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1、 试卷类型：A2014年1月广州高三市调研考试试题及答案测试数 学（理 科） 20141本试卷共4页，21小题，满分150分考试用时120分钟注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作
2、答的答案无效4作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答漏涂、错涂、多涂的，答案无效5考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回参考公式：锥体体积公式，其中为锥体的底面积，为锥体的高一选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知为虚数单位， 则复数的模等于A B C D2设集合，则等于A B C D3已知向量，若，则实数的值为A B C D4定义在上的函数满足则的值为A B2 C D4Oxy1图15函数（，）的部分图象如图1所示，则函数对应的解析式为A BC D6执行如图2的程序框图，如果输入的的值
3、是6，那么输出的的值是A15 B105 C120 D720 是否开始输出图2输入结束7若点和点到直线的距离依次为1和2，则这样的直线有A1条 B2条 C3条 D4条8对于实数a和b，定义运算“*”：*设*，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是A B C D二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（913题）9在等比数列中，若，则 Oxy24-2图310若，满足约束条件则的最大值为_11如图3，设是图中边长为4的正方形区域，是内函数图象下方的点构成的区域在内随机取一点，则该点落在中的概率为 12已知点在曲线（其中为自然对数的底数）上，为曲线
4、在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是 13有4名优秀学生，全部被保送到甲，乙，丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有 种图4（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）14（几何证明选讲选做题）如图4，为的直径，弦交于点若，则的长为 15（坐标系与参数方程选讲选做题）若点在曲线（为参数，）上，则的取值范围是 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）在中，角，所对的边分别为，且 （1）求的值；（2）若，求的值17（本小题满分12分）空气质量指数 (单位:)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越
5、严重的浓度与空气质量类别的关系如下表所示：日均浓度035357575115115150150250250空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染从甲城市2013年9月份的30天中随机抽取15天的日均浓度指数数据茎叶图如图5所示3 2 0 4 5 5 6 4 7 6 9 7 8 8 0 7 9 1 8 0 9 图5（1）试估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数；（2）在甲城市这15个监测数据中任取个，设为空气质量类别为优或良的天数，求的分布列及数学期望18（本小题满分14分）图6ABCDEF在如图6的几何体中，平面为正方形，平面为等腰梯形，（1）求证：平面；（2）
6、求直线与平面所成角的正弦值19（本小题满分14分）已知数列an满足，（1）求证：数列为等比数列；（2）是否存在互不相等的正整数，使，成等差数列，且， 成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的，；如果不存在，请说明理由20（本小题满分14分）设函数，.（1）若曲线与在它们的交点处有相同的切线，求实数，的值；（2）当时，若函数在区间内恰有两个零点，求实数的取值范围；（3）当，时，求函数在区间上的最小值 21（本小题满分14分）如图7，已知椭圆的方程为，双曲线的两条渐近线为过椭圆的右焦点作直线，使，又与交于点，设与椭圆的两个交点由上至下OxyBAFPl1ll2依次为，（1）若与的夹角为60，且双曲线
7、的焦距为4，求椭圆的方程；图7（2）求的最大值2014年1月广州高三市调研考试试题及答案测试数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1参考答案及评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据比照评分标准给以相应的分数 2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本大题主要考查基本知识和
8、基本运算共8小题，每小题5分，满分40分 题号12345678答案DCADABCA 二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分其中1415题是选做题，考生只能选做一题题号9101112131415答案34361三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）解：（1）在中，1分所以 2分3分所以 5分7分（2）因为，由余弦定理，9分得11分 解得12分17（本小题满分12分）解：（1）由茎叶图可知，甲城市在2013年9月份随机抽取的15天中的空气质量类别为优或良的天数为5天1分所以可估计
9、甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数为10天2分（2）的取值为0，1，2，3分因为，5分，7分9分所以的分布列为：110分所以数学期望12分18（本小题满分14分）（1）证明1：因为，在中，由余弦定理可得2分所以所以3分因为，、平面，所以平面4分证明2：因为，设，则在中，由正弦定理，得1分因为，所以整理得，所以2分所以3分因为，、平面，所以平面4分（2）解法1：由（1）知，平面，平面，所以因为平面为正方形，所以因为，所以平面6分取的中点，连结，因为是等腰梯形，且，所以所以是等边三角形，且7分MNABCDEF取的中点，连结，则8分因为平面，所以因为，所以平面 9分所以为直线与平面所成角 10分因为平面，所以11分因为，12分在中，13分所以直线与平面所成角的正弦值为14分解法2：由（1）知，平面，平面，所以因为平面为正方形，所以因为，所以平面6分xABCDEFyz所以，两两互相垂直，建立如图的空间直角坐标系7分因为是等腰梯形，且，所以不妨设，则，所以，9分设平面的法向量为，则有即取，得是平面的一个法向量11分设直线与平面所成的角为，则13分 所以直线与平面所成角的正弦值为14分
