 0 A 0 0 2 1 y fB 0 0 2 1 y fC 0 0 2 y fD 0 0 2 y f 解 由偏导数定义 00 0 0 0 1 0 0 0 1 limlim 0 0 222 y yy ffyfyf f yy 所以选 B 内容要求4 10 函数 yxf在点 00 yx处存在偏导数 则 x
6、yxxfyxf x lim 0000 0 A 00 yxf x B 00 yxfxC 00 yxf y D 00 yxf y 解 由偏导数定义 00000000 00 00 limlim x xx f xyf xx yf xx yf xy fxy xx 所以选 A 内容要求4 11 函数 yxf在点 00 yx处偏导数存在是 yxf在点 00 yx处连续的 A 充分必要条件B 必要条件C 充分条件D 既不充分也不必要条件 解 选 D 内容要求4 12 设函数 2 f x yxx y 则 1 1 y f A 1 B 2 C 1 2 D 3 解 2 y x fx y y 所以 1 1 1 2 y
7、f 所以选C 内容要求5 13 设 2 y z x 则 2 1 1 z x y A 2 B 1 C 2 D 1 解 22 22 2 zyzy xxx yx 所以 2 1 1 2 z x y 所以选 C 内容要求5 14 22 ln 1 zxy 则 1 2 d x y z 解 2222 22 11 zxzy xxyyxy 所以 11 22 12 33 xx yy zz xy 故 1 2 12 d 33 x y zdxdy 所以填 1 2 12 d 33 x y zdxdy 内容要求6 15 设 22 1 ln 1 2 zxy 则 1 1 d z 解 2222 11 zxzy xxyyxy 所以
8、11 11 11 33 xx yy zz xy 故 1 1 11 d 33 x y zdxdy 所以填 1 1 11 d 33 x y zdxdy 内容要求6 16 设 x y zarctan 则 x z A 22 2 yx x B 22 yx y C 22 1 yx D 22 yx y 解 222 2 1 1 zyy y xxxy x 所以选D 内容要求7 17 设sin y z x 则 z y A 1 cos y xx B 1 cos y xx C 2 cos yy xx D 2 cos yy xx 解 11 coscos zyy yxxxx 所以选A 内容要求7 18 设 22 sin
9、zxy 则 2 2 z x A 22 sin xy B 22 sin xy C 222 4sin xxy D 22222 2cos 4sin xyxxy 解 2 2222222 2 2 cos 2cos 4sin zz xxyxyxxy xx 所以选D 内容要求 7 19 设 x y zln 则 x z A y x B x y C y 1 D x 1 解 2 1 zxy xyxx 所以选D 内容要求7 20 设 y xyz 1 y z 解 1 1 ln 1 1 1 ln 1 1 yyy zx xyxxyxyxyxy yxy 所以填 1 ln 1 1 y x xyxy xy 内容要求7 21 若
10、函数 22 2xyxz 则 x z 解 2 4 z xy x 所以填 2 4xy 内容要求7 22 设 2 cos2 2y xz 验证02 2 2 2 yx z y z 解 2 2cos cos 2 1 2sin 2 sin 2 2 yzz zxxyxyxy xy 22 2 2cos 2 cos 2 zz xyxy x yy 将上述导数代入式子左端得0 所以等式成立 内容要求7 23 设 4422 4zxyx y 求 2222 22 zzzz xyx yy x 解 22 322 2 48 128 16 zzz xxyxyxy xxx y 由 x y在表达式中的对称性 22 2 2 128 16
11、 zz yxxy yy x 内容要求8 24 设 22 yxz 求 2 2 2 2 y z x z 解 222 2 222222 322 3 1 zxzxy xx xyxyxyxy 由 x y在表达式中的对称性 22 2 22 3 zx y xy 所以 22 22 22 1zz xy xy 内容要求8 25 设 ln yxz 求 y z y x z x 解 111 2 2 z x xyxyx 由 x y在表达式中的对称性 111 2 2 z y xyxyy 所以 1 2 zz xy xy 内容要求8 26 设 ln 22 yxz 求 yx z y z x z 2 2 2 2 2 解 22222
12、 22222222222222 224224 zxzxyxzxy xxyxxyxyxyx yxy 由 x y在表达式中的对称性 222 2222 22 zxy xxy 内容要求8 27 设 ln yx eez 验证 2 2 x z 2 2 y z 2 2 yx z 0 解 222 2222 xxxxyxy xyxyxyxyxy zezeeeze xeexeeeeeex yee 由 x y在表达式中的对称性 2 22 xy xy ze yee 将上述各导数代入式子左端得0 所以等式 成立 内容要求8 28 设tyxz 22 txsin tycos 求全导数 t z d d 解 2 cos2 si
13、n1 dz xtyt dt 内容要求9 29 ln zuv uxy vxy 求 zz xy 及全微分dz 解 lnln zuxy v yyxy xvxy lnln zuxy v xxxy yvxy 全微 分为 ln ln xyxy dzyxydxxxydy xyxy 内容要求9 30 设 22 zyfxy 其中f u可微 则 zz yx xy 解 2222 2 12 zz xfxyyfxy xy 所以 zz yxx xy 所以填x 内容 要求 9 31 设 22 xy zf xye 其中f有一阶连续偏导数 求 y z x z 解 1212 2 2 xyxy zz xfye fyfxe f xy
14、 量 内容要求9 设 22 xy zf xye 其中f有一阶连续偏导数 求 y z x z 解 1212 2 2 x yx yzz xfefyfef xy 内容要求9 yxxzzyfu有连续偏导数 求 z u y u x u 解 231312 uuu ffffff xyz 所以 0 uuu xyz 内容要求9 34 设 x zxy y 则z的全微分dz A 2 1 d d x yxxy yy B 2 1 d d x yxxy yy C 1 d d x yxxy yy D 11 d dyxxy yy 解 2 1 zzx yx xyyy 所以 2 1 d d d x zyxxy yy 所以选A 内
15、容要求 10 35 函数 ln yxz的全微分为 解 11 zz xxyyxy 所以 1 dzdxdy xy 所以填 1 dzdxdy xy 内 容要求 10 36 设0 y yxe 则 d d y x A 1 y y e xe B 1 y y e xe C 1 y y xe e D 1 y y xe e 解 00 1 y yyy y e yxeyexe yy xe 所以选 B 内容要求11 37 设 zz x y是由方程0 z exyz所确定的隐函数 则 z x A z yz exy B z yz exy C z xy eyz D z xy eyz 解 0 z z zzzyz eyzxy x
16、xxexy 所以选B 内容要求11 38 设 zz x y是由方程 3 30zxyz所确定的隐函数 则有 A zz xy xy B zz xy C zz xy D zz yx xy 解 2 2 3330 zzzyz zyzxy xxxzxy 同理 2 zxz yzxy 所以选A 内容 要求 11 39 设方程 z xyze确定了二元函数 zf x y 则 z x 解 1 1 1 z z zzz e xxxe 所以填 1 1 z e 内容要求11 40 设方程20 z xyez确定了二元函数 zf x y 则 z y 解 2 20 1 z z zzz e yyye 所以填 2 1 z e 内容要求11 41 设方程 z exyz确定了二元函数 yxz 则 y z 解 z z zzzxz xzxye yyyexy 所以填 z xz exy 内容要求11 42 设方程 222 40 xyzz确定了二元函数 yxz 则 y z 解 2240 2 zzzy yz yyyz 所以填 2 y z 内容要求11 43 设方程0sin zzxy确定了二元函数 yxz 则 x z 解 cos0 cos1
