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1、 概率统计 经济数学基础 三 授课教师 马昕Email maxin 概率论与数理统计是近代数学一个重要的且有特色的分支 有300多年的发展历史 广泛应用于经济学的各个领域 属于应用数学范畴 本课程由概率论和数理统计两个部分组成 两者有着密切的内在联系 概率论是数理统计的理论基础 数理统计是概率论的发展和重要的实际应用 观察自然界和经济活动中的各种变量 可发现大量的变量都是非确定性的变量 随机变量 在我们所生活的世界上 充满了不确定性 从扔硬币 玩扑克 掷骰子 搏彩等简单的机会游戏 到复杂的社会现象 从婴儿的诞生 到世间万物的繁衍生息 从流星坠落 到大自然的千变万化 我们无时无刻不面临着不确定性
2、和随机性 讨论随机变量的数量规律有广泛的实际意义 例如 了解发生意外人身事故的可能性大小 确定保险金额 了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小 合理配置服务人员 将不定性数量化 的课程就是 概率统计 12星座的性格分析 研究对象 随机现象 一维 二维 研究内容 随机现象发生的数量规律 预备知识 排列组合 导数 积分 无穷级数 学习要诀 掌握模型 熟练用表 课程要求1 请按时完成作业 单周第一次课交 2 考查方式 期末考试闭卷 65 70 期中考试 10 作业 出勤 小测试 20 25 参考书目 高教出版社 概率论与数理统计 中国人民大学出版社 概率论与数理统计 本课程的教学目的是掌握概率论的
3、基本内容和常见的概率模型 学会基本的数理统计方法 以更好地进行经济分析 为以后的学习打下理论基础 随机试验 1 1随机事件 抛一枚硬币 观察出现的结果 掷一粒骰子 观察出现的点数 对日光灯管或其它元部件进行寿命测试 记录浦集线八点时的等车人数 随机试验的三个特点 在一定条件下对随机现象进行的实验或观察 记为E 在相同条件下可重复进行 2 明确性 试验前明确一切可能出现的基本结果 3 随机性 试验前不能准确预知哪一种结果 1 重复性 随机事件 在一次试验中可能出现也可能不出现的结果 或随机试验的各种结果 用A B C 表示 例1掷一颗骰子 观察其出现的点数 i i 1 2 6B 1 3 5 C
4、3 6 D 1 2 3 由几个基本事件构成的事件 必然事件 每次试验中一定发生的事件 用 表示 不可能事件 每次试验中一定不发生的事件 用 表示 基本事件 随机试验的基本结果 用 表示 复合事件 二 样本空间 由随机试验E全部基本事件 构成的集合 记为 基本事件又称为样本点 1 写出下列随机试验的样本空间 练习投篮 直至投中为止 记录投篮次数 生产某产品 直到有1000只正品 记录生产产品的总件数 2 打靶一次 记录所中环数 并用集合的列举法表示下列事件 A 击中奇数环 B 击中环数小于5 C 击中小于10的偶数环 2 事件的和 并 3 事件的积 交 4 事件的差 A B或A B A B 表示
5、事件A与B至少有一个发生 表示事件A与B同时发生 表示事件A发生且事件B不发生 四 事件间关系与运算的性质 1 否定律 例 抛币两次 A 恰好出一个正面 B 至少出一个正面 C 恰好出一个反面 则A B C关系如何 A 正 反 反 正 B 正 反 反 正 正 正 C 正 反 反 正 例2掷一粒骰子A 出现奇数点 B 点数是 的倍数 C 点数小于2 D 出现偶数点 F 点数不超过4 写出试验E的样本空间及各事件间的关系 解 4 三次中至多有一次中奖 1 前两次中奖 第三次未中 2 三次都未中奖 3 三次中只有一次中奖 5 三次中至少有一次中奖 例4甲 乙 丙三人各投篮一次 事件 分别表甲 乙 丙
6、投中 说明事件 练习1 互不相容事件与对立事件区别何在 说出下列事件的关系 1 x 20与x20与x 20 3 x 20与x 202 A B C是三个事件 如何表示下列事件 1 A发生而B C不发生 2 A B发生而C不发生 3 三个都发生 4 三个至少发生一个 5 三个恰好发生一个 6 三个恰好发生两个 例 甲 乙 丙三人各投篮一次 事件 分别表甲 乙 丙投中 说明事件 1 2事件的概率 频数 事件A在n次试验中出现的次数 记为n A 频率 一 频率与概率 频率的性质 2 正则性 1 非负性 对任何事件A 有 概率的统计定义 若 靠近某个常数p 则称此常数为事件A发生的概率 记为P A 即P
7、 A p 随n的增大 逐渐 古典概型的特征 2 等可能性 古典概型的计算 1 有限性 试验的基本事件总数有限 即 各基本事件出现的概率相同即 基本计数原理 1 加法原理 设完成一件事有m种方式 第一种方式有n1种方法 第二种方式有n2种方法 第m种方式有nm种方法 无论通过哪种方法都可以完成这件事 2 乘法原理 设完成一件事有m个步骤 第一个步骤有n1种方法 第二个步骤有n2种方法 第m个步骤有nm种方法 必须通过每一步骤 才算完成这件事 排列 2 有放回 重复排列 1 不放回 一经取出 从总数中除去 从n个不同的元素中取出r个 按一定顺序排成一排 组合 从n个不同的元素中取出r个元素组成一组
8、 例1将一枚匀称的硬币连掷两次 例2袋中有外形相同的5个白球 3个黑球 从中任取两个 求正面只出现一次及正面至少出现一次的概率 求取出的球都是白球的概率 例3假设有100件产品 其中有60件一等品 30件二等品 10件三等品 从中一次随机抽取两件 例4在上例中 产品组成不变 如果每次随机地抽取一件 连续两次 求恰好抽到k件 k 0 1 2 一等品的概率 求两次取到的产品等级相同的概率 1 袋中装有 个白球 个黑球 个红球 从中任取三球 求下列事件的概率 A 三球颜色各不相同 B 三球颜色相同 C 两球颜色相同 2 把九个球放入四个箱中 设每球放入任一箱的机会均等 求下列事件的概率 A 无球入第
9、一箱 B 恰有一球入第一箱 例4 假设在空战中 若甲机先向乙机开火 则击落乙机的概率为0 2 若飞机未被击落 就进行还击 击落甲机的概率是0 3 若甲机也未被击落 则再次进攻乙机 击落乙机的概率为0 4 在这三个回合中 分别计算甲 乙被击落的概率 2 袋内装有20个球 其中红色 黄色 黑色 白色的单色球分别有3 6 5 4个 四色彩球有2个 今从袋中任取一球 A B C D分别表示取到的球上有红色 黄色 黑色 白色 求P A P B P C P D P A B P A C P A D 1 甲 乙两门炮 同时向一目标射击 已知甲命中率为0 6 乙命中率为0 5 求目标被命中的概率 若每门炮的命中
10、率皆为0 6 期望命中99 需几门炮 2 若每个人的血清中有肝炎病毒的概率为0 004 混合100人的血清 求此血清中有肝炎病毒的概率 1 4全概率公式与贝叶斯公式 1 一工厂甲 乙 丙三车间生产同一种产品 产量分别为25 35 40 各车间次品率分别为5 4 2 现从全厂产品中任取一件 求它是次品的概率 若任取一件为次品 问它是哪一个车间生产的可能性大 2 设盒中有一球 不是白球就是黑球 现将一个白球放入盒中 再从中任取一球 结果是白球 求原来盒中是白球的概率 第一章小结 第二章随机变量的分布和数字特征 引入随机变量概念的例子 0 1 2 10 0 1 2 0 正 反 随机变量 random
11、variable 2 记录某车站的等车人数 3 检查某元件的寿命 4 投币一枚 引入r v的意义在于任何事件可表示为r v的关系式 少于两件废品 恰有一件废品 无人等车 寿命在500 1000小时 表示成 X 2 表示成 X 1 在随机试验中 随试验结果 取不同数值的量 记作X 简记为X r v常用X Y Z或 等表示 1 从一批产品中任取10件 观察其中废品数 定义2 1如果随机变量X的取值为有限个或可列个 则称X为离散型随机变量 例1仅有两个结果的分布称为两点分布或0 1分布 例2掷一粒骰子 X表示出现的点数 写出X的概率分布 例3袋中有五张卡片 其中标有数字1的有一张 标有数字2及3的各
12、有两张 从中一次随机抽取3张 X表示取到的3张卡片上的最大数字 求X的概率分布 若Y表示最小数字呢 均匀分布 例4袋中有标号1 2 3 4的球若干个 从中任取一个 设取到各球的概率与球上的号码成反比 求取到的球上号码X这个随机变量的概率分布 例5袋中有5个黑球 3个白球 每次抽取一个 不放回 直到取得黑球为止 记X为取到白球的数目 求X的概率分布 并求白球数不超过1个的概率 例7设一个试验成功的概率为p 0 p 1 不断进行重复试验 直至首次成功为止 X表示试验的次数 求X的概率分布 令q 1 p 参数为p的几何分布 例6某人练习投篮 投中的概率为0 7 不断进行重复投中为止 X表示投篮的次数 求X的概率分布 1 盒中有5球 2白 3黑 任取3个 X表示取到的白球数 写出X的概率分布 2 掷两粒骰子 X表示点数之和 求X的概率分布 并求X不小于10的概率及X不大过5的概率 定义2 3对于随机变量X 若存在一个非负可积函数f x x R 使对任何两个实数a b a b 都有 则称X为连续型随机变量 称f x 为X的概率分布密度函数 简称概率密度或分布密度 简记为X f x
