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1、2013高考试题解析分类汇编（理数）：圆锥曲线一、选择题（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版）双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（）ABCDC 的顶点坐标为，渐近线为，即带入点到直线距离公式= （2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版）已知中心在原点的双曲线的右焦点为,离心率等于,在双曲线的方程是（）ABCDB；依题意,所以,从而,故选B （2013年高考新课标1（理）已知双曲线:()的离心率为,则的渐近线方程为（）ABCDC 已知双曲线C：的离心率为，故有=，所以=，解得 =故C的渐近线方程为 ，故选C （2013年高考湖北卷（理）已
2、知,则双曲线与的（）A实轴长相等B虚轴长相等C焦距相等D离心率相等D 本题考查双曲线的方程以及的计算。双曲线中，所以，离心率为。中，所以。离心率为，所以两个双曲线有相同的离心率，选D. （2013年高考四川卷（理）抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）ABCDB 因为抛物线方程为y2=4x。所以2p=4，可得=1，抛物线的焦点F（1，0）又因为双曲线的方程为所以a2=1且b2=3，可得a=1且b=，双曲线的渐近线方程为y=，即y=x，化成一般式得：因此，抛物线y2=4x的焦点到双曲线渐近线的距离为d=。故选：B （2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版）如图,是椭
3、圆与双曲线的公共焦点,分别是,在第二、四象限的公共点.若四边形为矩形,则的离心率是OxyABF1F2（第9题图）（）ABCDD 设|AF1|=x，|AF2|=y，因为点A为椭圆C1：+y2=1上的点，所以2a=4，b=1，c=；所以|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；又四边形AF1BF2为矩形，所以+=，即x2+y2=（2c）2=12，由得：，解得x=2，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2a，焦距为2c，则2a=，|AF2|AF1|=yx=2，2c=2=2，所以双曲线C2的离心率e=故选D （2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案）已知双曲线的两条渐近线与抛物
4、线的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, AOB的面积为, 则p =（）A1BC2D3C 双曲线的渐近线为，抛物线的准线方程为。当时，所以三角形AOB的面积为，即，又双曲线的离心率为2，所以，即，即，所以，即，所以，选C. （2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对）椭圆的左、右顶点分别为,点在上且直线的斜率的取值范围是,那么直线斜率的取值范围是（）ABCDB 由椭圆C：可知其左顶点A1（2，0），右顶点A2（2，0）设P（x0，y0）（x02），则，得因为=，=，所以=，因为，所以，解得 （2013年普通高等学校招生统一考试大纲
5、版数学（理）WORD版含答案（已校对）已知抛物线与点,过的焦点且斜率为的直线与交于两点,若,则（）ABCDD 由抛物线C：y2=8x得焦点（2，0），由题意可知：斜率k0，设直线AB为my=x2，其中联立，得到y28my16=0，0，设A（x1，y1），B（x2，y2）所以y1+y2=8m，y1y2=16又，所以=（x1+2）（x2+2）+（y12）（y22）=（my1+4）（my2+4）+（y12）（y22）=（m2+1）y1y2+（4m2）（y1+y2）+20=16（m2+1）+（4m2）8m+20=4（2m1）2由4（2m1）2=0，解得所以故选D（2013年高考北京卷（理）若双曲线的离
6、心率为,则其渐近线方程为（）Ay=2xBy=CDB 由双曲线的离心率，可知c=a，又a2+b2=c2，所以b=a，所以双曲线的渐近线方程为：y=x选B（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案）已知抛物线:的焦点与双曲线:的右焦点的连线交于第一象限的点.若在点处的切线平行于的一条渐近线,则（）ABCDD 经过第一象限的双曲线的渐近线为。抛物线的焦点为,双曲线的右焦点为.，所以在处的切线斜率为，即，所以，即三点，共线，所以，即，选D.（2013年高考新课标1（理）已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为（）ABCDD 设A（x1，y1），B（x2
7、，y2），代入椭圆方程得，相减得，所以因为x1+x2=2，y1+y2=2，=所以，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9所以椭圆E的方程为故选D（2013年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理）（纯WORD版含答案）设抛物线的焦点为,点在上,若以为直径的圆过点,则的方程为（）A或B或 C或D或 C 因为抛物线C方程为y2=3px（p0）所以焦点F坐标为（，0），可得|OF|=因为以MF为直径的圆过点（0，2），所以设A（0，2），可得AFAMRtAOF中，|AF|=所以sinOAF=因为根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，所以OAF=AMF，可得RtAMF
8、中，sinAMF=，因为|MF|=5，|AF|=所以=，整理得4+=，解之可得p=或p=因此，抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x 故选：C二、填空题（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题）双曲线的两条渐近线的方程为_. （2013年高考江西卷（理）抛物线的焦点为F,其准线与双曲线相交于两点,若为等边三角形,则_6 本题考查抛物线与双曲线的方程和性质。抛物线的焦点坐标，准线方程为。代入得。要使若为等边三角形，则，解得。（2013年高考湖南卷（理）设是双曲线的两个焦点,P是C上一点,若且的最小内角为,则C的离心率为_. 本题考查双曲线的性质以及
9、余弦定理的应用。不妨设点P位于双曲线的右支上。由双曲线的定义可知，又，所以解得。因为，所以最小，即.所以由余弦定理得,即，即，即，解得。（2013年高考上海卷（理）设AB是椭圆的长轴,点C在上,且,若AB=4,则的两个焦点之间的距离为_. 【解答】不妨设椭圆的标准方程为，于是可算得，得（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版）已知直线交抛物线于两点.若该抛物线上存在点,使得为直角,则的取值范围为_ _. .所以（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题）在平面直角坐标系中,椭圆的标准方程为,右焦点为,右准线为,短轴的一个端
10、点为,设原点到直线的距离为,到的距离为,若,则椭圆的离心率为_. 由题意知所以有 两边平方得到，即两边同除以得到，解得，即（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版）椭圆的左.右焦点分别为,焦距为2c,若直线与椭圆的一个交点M满足,则该椭圆的离心率等于_ 由直线方程直线与x轴的夹角，且过点即由椭圆的第一定义可得（2013年高考陕西卷（理）双曲线的离心率为, 则m等于_9_.9 （2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版）已知椭圆的左焦点为与过原点的直线相交于两点,连接,若,则的离心率_. 由余弦定理，,即，整理得，解得.又三角形为直角三角形，所
11、以.设右焦点为,连结.根据对称性可知四边形为矩形，所以，又椭圆的定义可知，所以，所以离心率。（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题）在平面直角坐标系中,设定点,是函数()图象上一动点,若点之间的最短距离为,则满足条件的实数的所有值为_.或 由题意设 则有令则 对称轴 1.时， ， （舍去） 2.时， ， （舍去） 综上或（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版）设为抛物线的焦点,过点的直线交抛物线于两点,点为线段的中点,若,则直线的斜率等于_. 设直线l的方程为y=k(x+1)，联立消去y得k2x2+(2k24)x+k
12、2=0，由韦达定理，xA+ xB =，于是xQ=，把xQ带入y=k(x+1)，得到yQ=，根据|FQ|=，解出k=1三、解答题（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分9分.已知椭圆的两个焦点分别为、,短轴的两个端点分别为(1)若为等边三角形,求椭圆的方程;(2)若椭圆的短轴长为,过点的直线与椭圆相交于两点,且,求直线的方程.解(1)设椭圆的方程为. 根据题意知, 解得, ，故椭圆的方程为. (2)容易求得椭圆的方程为. 当直线的斜率不存在时,其方程为,不符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线的方程为. 由 得. 设,则 因为,所以,即 ,
13、解得,即. 故直线的方程为或. （2013年高考四川卷（理）已知椭圆:的两个焦点分别为,且椭圆经过点.()求椭圆的离心率;()设过点的直线与椭圆交于、两点,点是线段上的点,且,求点的轨迹方程.解: 所以,. 又由已知, 所以椭圆C的离心率 由知椭圆C的方程为. 设点Q的坐标为(x,y). (1)当直线与轴垂直时,直线与椭圆交于两点,此时点坐标为 (2) 当直线与轴不垂直时,设直线的方程为. 因为在直线上,可设点的坐标分别为,则 . 又 由,得 ,即 将代入中,得 由得. 由可知 代入中并化简,得 因为点在直线上,所以,代入中并化简,得. 由及,可知,即. 又满足,故. 由题意,在椭圆内部,所以, 又由有 且,则. 所以点的轨迹方程是,其中, （2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案）椭圆的左、右焦点分别是,离心率为,过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.()求椭圆的方程; ()点是椭圆上除长轴端点外的任一点,连接,设的角平分线交 的长轴于点,求的取值范围;()在(
