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1、2016年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学试题答案及评分参考 评分说明: 1本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则 2对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分 3解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题和填空题不给中间分 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算每小题5分,满分60分 (1)B (2)C (3)D (4
2、)A (5)B (6)C (7)B (8)C (9)D (10)D (11)A (12)B 二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算每小题5分,满分20分 (13) (14) (15) (16) 三、解答题:本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(17)本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想等满分12分解法一:()因为, 即,2分又因为,,所以 3分在中,由余弦定理得,,5分即,解得6分()在中,可设,则,又,由正弦定理,有,7分所以8分在中, ,由正弦定理得,即,10分化简得,于是
3、11分因为,所以,所以或, 解得,故12分解法二:()同解法一()因为,所以取中点,连结,所以7分设,因为,所以在中,8分以下同解法一(18)本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想等满分12分解法一:()连结,在中,由余弦定理得, ,1分,2分又为等腰直角三角形,且,又,平面4分又平面,5分(),6分如图,以为原点,以的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,7分则, 8分设平面的法向量,由得令,得平面的一个法向量为 9分,10分,.11分与平面所成角的正弦值为12分解法二
4、:()同解法一()过点作平面,垂足为,连结,则为与平面所成的角6分由() 知,又,平面,7分8分取中点,连结,又在中,9分, ,即,10分平面,平面,三棱柱中,11分在中,所以与平面所成的角的正弦值为12分(19)本小题主要考查古典概型、随机变量的分布列及数学期望等基础知识,考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识,考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想满分12分解:() 记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件,则4分()()设乙公司送餐员送餐单数为,则当时,; 当时,; 当时,;当时,;当时, 所以的所有可能取值为152,156,160,166,1726分故的分布列为:1521
5、561601661728分 9分()依题意, 甲公司送餐员日平均送餐单数为10分所以甲公司送餐员日平均工资为元11分由()得乙公司送餐员日平均工资为元因为,故推荐小明去乙公司应聘12分(20)本小题考查圆与抛物线的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想等满分12分解法一:()将代入,得,所以,1分又因为,所以是等腰直角三角形,所以,即,解得,所以抛物线,3分此时圆的半径为,所以圆的方程为4分 ()设,依题意,即5分()当直线斜率不存在时,当时,由,得不妨设,则即 当时,同理可得,.6分()当直线斜
6、率存在时,因为直线与抛物线交于两点,所以直线斜率不为零,且 因为,所以,所以,.7分直线由得, ,8分即,所以,9分所以10分,所以 12分解法二:()同解法一()设,依题意,即, (*) 5分设,则,6分由于,所以 7分注意到, 8分由(1)知,若,则,此时不满足(*),故,从而(1),(2)可化为9分以下同解法一.(21)本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等满分12分解法一:()因为,2分依题意,解得,3分所以,当时,;当时,故的单调递减区间为, 单调递增
7、区间为5分()由()知,当时,取得最小值0 所以,即,从而设则,6分()当时,因为,所以(当且仅当时等号成立),此时在上单调递增,从而,即7分()当时,由于,所以8分由()知,所以,故,即9分()当时, 令,则,显然在上单调递增,又,所以在上存在唯一零点,10分 当时,所以在上单调递减,从而,即所以在上单调递减,从而当时,即,不合题意11分综上, 实数的取值范围为12分解法二:()同解法一 ()由()知,当时,取得最小值0 所以,即,从而设则,6分()当时,在恒成立,所以在单调递增 所以,即9分()当时,由()知,当时,(当且仅当时等号成立),所以当时,所以10分于是当时,所以在上单调递减.故
8、当时,即,不合题意11分综上, 实数的取值范围为12分解法三:()同解法一 ()()当时,由()知,当时,取得最小值0所以,即,从而,即所以,6分()当时,设则,令,则显然在上单调递增7分当时,所以在上单调递增,;故,所以在上单调递增,即9分当时,由于,所以在上存在唯一零点,10分当时, 单调递减,从而,即在上单调递减,从而当时,即,不合题意11分综上, 实数的取值范围为12分请考生在第(22),(23),(24)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号(22)选修:几何证明选讲 本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识,考查推理论证能力
9、、运算求解能力等,考查化归与转化思想等满分10分解法一:()连结,因为四点共圆,则2分又因为为的两条中线,所以点分别是的中点,故3分所以,4分从而5分()因为为与的交点,故为的重心,延长交于,则为的中点,且6分在与中,因为,所以,7分所以,即9分因为,所以,即,又,所以10分解法二:()同解法一5分 () 由() 知,因为四点共圆,所以,6分所以,所以,7分由割线定理,9分又因为是的中线,所以是的重心,所以,又,所以,所以,所以,因为,所以10分(23)选修;坐标系与参数方程本小题考查直线的极坐标方程和参数方程、椭圆的参数方程等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想等 满
10、分10分解法一:()由消去参数,得,即的普通方程为2分由,得,()3分将代入(),化简得,4分所以直线的倾斜角为 5分 ()由()知,点在直线上, 可设直线的参数方程为(为参数),即(为参数),7分代入并化简,得8分设两点对应的参数分别为,则,所以9分所以10分解法二:()同解法一. 5分()直线的普通方程为.由消去得,7分于是.设,则,所以,8分故.10分(24)选修:不等式选讲本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想等 满分10分解法一:()() 当时,原不等式可化为,解得,此时原不等式的解是;2分()当时,原不等式可化为,解得,此时原不等式无解;3分()当时,原不等式可化为,解得,此时原不等式的解是;4分综上,5分()因为6分7分8分因为,所以,9分所以,即10分解法二:()同解法一()因为,7分所以,要证,只需证,即证,8分即证,即证,即证9分因为,所以,所以成立,所以原不等式成立10分