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1、2015年高考数学真题分类汇编 专题09 圆锥曲线 文1 、【2015高考新课标1，文5】已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线的焦点重合，是C的准线与E的两个交点，则 ( )（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】抛物线的焦点为（2,0），准线方程为，椭圆E的右焦点为（2,0），椭圆E的焦点在x轴上，设方程为，c=2， ，椭圆E方程为，将代入椭圆E的方程解得A（-2,3），B（-2，-3），|AB|=6，故选B.【考点定位】抛物线性质；椭圆标准方程与性质【名师点睛】本题是抛物线与椭圆结合的基础题目，解此类问题的关键是要熟悉抛物线的定义、标准方程与性质、椭圆的定义、标
2、准方程与性质，先由已知曲线与待确定曲线的关系结合已知曲线方程求出待确定曲线中的量，写出待确定曲线的方程或求出其相关性质.2.【2015高考重庆，文9】设双曲线的右焦点是F，左、右顶点分别是,过F做的垂线与双曲线交于B，C两点，若,则双曲线的渐近线的斜率为（ ）(A) (B) (C) (D) 【答案】C【解析】由已知得右焦点 (其中，从而，又因为，所以，即，化简得到，即双曲线的渐近线的斜率为，故选C.【考点定位】双曲线的几何性质与向量数量积.【名师点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，利用向量垂直的条件来转化两直线垂直的条件而得到与的关系式来求解.本题属于中档题，注意运算的准确性.3.【2015高
3、考四川，文7】过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|( )(A) (B)2 (C)6 (D)4【答案】D【解析】由题意，a1，b，故c2，渐近线方程为yx将x2代入渐近线方程，得y1，22故|AB|4，选D【考点定位】本题考查双曲线的概念、双曲线渐近线方程、直线与直线的交点、线段长等基础知识，考查简单的运算能力.【名师点睛】本题跳出直线与圆锥曲线位置关系的常考点，进而考查直线与双曲线渐近线交点问题，考生在解题中要注意识别.本题需要首先求出双曲线的渐近线方程，然后联立方程组，接触线段AB的端点坐标，即可求得|AB|的值.属于中档题.4.【2015高考陕西
4、，文3】已知抛物线的准线经过点，则抛物线焦点坐标为（ ）A B C D【答案】【解析】由抛物线得准线，因为准线经过点，所以，所以抛物线焦点坐标为，故答案选【考点定位】抛物线方程和性质.【名师点睛】1.本题考查抛物线方程和性质，采用待定系数法求出的值.本题属于基础题，注意运算的准确性.2.给出抛物线方程要求我们能够找出焦点坐标和直线方程，往往这个是解题的关键.5.【2015高考新课标1，文16】已知是双曲线的右焦点，P是C左支上一点， ，当周长最小时，该三角形的面积为 【答案】【考点定位】双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系；最值问题【名师点睛】解决解析几何问题，先通过已知条件和几何性质确定圆锥
5、曲线的方程，再通过方程研究直线与圆锥曲线的位置关系，解析几何中的计算比较复杂，解决此类问题的关键要熟记圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质及直线与圆锥曲线位置关系的常见思路.6.【2015高考广东，文8】已知椭圆（）的左焦点为，则（ ）A B C D【答案】C【解析】由题意得：，因为，所以，故选C【考点定位】椭圆的简单几何性质【名师点晴】本题主要考查的是椭圆的简单几何性质，属于容易题解题时要注意椭圆的焦点落在哪个轴上，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是椭圆的简单几何性质，即椭圆（）的左焦点，右焦点，其中7.【2015高考天津，文5】已知双曲线的一个焦点为,且双曲线的渐近线与圆相切,则双曲
6、线的方程为（ ）(A) (B) (C) (D) 【答案】D【解析】由双曲线的渐近线与圆相切得,由,解得,故选D.【考点定位】圆与双曲线的性质及运算能力.【名师点睛】本题是圆与双曲线的交汇题,虽有一定的综合性,但方法容易想到,仍属于基础题.不过要注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.8.【2015高考湖南，文6】若双曲线的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为( )A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】因为双曲线的一条渐近线经过点（3，-4）， 故选D.【考点定位】双曲线的简单性质【名师点
7、睛】渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形结合上找突破口.与渐近线有关的结论或方法还有：(1)与双曲线共渐近线的可设为；(2)若渐近线方程为，则可设为；(3) 双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长；(4) 的一条渐近线的斜率为.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或极限位置.9.【2015高考安徽，文6】下列双曲线中，渐近线方程为的是（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】A【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项A的渐进线方程为，故选A.【考点定位】本题主要考查双曲线的渐近线公式.
8、【名师点睛】在求双曲线的渐近线方程时，考生一定要注意观察双曲线的交点是在轴，还是在轴，选用各自对应的公式，切不可混淆.10.【2015高考湖北，文9】将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（ ） A对任意的， B当时，；当时， C对任意的， D当时，；当时，【答案】.【解析】不妨设双曲线的焦点在轴上，即其方程为：，则双曲线的方程为：，所以，当时，所以，所以，所以；当时，所以，所以，所以；故应选.【考点定位】本题考查双曲线的定义及其简单的几何性质，考察双曲线的离心率的基本计算，涉及不等式及不等关系.【名师点睛】将双曲线的离心率的计算与初中学习的溶液浓度
9、问题联系在一起，突显了数学在实际问题中实用性和重要性，充分体现了分类讨论的数学思想方法在解题中的应用，能较好的考查学生思维的严密性和缜密性.11.【2015高考福建，文11】已知椭圆的右焦点为短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A B C D【答案】A【解析】设左焦点为，连接，则四边形是平行四边形，故，所以，所以，设，则，故，从而，所以椭圆的离心率的取值范围是，故选A【考点定位】1、椭圆的定义和简单几何性质；2、点到直线距离公式【名师点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，将转化为，进而确定 的值，是本题关键所在，体现了椭圆的对称性和椭圆概念的
10、重要性，属于难题求离心率取值范围就是利用代数方法或平面几何知识寻找椭圆中基本量满足的不等量关系，以确定的取值范围12【2015高考浙江，文15】椭圆（）的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是 【答案】【解析】设关于直线的对称点为，则有，解得，所以在椭圆上，即有，解得，所以离心率.【考点定位】1.点关于直线对称；2.椭圆的离心率.【名师点睛】本题主要考查椭圆的离心率.利用点关于直线对称的关系，计算得到右焦点的对称点，通过该点在椭圆上，代入方程，转化得到关于的方程，由此计算离心率.本题属于中等题。主要考查学生基本的运算能力.13.【2015高考北京，文12】已知是双曲线（）的一个焦点，
11、则 【答案】【解析】由题意知，所以.【考点定位】双曲线的焦点.【名师点晴】本题主要考查的是双曲线的简单几何性质，属于容易题解题时要注意双曲线的焦点落在哪个轴上，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是双曲线的简单几何性质，即双曲线（，）的左焦点，右焦点，其中【2015高考上海，文7】抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为1，则 .【答案】2【解析】依题意，点为坐标原点，所以，即.【考点定位】抛物线的性质，最值.【名师点睛】由于抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，所以抛物线的顶点到焦点的距离最小.【2015高考上海，文12】已知双曲线、的顶点重合，的方程为，若的一条渐近线的斜率是的一条渐
12、近线的斜率的2倍，则的方程为 .【答案】【解析】因为的方程为，所以的一条渐近线的斜率，所以的一条渐近线的斜率，因为双曲线、的顶点重合，即焦点都在轴上，设的方程为，所以，所以的方程为.【考点定位】双曲线的性质，直线的斜率.【名师点睛】在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程同时要熟练掌握以下三方面内容：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线； (2)求已知渐近线的双曲线的方程； (3)渐近线的斜率与离心率的关系，如k.14.【2015高考山东，文15】过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交于点.若点的横坐标为,则的离心率为 .【答案】【解析】双曲线的右焦点为.不妨设所
13、作直线与双曲线的渐近线平行，其方程为，代入求得点的横坐标为，由，得，解之得，（舍去，因为离心率），故双曲线的离心率为.【考点定位】1.双曲线的几何性质；2.直线方程.【名师点睛】本题考查了双曲线的几何性质及直线方程，解答本题的关键，首先是将问题进一步具体化，即确定所作直线与哪一条渐近线平行，事实上，由双曲线的对称性可知，两种情况下结果相同；其次就是能对所得数学式子准确地变形，利用函数方程思想，求得离心率.本题属于小综合题，也是一道能力题，在较全面考查直线、双曲线等基础知识的同时，考查考生的计算能力及函数方程思想.15.【2015高考安徽，文20】设椭圆E的方程为点O为坐标原点，点A的坐标为,点
14、B的坐标为（0，b）,点M在线段AB上，满足直线OM的斜率为.（）求E的离心率e;（）设点C的坐标为（0，-b）,N为线段AC的中点，证明：MNAB.【答案】（） （）详见解析.【解析】（）解：由题设条件知，点，又从而.进而，故.（）证：由是的中点知，点的坐标为，可得.又，从而有由（）得计算结果可知所以，故.【考点定位】本题主要考查椭圆的离心率，直线与椭圆的位置关系等基础知识.【名师点睛】本题主要将椭圆的性质与求椭圆的离心率相结合，同时考查了中点坐标公式，以及解析几何中直线与直线垂直的常用方法，本题考查了考生的基本运算能力和综合分析能力.16【2015高考北京，文20】（本小题满分14分）已知椭圆，过点且不过点的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点（I）求椭圆的离心率；（II）若垂直于轴，求直线的斜率；（III）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由【答案】（I）；（II）1；（III）直线与直
