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1、2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）【2015年广东，文1，5分】若集合，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】，故选C（2）【2015年广东，文2】已知是虚数单位，则复数（ ）（A）-2 （B）2 （C） （D）【答案】D【解析】，故选D （3）【2015年广东，文3，5分】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】，所以非奇非偶，对于B，函数定义域为R，关于原点对称，故为偶函数；对于C，
2、函数定义域为R，关于原点对称，因为，所以，故为偶函数；D中函数的定义域为R，关于原点对称，且，故为奇函数，故选A（4）【2015年广东，文4，5分】若变量，满足约束条件，则的最大值为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】在平面直角坐标系中画图，作出可行域，可得该可行域是由， 组成的三角形由于该区域是封闭的，可以通过分别代这三个个边界点进行检验，易知当，时，取得最大值5本题也可以通过平移直线，当直线经过时，截距达到最大，即取得最大值5，故选C（5）【2015年广东，文5，5分】设的内角，的对边分别为，若，且，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】由余弦定理得：，
3、所以，即，解得或因为，所以，故选B（6）【2015年广东，文6，5分】若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（ ）（A）至少与，中的一条相交 （B）与，都相交 （C）至多与，中的一条相交 （D）与，都不相交【答案】A【解析】以正方体为模型，易知至少与，中的一条相交，故选A（7）【2015年广东，文7，5分】已知件产品中有件次品，其余为合格品现从这件产品中任取件，恰有一件次品的概率为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】采用列举法，记件产品中分别为，其中为分别对应2件次品，从5件产品中任取2件有基本事件共10个，恰有一件次品的含有基本事件共
4、6个，故恰有一件次品的概率概率为，故选B（8）【2015年广东，文8，5分】已知椭圆的左焦点为，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】由题意得，故因为，故，故选C（9）【2015年广东，文9，5分】在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】由平行四边形法则，得，所以，故选D（10）【2015年广东，文10，5分】若集合，用表示集合中的元素个数，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】对于，当，可以从0,1,2,3这四个数任取一个，因而有；当，可以从0,1,2这三个数任取一个，因而有；当，可以从0,1这两
5、个数任取一个，因而有；当，只有一种，故 ；对于，先处理前面两个，当，可以从0,1,2,3这四个数任取一个，有4种；当，可以从0,1,2这3个数任取3个；当，可以从0,1，这四个数任取2个；当，只有一种，故前面两个的可能结果有4+3+2+1=10种，同理可得后面有10种，故二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分（一）必做题（1113）（11）【2015年广东，文11，5分】不等式的解集为 【答案】【解析】由得，即，所以，即的解集为（12）【2015年广东，文12，5分】已知样本数据，的均值，则样本数据，的均值为 【答案】11【解析】由题意有，所以，所以（13）【201
6、5年广东，文13，5分】若三个正数，成等比数列，其中，则 【答案】【解析】因为正数，成等比数列，所以，所以（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）（14）【2015年广东，文14，5分】（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），则与交点的直角坐标为 【答案】【解析】由得，由得，所以，联立解得，所以与交点的直角坐标为为（15）【2015年广东，文15，5分】（几何证明选讲选做题）如图，为圆的直径，为的延长线上一点，过作圆的切线，切点为，过作直线的垂线，垂足为若，则 【答案】8【解析】因为是圆的
7、切线方程，所以,所以，解得或（舍去）连接，则，由，得，所以， 所以，故 三、解答题：本大题共6题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（16）【2015年广东，文16，12分】已知（1）求的值；（2）求的值解：（1）因为，所以 （2）（17）【2015年广东，文17，12分】某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，分组的频率分布直方图如图（1）求直方图中的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，的 四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？解：（1）由题意得：，解得（2）由频率分布直方图可知众数为，设中位数为，则有 ，解
8、得， 所以月平均用电量的中位数为224（3）月平均用电量为的频率为，月平均用电量为的频率为，月平均用电量为的频率为，月平均用电量为的频率为，设月平均用电量在的用户中应抽取户,则，解得所以用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取5户（18）【2015年广东，文18，14分】如图，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，（1）证明：平面；（2）证明：；（3）求点到平面的距离解：（1）因为四边形为矩形，所以因为平面，（2）取的中点为，连接，因为，所以又平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以又，所以平面，因为平面，所以（3）因为平面，即到平面的距离为，因为，所以，所以
9、，设点到平面的距离为，由得，即到平面的距离为为（19）【2015年广东，文19，14分】设数列的前项和为，已知，且当时，（1）求的值；（2）证明：为等比数列；（3）求数列的通项公式解：（1）当时，所以，即（2）因为，所以所以，所以，即，所以当时，所以，满足式，所以所以，所以是以，公比为的等比数列（3）由（2）得，两边同乘以，可得，所以是以，公差为4的等差数列所以，所以（20）【2015年广东，文20，14分】已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，（1）求圆的圆心坐标；（2）求线段的中点的轨迹的方程；（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由解：
10、（1）由题意知：圆方程为：，圆的圆心坐标为（2）由图可知，令， ， 直线与圆交于、两点，直线与圆的距离： ， 轨迹的方程为：（3）直线：与曲线仅有1个交点， 联立方程：得：，在区间有且仅有1个解 当时，此时，仅有一个交点，符合题意当时，令，则有：解得： ，的取值范围为：或（21）【2015年广东，文21，14分】设为实数，函数（1）若，求的取值范围；（2）讨论的单调性；（3）当时，讨论在区间内的零点个数解：（1），因为，所以当时，显然成立；当，则有，所以所以综上所述，的取值范围（2），对于，其对称轴为，开口向上，所以在单增；对于，其对称轴为，开口向上，所以在单减综上，在单增，在单减（3）由（2）得在单增，在单减，所以（i）当时，令，即因为在单减，所以，而在单增，所以与在无交点当时，即，所以，所以，因为，所以，即当时，有一个零点（ii）当时，当时， ，而在单增，当时，下面比较与的大小因为，所以结合图像不难得当，与有两个交点 综上，当时，有一个零点；当，与有两个零点6
