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1、实变函数论实变函数论实变函数论第16 讲第四章4 依测度收敛( 一)1、给出鲁津定理的逆并证明鲁津定理逆：（1）定理 (Lusin) 设 mE 则 闭子集 使得1()Ffx）在上连续2( )mE F 若 闭子集 使得1()Ffx） 在 上连续2( )F 则 闭子集 使得1()Ffx） 在 上连续2( )mE F 要证： 为可测 集(| )0mE f = + =且而连续必可测需把F 扩大，把E-F缩小赋值于证明：由已知，1,(),nnnFE mEF fFn = 故0()Ef a 是零集的子集，可测11)( )nnfF Ffa=在 上连续必可测， （为可测集()Ef a从而 为可测集，fE所以 在
2、 上可测。010nnfF mE=又 在 上连续必有限，而fE所以 在 上几乎处处有限。1nn =对mE 则 可测子集E E,使得m(E-E ) 若 可测子集E E,使得m(E-E )=若总有 () () () ()nnf xE f x f x f xxE则称 在可测集 上依测度收敛于 ，记做 ，【注 1】 精确定义：() ()nf xfxxE，即0, 0, , ( | () ()| )nNZ nN mExfx fx + = =从而11()(| |0) (| |)0kmE f g mE f g m E f gk= = =只要证（ 1） 在 对等 前提下，度量收敛的函数列其极限函数唯一。2、依测度
3、收敛的基本性质（ 2） 度量收敛 的函数列，其 任一子列也收敛，且极限函数相同k,nf fxE不依测度收敛于 ， kk, ()()nnnffxE f x f x ffxE 则有， 设 。.nffx不依测度收敛于 ， 思考：由此性质，可以用什么方法来判断函数列在 E上不依测度收敛？找一列子列，则必有() () , () () . () () () ()nn nnf x f xEg x g xE f x g x f x g x +1、设 于 于 证明0,()()22nn n nEf g fg Ef f Eg g + + lim ( ) ( ) lim lim 022nn n nmE f g f g
4、 mE f f mE g g + + =证()()22nn n nmE f g f g mE f f mE g g + + 所以，思考：度量收敛列的和是否收敛？数乘，积，商？可测函数定义及性质（练习）一、判断正误1|()| ()fx E fx E、若 在 上可测，则 在 上可测。000,() , 1,2 .,1,2 .xx Efx E Exx E= 例如：函数 其中 是 中的不可测子集|()|fx x E= 为 上的连续函数必可测，分析：00, ( ( ) )aEfxaE=但对 不可测，fE所以 在 上不可测22() ()fx E fx E、若 在 上可测，则 在 上可测反例同上3、具有正测度
5、的集合上必有不可测函数分析110,mE E E E因为 所以存在 ， 不可测11110,ExExEE，令 = 1Ex则 ( )在E上不可测 110, ( 0)EaE E= =事实上,对 不可测 () , ( | () )fx E a a Exfx a + =4、若 在 上可测，则 ，有 可测 () () 0,1 ( | () () 1fx gx mExfx gx= =5、 与 在 几乎处处相等，则() , ( | () )fx E r QExfx r 1、 在 上可测 可测ar=证： 用定义，取, .nnnaR r r r a 于是11 ( ) ( ) ( ( ) Efx E gy R gfx2、(104页 )设 在 上可测， 在 连续，则 在 上可测,()aR Egf a 证： 需证 可测 () | () ,gy ygy ay R g a 因 连续, 所以 =R( )是开集(,)nnng aab有R( )() ) ( ( , ) ( )nn n nnEgf a Ef a b Ea f b =由 的可测性，知 可测二、求证函数可测：
