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1、 北京市东城区2015-2016学年度第二学期高三综合练习（一）数学（理科） 学校_班级_姓名_考号_本试卷分第卷和第卷两部分，第卷1至2页，第卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知复数为纯虚数，那么实数的值为 （A） （B） （C） （D）（2）集合，若，则的取值范围是（A） （B） （C） （D）否 是 k4 k=k+1输出s k=0，s=0开始结束（3）某单位共有职工150
2、名，其中高级职称45人， 中级职称90人，初级职称15人现采用分层 抽样方法从中抽取容量为30的样本，则各职称 人数分别为（A） （B） （C） （D）（4）执行如图所示的程序框图，输出的值为（A） （B）（C） （D）（5）在极坐标系中，直线被曲线截得的线段长为 （A）（B）（C）（D）俯视图侧（左）视图11正（主）视图22（6）一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的最长棱长为（A）（B）（C）（D）（7）已知三点P（5，2）、（6，0）、 （6，0）那么以、为焦点且过点 P的椭圆的短轴长为（A）（B）（C）（D）（8）已知为平面上的单位向量，与的起点均为坐标原点，与夹角为. 平面区域由
3、所有满足的点组成，其中，那么平面区域的面积为（A） （B） （C） （D） 第卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。ABOCP（9）在的展开式中，的系数值为_.(用数字作答)（10）已知等比数列中, ，那么的值为 （11）如图，圆O的半径为1，A,B,C是圆周上的三点，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，若，则_； . （12）若且，则的值为 （13）某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如下表：货物体积（升/件）重量（公斤/件）利润(元/件)甲20108乙102010运输限制110100在最合理的安排下，获得的最大利润的值为
4、_.（14）已知函数，关于的不等式的解集为,其中，为常数. 当时，的取值范围是_;当时，的值是_;三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分）在中，且（）求的长度； （）若，求与直线相邻交点间的最小距离 （16）（本小题共14分）已知三棱柱中，底面，,、分别为棱、的中点.（）求证 ；（）求直线与所成的角；（）若为线段的中点，在平面内的射影为，求.（17）（本小题共13分） 现有两个班级，每班各出4名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打（混双）比赛（注：每名选手打只打一场比赛）.根据以往的比赛经验，各项目平均完成比赛所需时间如图表所
5、示，现只有一块比赛场地，各场比赛的出场顺序等可能.比赛项目男单女单混双平均比赛时间25分钟20分钟35分钟（I）求按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率；（II）求第三场比赛平均需要等待多久才能开始进行；（III）若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少，应该怎样安排比赛顺序（写出结论即可）.（18）（本小题共14分）设函数，（）当时，求的单调区间；（）当时，恒成立，求的取值范围；（）求证：当时，（19）（本小题共13分）已知抛物线，焦点，为坐标原点，直线（不垂直轴）过点且与抛物线交于两点，直线与的斜率之积为（）求抛物线的方程；（）若为线段的中点，射线交抛物线于点，求证：.（20）（本小题共13
6、分）数列中，给定正整数，.定义:数列满足，称数列的前项单调不增.（）若数列通项公式为：，求.（）若数列满足：，求证的充分必要条件是数列的前项单调不增.（）给定正整数，若数列满足：，且数列的前项和，求的最大值与最小值.(写出答案即可)北京市东城区2015-2016学年度第二学期高三综合练习（一）数学参考答案及评分标准 （理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1） （2） （3）（4） （5） （6） （7）（8）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9） （10） （11）， （12）（13） （14） ， 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2
7、分三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（本小题共13分） 解：（） 3分 ， 7分（）由， 解得 或， ， 解得或，. 因为 ，当时取等号,所以 当时，相邻两交点间最小的距离为. 13分（16）（共14分）（）证明 因为三棱柱，底面 所以 因为 ， 所以 因为 ，所以 因为 ，所以 . 分（）解如图建立空间直角坐标系，则， ，.所以 ，.所以 .因为 ，所以 直线与所成的角为45. 分（）解设 则 , .所在直线的向量与平面GEF的法向量平行.设平面GEF的法向量为，因为 ，所以 令，则.所以 所在直线的单位向量为.因为 ,所以 .因为 ，所以 . .分（17）（本小题共13分）解：
8、（I）三场比赛共有种方式，其中按按女单、混双、男单的顺序进行比赛只有1种，所以按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率为 分（II）令A表示女单比赛、B表示男单比赛、C表示混双比赛. 按ABC顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：（分钟） 按ACB顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：（分钟） 按BAC顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：（分钟） 按BCA顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：（分钟） 按CAB顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：（分钟） 按CBA顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：（分钟）且上述六个事件是等可能事件，每个事件发生概率为，所以平均等待时间为 11分（III）
9、按照比赛时间从长到短的顺序参加比赛，可使等待的总时间最少 -13分（18）（共14分）+解：（）当时，则，则.令得所以 当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时， 4分（）因为，所以恒成立，等价于恒成立设，得，当时，所以在上单调递减，所以时，因为恒成立，所以 11分（）当时，等价于设，求导，得由（）可知，时， 恒成立所以时，有所以 所以在上单调递增，当时，因此当时， 14分（19）（共13分）解：（）因为直线过点且与抛物线交于两点，设，直线（不垂直轴）的方程可设为所以，因为直线与的斜率之积为，所以 所以，得 4分由 消得 其中 所以， 所以，抛物线 8分（）设，因为为线段的中点，所以，.所以直线的斜率为.直线的方程为代入抛物线的方程，得.所以 .因为 ,所以. 13分（20）（共13分）解（） . 2分 （）充分性：若数列的前项单调不增，即此时有：必要性：反证法，若数列的前项不是单调不增，则存在使得，那么:由于.与已知矛盾. 9分（III）最小值为0.此时为常数列. 10分最大值为 当时的最大值：此时, 11分.当时的最大值：此时.由易证，的值的只有是大小交替出现时，才能让取最大值.不妨设：，为奇数，为偶数. 当为奇数时有：当为偶数时同理可证. 13分1
