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1、带电粒子在磁场中的运动常考的3种题型纵观近两年各省市的物理高考试题，所谓的“压轴题”多聚焦于“磁”。主要考查带电粒子在匀强磁场中的圆周运动，尤其是带电粒子在电场、磁场中的运动，情景复杂、综合性强，对考生的空间想象能力、物理过程和运动规律的综合分析能力以及用数学方法解决物理问题的能力要求较高。而且，本部分知识与现代科技密切相关，在近代物理实验中有重大意义。所以，近两年的高考试题中，涉及本考点的命题常以构思新颖、高难度的压轴题形式出现也就不足为奇了。如果掌握了做这类题目的规律，解题还是相对比较容易的。带电粒子在有界磁场中的运动带电粒子沿垂直于磁场方向射入分界线两侧空间不同的两种匀强磁场，往往先后受
2、到大小不同的洛伦兹力作用，使带电粒子的运动轨迹也不同。由于磁场的方向、磁场区域的大小以及带电粒子速度的大小和方向等多种条件的不同而使这类题目富有探究性和开放性。同时这类问题能很好地考查考生的空间想象、推理分析、综合判断能力。粒子进入有边界的磁场，由于边界条件的不同，会出现涉及临界状态的临界问题。例1中心均开有小孔的金属板C、D与边长为d的正方形单匝金属线圈连接，正方形框内有垂直纸面的匀强磁场，大小随时间变化的关系为Bkt(k未知，且k0)，E、F为磁场边界，且与C、D板平行。D板正下方分布磁场大小均为 B0，方向如图1所示的匀强磁场。区域的磁场宽度为d，区域的磁场宽度足够大。在C板小孔附近有质
3、量为m、电量为q的正离子由静止开始加速后，经D板小孔垂直进入磁场区域，不计离子重力。图1(1)判断金属板CD之间的电场强度的方向和正方形线框内的磁场方向；(2)若离子从C板出发，运动一段时间后又恰能回到C板出发点，求离子在磁场中运动的总时间；(3)若改变正方形框内的磁感应强度变化率k，离子可从距D板小孔为2d的点穿过E边界离开磁场，求正方形框内磁感应强度的变化率k是多少？解析(1)金属板CD之间的电场强度方向由C垂直指向D，正方形线框内的磁场方向垂直纸面向里。(2)由题意，离子在磁场中运动的轨迹如图甲所示。T由图示几何关系知离子在磁场中运动的总时间tTT(3)设离子进入磁场的速度为vUkd2由
4、qUmv2解得v 在磁场中运动时有qvB0离子进入磁场并从E边界射出的运动轨迹有两种可能情况，如图乙所示。如果离子从小孔右侧离开磁场，运动轨迹与F相切由几何关系得Rd解得k如果离子从小孔左侧离开磁场，有几何关系(Rd)24d24R2由得对应磁感强度的变化率k答案(1)电场强度的方向为CD线框内磁场方向为垂直纸面向里(2)(3)或例2如图2甲所示，间距为d的平行金属板MN与一对光滑的平行导轨相连，平行导轨间距L，一根导体棒ab以一定的初速度向右匀速运动，棒的右端存在一个垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。棒进入磁场的同时，粒子源P释放一个初速度为零的带电粒子，已知带电粒子质量为m，电荷量
5、为q，粒子能从N板加速到M板，并从M板上的一个小孔穿出。在板的上方，有一个环形区域内存在磁感应强度大小也为B，垂直纸面向外的匀强磁场。已知外圆半径为2d，内圆半径为d，两圆的圆心与小孔重合(粒子重力不计)。(1)判断带电粒子的正负，并求当ab棒的速度为v0时，粒子到达M板的速度v；(2)若要求粒子不能从外圆边界飞出，则ab棒运动速度v0的取值范围是多少？(3)若棒ab的速度v0，为使粒子不从外圆飞出，可通过控制导轨区域磁场的宽度s(如图乙)，则该磁场宽度s应控制在多少范围内？图2解析(1)根据右手定则知，a端为正极，故带电粒子必须带负电。ab棒切割磁感线，产生的电动势UBv0对于粒子，由动能定
6、理得qUmv20解得粒子到达M板时的速度为v (2)要使粒子不从外圆边界飞出，则粒子做圆周运动最大半径时的轨迹与外圆相切，如图所示，由几何关系有(2dr)2r2d2解得rd洛伦兹力等于向心力，有qvBm联立得v0故ab棒的速度范围：v0(3)因为v0v0，故如果让粒子在MN间一直加速，则必然会从外圆飞出，所以只能让粒子在MN间最多加速至速度为v，再从M板的小孔匀速射出即可。而a由vatt，得t对于棒ab：sv0td故磁场的宽度sd答案(1) 带负电(2)v0(3)sd解决此类问题的关键是依据题意，分析物体的运动过程和运动形式，扣住运动过程中的临界点，应用几何知识，找出运动的轨迹圆心，画出粒子运
7、动的部分轨迹，确定半径，然后应用数学工具和相应物理规律分析求解。具体的分析方法：带电粒子在磁场中运动的多解问题带电粒子在洛伦兹力作用下在磁场中做匀速圆周运动，由于运动的周期性或条件的周期性等因素的存在，使问题往往出现多解性，此类问题能很好地考查学生多元性思维和空间想象力，渗透物理世界的对称与和谐，因此将可能成为今后高考的热点。例1如图4所示，在半径为a(大小未知)的圆柱空间中(图中圆为其横截面)，固定放置一绝缘材料制成的边长为L的弹性等边三角形框架DEF，其中心O位于圆柱的轴线上。在三角形框架DEF与圆柱之间的空间中，充满磁感应强度大小为B的均匀磁场，其方向平行于圆柱轴线垂直纸面向里。在EF边
8、上的中点S处有一发射带电粒子的粒子加速器，粒子发射的方向均在截面内且垂直于EF边并指向磁场区域。发射粒子的电量均为q(q0)，质量均为m，速度大小均为v，若粒子与三角形框架的碰撞均为完全弹性碰撞，且粒子在碰撞过程中所带的电量不变。(不计带电粒子的重力，不计带电粒子之间的相互作用)求：图4(1)为使初速度为零的粒子速度增加到v，在粒子加速器中，需要的加速电压为多大；(2)带电粒子在匀强磁场区域内做匀速圆周运动的半径；(3)若满足：从S点发射出的粒子都能再次返回S点，则匀强磁场区域的横截面圆周半径a至少为多大；(4)若匀强磁场区域的横截面圆周半径a满足第(3)问的条件，则从S点发射出的某带电粒子从
9、S点发射到第一次返回S点的时间是多少。解析(1)在粒子加速器中，带电粒子在电场中被加速，根据动能定理qUmv2，解得U。(2)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动qvBm，解得rmv/qBL/6。(3)设想某个带电粒子从S发射后又能回到S，则带电粒子运动轨迹如图所示。当带电粒子的运动轨迹同磁场区域内切时，磁场区域半径有最小值amin，由几何关系aminOGOFFGL/3r()L。(4)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由T。由轨迹图可知，带电粒子从S点发射到第一次返回S点的时间是tT。答案(1)(2)L/6(3)()L(4)例2如图5甲所示的坐标系中，第四象限内存在垂直于纸面向里的有界匀强磁场，x
10、方向的宽度OA20 cm，y方向无限制，磁感应强度B01104T。现有一比荷为21011 C/kg的正离子以某一速度从O点射入磁场，60，离子通过磁场后刚好从A点射出。(1)求离子进入磁场B0的速度的大小；(2)离子进入磁场B0后，某时刻再加一个同方向的匀强磁场，使离子做完整的圆周运动，求所加磁场磁感应强度的最小值；(3)离子进入磁场B0后，再加一个如图乙所示的变化磁场(正方向与B0方向相同，不考虑磁场变化所产生的电场)，求离子从O点到A点的总时间。图5解析(1)如图所示，由几何关系得离子在磁场中运动时的轨道半径r10.2 m离子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力Bqv求得v4106
11、m/s(2)由Bqv知，B越小，r越大。设离子在叠加磁场中最大半径为R，由几何关系得R0.05 m由牛顿运动定律得B1qv，求得B14104 T则外加磁场B13104 T(3)如图所示，离子在原磁场中运动周期T1107 s离子在磁场中运动第一次遇到外加磁场的过程中轨迹对应的圆心角12此时施加附加磁场，离子在磁场中能做的圆周运动的最大半径为r2由几何关系知r2(35)0.2 m0.039 m离子在有附加磁场时运动半径为r3则B2qv，求得r3 m0.017 m因r3r2，所以离子能做完整的圆周运动离子在外加磁场后做圆周运动的周期T2107 s对照外加磁场的规律可知，每隔107 s离子在周期性外加
12、磁场时，离子恰可做一次完整的匀速圆周运动，共做三次，最后在A点离开磁场。离子从O点进入到A点射出的总时间为t107 s答案(1)4106 m/s(2)3104 T(3)107 s带电粒子在复合场中的运动问题带电粒子在复合场中的运动的命题，集中融合力学、电磁学等知识，其特点为构思新颖、综合性强，突出考查考生对物理过程和运动规律的综合分析能力、运用数学知识解决物理问题的能力及空间想象能力。近几年的高考试题，常常以加速器、示波管、质谱仪、速度选择器为背景，结合最新的现代科技知识与情景，考查带电粒子在电场中的加速、偏转和在磁场中的偏转。例1如图6甲所示的控制电子运动装置由偏转电场、偏转磁场组成。偏转电
13、场处在加有电压U、 相距为d的两块水平平行放置的导体板之间，匀强磁场水平宽度一定，竖直长度足够长，其紧靠偏转电场的右边。大量电子以相同初速度连续不断地沿两板正中间虚线的方向向右射入导体板之间。当两板间没有加电压时，这些电子通过两板之间的时间为2t0；当两板间加上图乙所示的电压U时，所有电子均能通过电场、穿过磁场，最后打在竖直放置的荧光屏上。已知电子的质量为m、电荷量为e，不计电子的重力及电子间的相互作用，电压U的最大值为U0，磁场的磁感应强度大小为B、方向水平且垂直纸面向里。图6(1)如果电子在tt0时刻进入两板间，求它离开偏转电场时竖直分位移的大小；(2)要使电子在t0时刻进入电场并能最终垂
14、直打在荧光屏上，匀强磁场的水平宽度l为多少？(3)证明：在满足(2)问磁场宽度l的条件下，所有电子自进入板间到最终打在荧光屏上的总时间相同。解析(1)电子在tt0时刻进入两板间，在t02t0时间内做匀速运动，在2t03t0时间内做类平抛运动，发生偏转，则a，yat02(2)设电子从电场中射出的偏向角为，速度为v，则sin 电子通过匀强磁场并能垂直打在荧光屏上，设其圆周运动的半径为R，根据牛顿第二定律有evBm，由几何关系得：sin 得水平宽度l(3)证明：无论何时进入两板间的电子，在两板间运动的时间均为t12t0射出电场时的竖直分速度vy均相同， vyat0射出电场时速度方向与初速度v0方向的夹角均相同，满足tan 因进入偏转磁场时电子速度大小v相同，方向平行，所以电子在磁场中的轨道半径相同，都垂直打在荧光屏上。根据几何关系，电子在磁场中运动轨迹所对的圆心角必为，则在磁场中运动时间t2T综上所述，电子运动的总时间tt1t22t0，即总时间相同。答案(1)(2)(3)见解析例2如图7所示，在xOy平面直角坐标系的第一象限有射线OA，OA与x轴正方向夹角为30，OA与y轴所夹区域内有沿y轴负方向的匀强电场，其他区域存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场。有一质量为m、电量为q的带正电粒子，从y轴上的P点沿着x轴正方向以初速度v0射入电
