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1、2016届数学HW复习资料 2010-2015新课标全国卷分类汇编（解析几何） 解析几何2010-2015新课标全国卷分类汇编（解析几何）1.(2015课标全国，理5) 已知是双曲线上的一点，是的两个焦点，若,则的取值范围是（A) (B) (C) (D) 答案：A解析：由条件知F1(3，0)，F2(3，0)，MF1(3x0，y0)，MF2(3x0，y0)，MF1MF2x02+y0230.又x022-y021，x022y02+2.代入得y0213，33y033.2.(2015课标全国，理14)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 答案：x-322+y2254解析：由
2、条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为(4，0)，(0，2)，(0，2)，设圆心为(a，0)(a0)，所以(a-0)2+(0-2)24a，解得a32，故圆心为32，0，此时半径r43252，因此该圆的标准方程是x-322+y2254.3. (2015课标全国，理20)在直角坐标系中，曲线与直线交于两点。()当时，分别求在点和处的切线方程.()轴上是否存在点，使得当变动时，总有说明理由。解：(1)由题设可得M(2a，a)，N(2a，a)，或M(2a，a)，N(2a，a).又yx2，故yx24在x2a处的导数值为a，C在点(2a，a)处的切线方程为yaa(x2a)，即axya0.yx24在x2a处的导数
3、值为a，C在点(2a，a)处的切线方程为yaa(x+2a)，即ax+y+a0.故所求切线方程为axya0和ax+y+a0.5分(2)存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将ykx+a代入C的方程得x24kx4a0.故x1+x24k，x1x24a.从而k1+k2y1-bx1+y2-bx22kx1x2+(a-b)(x1+x2)x1x2k(a+b)a.当ba时，有k1+k20，则直线PM的倾角与直线PN的倾角互补，故OPMOPN，所以点P(0，a)符合题意.12分4.(2015课标全国，理7)过三点A(1，
4、3)，B(4，2)，C(1，7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|()A26B8C46D10答案：C解析：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F0，将点A，B，C代入，得D+3E+F+100，4D+2E+F+200，D-7E+F+500，解得D-2，E4，F-20.则圆的方程为x2+y22x+4y200.令x0得y2+4y200，设M(0，y1)，N(0，y2)，则y1，y2是方程y2+4y200的两根，由根与系数的关系，得y1+y24，y1y220，故|MN|y1y2|(y1+y2)2-4y1y216+8046.5. (2015课标全国，理11)已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，
5、ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为()A5B2C3D2答案：D解析：设双曲线的标准方程为x2a2-y2b21(a0，b0)，点M在右支上，如图所示，ABM120，过点M向x轴作垂线，垂足为N，则MBN60.ABBM2a，MN2asin 603a，BN2acos 60a.点M坐标为(2a，3a)，代入双曲线方程x2a2-y2b21，整理，得a2b21，即b2a21.e21+b2a22，e2.6(2015课标全国，理20)已知椭圆C：9x2+y2m2(m0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定
6、值;(2)若l过点m3，m，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形?若能，求此时l的斜率;若不能，说明理由.解：(1)设直线l：ykx+b(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM).将ykx+b代入9x2+y2m2得(k2+9)x2+2kbx+b2m20，故xMx1+x22-kbk2+9，yMkxM+b9bk2+9.于是直线OM的斜率kOMyMxM9k，即kOMk9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.(2)四边形OAPB能为平行四边形.因为直线l过点m3，m，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k0，k3.由(1)得OM的方程为y9kx
7、.设点P的横坐标为xP.由y-9kx，9x2+y2m2得xP2k2m29k2+81，即xPkm3k2+9.将点m3，m的坐标代入l的方程得bm(3-k)3，因此xMk(k-3)m3(k2+9).四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP2xM.于是km3k2+92k(k-3)m3(k2+9)，解得k147，k24+7.因为ki0，ki3，i1，2，所以当l的斜率为47或4+7时，四边形OAPB为平行四边形.7.(2014课标全国，理4)已知F为双曲线C：x2my23m(m0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为()A B3 C D3m答案：A解析：由题意，可得双
8、曲线C为，则双曲线的半焦距.不妨取右焦点，其渐近线方程为，即.所以由点到直线的距离公式得.故选A.8.(2014课标全国，理10)已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点若，则|QF|()A B3 C D2答案：B解析：如图，由抛物线的定义知焦点到准线的距离p|FM|4.过Q作QHl于H，则|QH|QF|.由题意，得PHQPMF，则有，|HQ|3.|QF|3.9.(2014课标全国，理20)已知点A(0，2)，椭圆E：(ab0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点
9、，当OPQ的面积最大时，求l的方程分析：(1)由过A(0，2)，F(c,0)的直线AF的斜率为或过两点的直线斜率公式可求c，再由，可求a，由b2a2c2可求b2，则椭圆E的方程可求(2)由题意知动直线l的斜率存在，故可设其斜率为k，写出直线方程，并与椭圆方程联立，消去y，整理成关于x的一元二次方程，利用弦长公式求出弦PQ的长|PQ|，利用点到直线的公式求出点O到直线PQ的距离d，则由，可将SOPQ表示成关于k的函数，转化为求函数f(k)的最大值问题注意k应使得一元二次方程的判别式大于0.解：(1)设F(c,0)，由条件知，得.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程为.(2)当lx轴时不合题意
10、，故设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将ykx2代入，得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即时，.从而.又点O到直线PQ的距离，所以OPQ的面积SOPQ.设，则t0，.因为，当且仅当t2，即时等号成立，且满足0.所以，当OPQ的面积最大时，l的方程为或.10.(2014课标全国，理10)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A B C D答案：D解析：由已知得，故直线AB的方程为，即.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立将代入并整理得，线段|AB|x1x2p12.又原点(0,0)到直
11、线AB的距离为.11.(2014课标全国，理16)设点M(x0,1)，若在圆O：x2y21上存在点N，使得OMN45，则x0的取值范围是_答案：1,1解析：如图所示，设点A(0,1)关于直线OM的对称点为P，则点P在圆O上，且MP与圆O相切，而点M在直线y1上运动，由圆上存在点N使OMN45，则OMNOMPOMA，OMA45，AOM45.当AOM45时，x01.结合图象知，当AOM45时，1x01，x0的范围为1,112.(2014课标全国，理20)设F1，F2分别是椭圆C：(ab0)的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离
12、心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a，b.分析：在第(1)问中，根据椭圆中a，b，c的关系及题目给出的条件可知点M的坐标，从而由斜率条件得出a，c的关系，再利用离心率公式可求得离心率，注意离心率的取值范围；在第(2)问中，根据题目条件，O是F1F2的中点，MF2y轴，可得a，b之间的一个关系式，再根据条件|MN|5|F1N|，可得|DF1|与|F1N|的关系，然后可求出点N的坐标，代入C的方程，可得a，b，c的另一关系式，最后利用a，b，c的关系式可求得结论解：(1)根据及题设知，2b23ac.将b2a2c2代入2b23ac，解得， (舍去)故C的离心率为.(
13、2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故，即b24a.由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|，设N(x1，y1)，由题意知y10，则即代入C的方程，得.将及代入得.解得a7，b24a28，故a7，.13.(2013课标全国，理4)已知双曲线C：(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为()Ay By Cy Dyx答案：C解析：，.a24b2，.渐近线方程为.14.(2013课标全国，理10)已知椭圆E：(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A B C D答案：D解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B在椭圆上，得，即，AB的中点为(1，1)，y1y22，x1x22，而kAB，.又a2b29，a218，b29.椭圆E的方程为.故选D.15.(2013课标全国，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径
