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1、第九章 单元测试第九章 单元测试 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 每小题中只有一项 符合题目要求 1 2012 浙江 设 a R 则 a 1 是 直线 l1 ax 2y 1 0 与直线 l2 x a 1 y 4 0 平行 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由 a 1 可得 l1 l2 反之 由 l1 l2可得 a 1 或 a 2 故选 A 2 2012 湖北 过点 P 1 1 的直线 将圆形区域 x y x2 y2 4 分为两部 分 使得这两部分的面积之差最大 则该直线的方程为 A x y 2
2、 0 B y 1 0 C x y 0 D x 3y 4 0 答案 A 解析 两部分面积之差最大 即弦长最短 此时直线垂直于过该点的直径 因 为过点 P 1 1 的直径所在直线的斜率为 1 所以所求直线的斜率为 1 方程为 x y 2 0 3 经过抛物线 y2 4x 的焦点且平行于直线 3x 2y 0 的直线 l 的方程是 A 3x 2y 3 0 B 6x 4y 3 0 C 2x 3y 2 0 D 2x 3y 1 0 答案 A 解析 抛物线 y2 4x 的焦点是 1 0 直线 3x 2y 0 的斜率是3 2 直线 l 的方程是 y 3 2 x 1 即 3x 2y 3 0 故选 A 4 已知圆 C
3、 的半径为 2 圆心在 x 轴的正半轴上 直线 3x 4y 4 0 与圆 C 相切 则圆 C 的方程为 A x2 y2 2x 3 0 B x2 y2 4x 0 C x2 y2 2x 3 0 D x2 y2 4x 0 答案 D 解析 设圆心 C a 0 a 0 由3a 4 5 2 得 a 2 故圆的方程为 x 2 2 y2 4 即 x2 y2 4x 0 5 2012 江西 椭圆x 2 a2 y2 b2 1 a b 0 的左 右顶点分别是 A B 左 右焦 点分别是 F1 F2 若 AF1 F1F2 F1B 成等比数列 则此椭圆的离心率为 A 1 4 B 5 5 C 1 2 D 5 2 答案 B
4、解析 由等比中项的性质得到 a c 的一个方程 再进一步转化为关于 e 的 方程 解之即得所求 依题意得 F1F2 2 AF1 F1B 即 4c2 a c a c a2 c2 整理得 5c2 a2 e c a 5 5 6 2012 浙江 如图 中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点 M N 是双曲线的两顶点 若 M O N 将椭圆长轴四等分 则双曲线与椭圆的离心率 的比值是 A 3 B 2 C 3 D 2 答案 B 解析 设焦点为 F c 0 双曲线的实半轴长为 a 则双曲线的离心率 e1 c a 椭圆的离心率 e2 c 2a 所以 e1 e2 2 选 B 7 设 F1 F2分别是双曲线
5、x2 y 2 9 1 的左 右焦点 若点 P 在双曲线上 且PF1 PF2 0 则 PF1 PF2 等于 A 10 B 2 10 C 5 D 2 5 答案 B 解析 F1 10 0 F2 10 0 2c 2 10 2a 2 PF1 PF2 0 PF1 2 PF2 2 F1F2 2 4c2 40 PF1 PF2 2 PF1 2 PF2 2 2PF1 PF2 40 PF1 PF2 2 10 8 过抛物线 y 1 4x 2 准线上任一点作抛物线的两条切线 若切点分别为 M N 则直线 MN 过定点 A 0 1 B 1 0 C 0 1 D 1 0 答案 A 解析 特殊值法 取准线上一点 0 1 设 M
6、 x1 1 4x 2 1 N x2 1 4x 2 2 则过 M N 的切线方程分别为 y 1 4x 2 1 1 2x1 x x1 y 1 4x 2 2 1 2x2 x x2 将 0 1 代 入得 x21 x22 4 MN 的方程为 y 1 恒过 0 1 点 9 如图 过抛物线 x2 4py p 0 焦点的直线依次交抛物线与圆 x2 y p 2 p2于点 A B C D 则AB CD 的值是 A 8p2 B 4p2 C 2p2 D p2 答案 D 解析 AB AF p yA CD DF p yB AB CD yAyB p2 因为AB CD 的方向相同 所以AB CD AB CD yAyB p2
7、10 已知抛物线 y x2上有一定点 A 1 1 和两动点 P Q 当 PA PQ 时 点 Q 的横坐标取值范围是 A 3 B 1 C 3 1 D 3 1 答案 D 解析 设 P x1 x21 Q x2 x22 kAP x 2 1 1 x1 1 x 1 1 kPQ x22 x21 x2 x1 x 2 x1 由题意得 kPA kPQ x1 1 x2 x1 1 x2 1 1 x1 x 1 1 1 x1 1 x 1 1 利用函数性质知 x2 3 1 故选 D 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 把答案填在题中横线 上 11 设 l1的倾斜角为 0 2 l1 绕其上一点 P
8、逆时针方向旋转 角得 直线 l2 l2的纵截距为 2 l2绕点 P 逆时针方向旋转 2 角得直线 l3 x 2y 1 0 则 l1的方程为 答案 2x y 8 0 解析 l1 l3 k1 tan 2 k2 tan2 2tan 1 tan2 4 3 l2的纵截距为 2 l2的方程为 y 4 3x 2 由 y 4 3x 2 x 2y 1 0 P 3 2 l1过 P 点 l1的方程为 2x y 8 0 12 过直线 2x y 4 0 和圆 x2 y2 2x 4y 1 0 的交点且面积最小的圆 的方程是 答案 x 13 5 2 y 6 5 2 4 5 解析 因为通过两个定点的动圆中 面积最小的是以这两
9、个定点为直径端点 的圆 于是解方程组 2x y 4 0 x2 y2 2x 4y 1 0 得交点 A 11 5 2 5 B 3 2 因为 AB 为直径 其中点为圆心 即为 13 5 6 5 r 1 2 AB 2 5 5 所以圆的方程为 x 13 5 2 y 6 5 2 4 5 13 2012 江苏 在平面直角坐标系 xOy 中 圆 C 的方程为 x2 y2 8x 15 0 若直线 y kx 2 上至少存在一点 使得以该点为圆心 1 为半径的圆与圆 C 有公共点 则 k 的最大值是 答案 4 3 解析 设圆心 C 4 0 到直线 y kx 2 的距离为 d 则 d 4k 2 k2 1 由题意知 问
10、题转化为 d 2 即 d 4k 2 k2 1 2 得 0 k 4 3 所以 kmax 4 3 14 若椭圆x 2 a2 y2 b2 1 过抛物线 y 2 8x 的焦点 且与双曲线 x2 y2 1 有相 同的焦点 则该椭圆的方程是 答案 x2 4 y2 2 1 解析 抛物线 y2 8x 的焦点坐标为 2 0 则依题意知椭圆的右顶点的坐标 为 2 0 又椭圆与双曲线 x2 y2 1 有相同的焦点 a 2 c 2 b2 a2 c2 b2 2 椭圆的方程为x 2 4 y2 2 1 15 已知两点 M 3 0 N 3 0 点 P 为坐标平面内一动点 且 MN MP MN NP 0 则动点 P x y 到
11、点 A 3 0 的距离的最小值为 答案 3 解析 因为 M 3 0 N 3 0 所以MN 6 0 MN 6 MP x 3 y NP x 3 y 由 MN MP MN NP 0 得 6 x 3 2 y2 6 x 3 0 化简整理得 y2 12x 所以点 A 是抛物线 y2 12x 的焦点 所以点 P 到 A 的距离的最小值就是原 点到 A 3 0 的距离 所以 d 3 16 已知以 y 3x 为渐近线的双曲线 D x 2 a2 y2 b2 1 a 0 b 0 的左 右焦 点分别为 F1 F2 若 P 为双曲线 D 右支上任意一点 则 PF 1 PF2 PF1 PF2 的取值范围 是 答案 0 1
12、 2 解析 依题意 PF1 PF2 2a PF1 PF2 2c 所以 0 PF 1 PF2 PF1 PF2 a c 1 e 又双曲线的渐近线方程 y 3x 则 b a 3 因此 e c a 2 故 0b 0 的一个顶 点为 A 2 0 离心率为 2 2 直线 y k x 1 与椭圆 C 交于不同的两点 M N 1 求椭圆 C 的方程 2 当 AMN 的面积为 10 3 时 求 k 的值 解析 1 由题意得 a 2 c a 2 2 a2 b2 c2 解得 b 2 所以椭圆 C 的方程为x 2 4 y2 2 1 2 由 y k x 1 x2 4 y2 2 1 得 1 2k2 x2 4k2x 2k2
13、 4 0 设点 M N 的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 则 y1 k x1 1 y2 k x2 1 x1 x2 4k2 1 2k2 x 1x2 2k2 4 1 2k2 所以 MN x2 x1 2 y2 y1 2 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 2 1 k2 4 6k2 1 2k2 又因为点 A 2 0 到直线 y k x 1 的距离 d k 1 k2 所以 AMN 的面积为 S 1 2 MN d k 4 6k2 1 2k2 由 k 4 6k2 1 2k2 10 3 化简得 7k4 2k2 5 0 解得 k 1 19 本题满分 12 分 2012 天津理 设椭圆x 2 a2 y2 b
14、2 1 a b 0 的左 右顶点分 别为 A B 点 P 在椭圆上且异于 A B 两点 O 为坐标原点 1 若直线 AP 与 BP 的斜率之积为 1 2 求椭圆的离心率 2 若 AP OA 证明直线 OP 的斜率 k 满足 k 3 解析 1 设点 P 的坐标为 x0 y0 由题意 有x 2 0 a2 y20 b2 1 由 A a 0 B a 0 得 kAP y0 x0 a k BP y0 x0 a 由 kAP kBP 1 2 可得 x 2 0 a2 2y20 代入 并整理得 a2 2b2 y20 0 由于 y0 0 故 a2 2b2 于是 e2 a 2 b2 a2 1 2 所以椭圆的离心率 e
15、 2 2 2 方法一 依题意 直线 OP 的方程为 y kx 设点 P 的坐标为 x0 y0 由条件得 y0 kx0 x20 a2 y20 b2 1 消去 y0并整理得 x20 a2b2 k2a2 b2 由 AP OA A a 0 及 y0 kx0 得 x0 a 2 k2x20 a2 整理得 1 k2 x20 2ax0 0 而 x0 0 于是 x0 2a 1 k2 代入 整理得 1 k2 2 4k2 a b 2 4 由 a b 0 故 1 k2 2 4k2 4 即 k2 1 4 因此 k2 3 所以 k 3 方法二 依题意 直线 OP 的方程为 y kx 可设点 P 的坐标为 x0 kx0 由
16、 点 P 在椭圆上 有x 2 0 a2 k2x20 b2 1 因为 a b 0 kx0 0 所以x 2 0 a2 k2x20 a2 1 即 1 k2 x20 a2 由 AP OA A a 0 得 x0 a 2 k2x20 a2 整理得 1 k2 x20 2ax0 0 于是 x0 2a 1 k2 代入 得 1 k 2 4a2 1 k2 23 所以 k 3 20 本题满分 12 分 如图 点 A B 分别是椭圆x 2 36 y2 20 1 长轴的左 右端点 点 F 是椭圆的右焦点 点 P 在椭圆上 且位于 x 轴上方 PA PF 1 求点 P 的坐标 2 设 M 是椭圆长轴 AB 的一点 M 到直线 AP 的距离等于 MB 求椭圆上的 点到点 M 的距离 d 的最小值 解析 1 由已知可得点 A 6 0 F 4 0 设点 P 的坐标是 x y 则AP x 6 y FP x 4 y 由已知得 x 2 36 y2 20 1 x 6 x 4 y2 0 则 2x2 9x 18 0 x 3 2或 x 6 点 P 位于 x 轴上方 x 6 舍去 只能取 x 3 2 由于 y 0 于是 y 5 2 3
