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1、 1 第二章倒数与微分 2 第一节倒数的概念 一 变速直线运动的速度问题1 汽车的行驶在很短的时间内 我们用平均速度来近似的代替瞬时速度 当很小时 近似程度就越好 此时由近似值就过渡到精确值汽车在t 内的行驶路程为 在t时刻的速度v t 3 例已知自由落体运动方程S 1 2gt2求 1 落体在t0到t0 这段时间内的平均速度 2 落体在t t0时的瞬时速度 3 落体在t 10s到t 10 1s这段时间内的平均速度 4 落体在t 10s时的瞬时速度 4 1 2 由上式知 t t0时的瞬时速度为 3 当t0 10 0 1s时 平均速度为 4 当t 10s时 瞬时速度为 5 二 曲线的切线问题与曲线
2、只有一个交点的直线为圆的切线 y x2在原点两个坐标轴都符合圆的切线的定义 但在实际中切线只有一条 6 导数的定义 定义2 1设函数y f x 在点x0及其邻域有定义 当自变量x在点x0处取得增量时 相应函数y取得增量如果存在 则称函数y f x 在点x0处可导 并称此极限为函数y f x 在点x0处的导数 记做 即 7 比值反映自变量时 函数的平均变化率 导数反映函数在点x0处的瞬时变化率 即函数随自变量变化而变化的快慢程度 若函数y f x 在区间 a b 内每一点都可导 则称函数y f x 在区间 a b 内可导 导函数简称导数 8 求导数的步骤 1 求增量 2 算比值 3 取极限 9
3、常见的导数公式 常数的导数等于零 幂函数 10 对数函数指数函数 11 导数的几何意义 函数y f x 在点x0处的导数表示曲线y f x 上点M x0 f x0 的切线斜率k k tan 函数在点M x0 f x0 处的切线方程函数在点M x0 f x0 的法线方程 12 例2 7求曲线在点 4 2 处的切线方程和法线方程 例2 8曲线上何处的切线平行于直线y x 1 13 可导的充要条件 定义2 2若存在 则称其为函数y f x 在点x0处的左导数 记作 即 14 同样 如果存在 则称其为函数y f x 在点x0处的右导数 记作 即 因此 函数y f x 在点x0处可导的充要条件是左右导数
4、存在且相等 即 15 例2 9讨论函数y f x 在点x 0处的可导性 16 可导与连续的的关系 定理2 1若函数y f x 在点x处可导 则它在该点处必连续 若函数y f x 在点x处连续 则它在该点处不一定可导 17 例2 11讨论函数y f x 在点x 1处的连续性与可导性 连续性左极限 右极限 函数值可导性左导数 右导数 18 第二节函数的和 差 积 商求导法则 一 函数的和 差 积 商的导数定理2 2 导数的四则运算的法则 若函数u u x v v x 都是x的可导函数 则 1 也是x的可导函数 且 2 u v也是x的可导函数 且 3 也是x的可导函数 且特别 19 4 5 例2 1
5、2求例2 13求例2 14例2 15例2 16 20 例2 17求y tanx的导数 例2 18求y secx的导数 例2 19求函数的导数 并求例2 20求函数的导数 21 第三节反函数与复合函数的导数 一反函数的导数定理2 3设为直接函数 是它的反函数 如果在区间I内严格单调 可导 且 那么它的反函数在对应的区间内可导 且有 22 结论概括 反函数的导数等于它的原函数导数的倒数例2 21求的导数例2 22求的导数 23 基本初等函数的导数公式 常数的导数等于零 幂函数三角函数 24 反三角函数 25 对数函数指数函数 26 二复合函数的导数定理2 4 复合函数求导法则 若函数在点x处可导
6、函数在对应点u处可导 则复合函数在点x处可导 且 27 例2 23例2 24例2 25例2 26例2 27 28 例2 28例2 29例2 30 29 第四节隐函数 幂指函数及参数式函数的导数 一隐函数的导数用自变量x表示y的函数即 如y 3x 1 y lnx sinx等 称之为显函数 函数y与自变量x的关系由方程F x y 0表示的函数称为隐函数 如3x y 1 0 xy x 1 0等 30 隐函数的求导法则 方程两边同时对自变量x求导 得到一个含的方程式 从中解出即可 注 方程两边对x求导 是指遇到x时 可直接求出其导数 遇到y或y的函数时 把y看成中间变量 按照复合函数的求导法则先对y求
7、导 再对x求导 31 例2 31求由方程所确定的函数y对自变量x的导数例2 32求由方程所确定的隐函数y对自变量x的导数例2 33求曲线上点 3 4 处的切线方程和法线方程 32 二幂指函数的导数形如的函数称为幂指函数 如等幂指函数求导方法 1 对数求导法2 指数求导法 33 1 对数求导法步骤 1 两边取对数2 方程两边同时对X求导 得到一个关于的方程式 从中解出2 指数求导法 34 例2 34求函数的导数例2 35设例2 36求函数的导数 35 三参数式函数的导数定理2 5设函数由参数方程所确定 当都可导 且 则由参数方程所确定的函数 参数式函数 的导数为 36 例2 37求参数方程的导数
8、例2 38求曲线在处的切线方程和法线方程例2 39已知参数方程 求 37 第五节高阶导数 定义一函数的导数的导数称为函数二阶导数 记为定义二若函数存在n 1阶导数 并且n 1阶导数可导 那么函数的n 1阶导数的导数 称为的n阶导数 记为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 38 例2 40求函数y ax b的二阶导数例2 41设 求例2 42设 求例2 43求函数的四阶导数例2 44求由方程所确定的隐函数的二阶导数 39 例2 45求参数方程所确定的函数的二阶导数例2 46求的n阶导数例2 47设 40 第六节微分的概念 基本公式及运算法则 一 面积的增量定义2 3设函数在点处可导 则称为函数在点处的微分 记做或 即这时也称函数在点x处可微 41 例2 48求函数时的 例2 49已知半径为r的球 其体积为 当半径r增大时 求体积的增量和微分例2 50求下列函数的微分 42 二微分的几何意义
