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1、理科数学 2017年高三2017年全国甲卷理科数学 理科数学考试时间：_分钟题型单选题填空题简答题总分得分单选题 （本大题共12小题，每小题_分，共_分。） 1( )A. B. C. D. 2设集合，若，则( )A. B. C. D. 3我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A. 1盏B. 3盏C. 5盏D. 9盏4如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几
2、何体的体积为( )A. B. C. D. 5设，满足约束条件，则的最小值是( )A. B. C. D. 6安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种7甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则( )A. 乙可以知道四人的成绩B. 丁可以知道四人的成绩C. 乙、丁可以知道对方的成绩D. 乙、丁可以知道自己的成绩8执行右面的程序框图，如果输入的，
3、则输出的( )A. 2B. 3C. 4D. 59若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为( )A. 2B. C. D. 10已知直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 11若是函数的极值点，则的极小值为( )A. B. C. D. 112已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小是( )A. B. C. D. 填空题 （本大题共4小题，每小题_分，共_分。） 13一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则_14函数的最大值是_15等差数列的前项和为，则_16已知是抛物线的焦点，是上一点，的
4、延长线交轴于点若为的中点，则_简答题（综合题） （本大题共7小题，每小题_分，共_分。） 17（12分）的内角的对边分别为，已知（1）求；（2）若，的面积为，求18（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）其频率分布直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（
5、精确到0.01）附：，19（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中点（1）证明：直线平面PAB；（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为，求二面角的余弦值20（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线上，且证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F21（12分）已知函数，且（1）求；（2）证明：存在唯一的极大值点，且所以22选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修44：坐标系与参数方程（10分
6、）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足，求点P的轨迹的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值23选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修45：不等式选讲（10分）已知证明：（1）；（2）答案单选题 1. D 2. C 3. B 4. B 5. A 6. D 7. D 8. B 9. A 10. C 11. A 12. B 填空题 13. 14. 115. 16. 6简答题 17. （1） （2）18. （1） （2）见解析 （3
7、）19. （1）见解析； （2）20. （1）；（2）见解析21. （1）；（2）见解析22. （1）（2）23. （1）见解析（2）见解析解析单选题 1. 由复数的除法运算法则有：，故选D.2. 由得，即是方程的根，所以，故选C3. 设塔的顶层共有灯盏，则各层的灯数构成一个首项为，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有：，解得，即塔的顶层共有灯3盏，故选B4. 由题意，其体积，其体积，故该组合体的体积故选B5. 绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点处取得最小值，最小值为故选A.6. 由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成
8、三份：有种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有种 故选D7. 四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话甲不知自己成绩乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）乙看了丙成绩，知自己成绩丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩8. 阅读程序框图，初始化数值循环结果执行如下：第一次：；第二次：；第三次：；第四次：；第五次：；第六次：；结束循环，输出故选B9. 取渐近线，化成一般式，圆心到直线距离为得，10. 如图所示，补成直四棱柱，则所求角为，易得，因此，故选C11. ，则，则，令，得或，当或时，当时，则极小值为12. 如图，以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标
9、原点建立平面直角坐标系，则，设，所以，所以，当时，所求的最小值为，故选B填空题 13. 由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即，由二项分布的期望公式可得14. 化简三角函数的解析式，则，由可得，当时，函数取得最大值115. 设首项为，公差为则求得，则，16. 如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故简答题 17. （1）依题得：，（2）由可知，18. （1）记：“旧养殖法的箱产量低于” 为事件“新养殖法的箱产量不低于”为事件而（2）由计算可得的观测值为有以上的把
10、握产量的养殖方法有关（3），中位数为19. （1）令中点为，连结，为，中点，为的中位线，又，又，四边形为平行四边形，又，（2）取中点，连，由于为正三角形又平面平面，平面平面平面，连，四边形为正方形。平面，平面平面而平面平面过作，垂足为，平面为与平面所成角，在中，设，在中，以为坐标原点，、分别为、轴建立空间直角坐标系，设平面的法向量为，而平面的法向量为设二面角的大角为（为锐角）20. （1）设，设，由得因为在C上，所以因此点P的轨迹方程为（2）由题意知设，则，由得，又由（1）知，故，所以，即又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F21. （1）的定义域为设，则等价于因为若a=1，则.当0x1时，单调递减；当x1时，0，单调递增.所以x=1是的极小值点，故综上， ，令，则，令得，当时，单调递减；当时，单调递增所以，因为，所以在和上，即各有一个零点设在和上的零点分别为，因为在上单调减，所以当时，单调增；当时，单调减因此，是的极大值点因为，在上单调增，所以当时，单调减，时，单调增，因此是的极小值点所以，有唯一的极大值点由前面的证明可知，则因为，所以，则又，因为，所以因此，22. 设则解得，化为直角坐标系方程为（2）设点B的极坐标为,由题设知,于是OAB面积当时，S取得最大值所以OAB面积的最大值为23. （1）（2）因为所以，因此.
