第4章 影响线

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1、结构力学 教师 蒋玉川单位 建环学院 土木系职称 教授 第1章绪论第2章几何组成分析第3章静定结构内力第4章影响线第5章静定结构位移第6章力法第7章位移法第8章渐进法第9章矩阵位移法第10章结构动力计算 4 1移动荷载和影响线的概念 所谓移动荷载是指的大小和方向不变 而作用位置却是在结构上移动的荷载 本章就是要讨论结构在移动荷载作用下的内力计算问题 为此 需要研究以下问题 1 结构上某一量值 内力 或反力 随单位移动荷载作用位置变化时的函数图形 即某量值的影响线 2 确定最不利荷载位置 即使结构某一量值 内力 或反力 达到最大值时的荷载位置 3 确定结构各截面上内力变化的范围 即内力包络图 第

2、4章静定结构的影响线 例 吊车荷载 吊车 吊车梁 吊车轮子传下的一组间距不变的荷载 吊车梁 移动荷载 是一组大小不变 方向不变 相互间的距离不变 但是作用位置随时间变化的荷载 如 汽车荷载 火车荷载 吊车荷载等 影响线的定义 当一个方向不变的单位荷载沿一结构移动时 表示某一指定截面某一量值变化规律的函数图形 称为该量值的影响线 现以图 a所示简支梁为例 说明其支座反力FRB的影响线的绘制 上式称为FRB的影响线方程 由此 绘其影响线如图 b所示 它形象的表明了支座反力随单位荷载FP 1的移动而变化的规律 其竖标y则表示FP 1作用于该处时 B支座反力FRB的值 4 2静力法作影响线 静力法是以

3、单位移动荷载FP 1的作用位置x为变量 通过平衡方程 从而确定所求内力或支座反力的影响线方程 并作出影响线 现以图 a所示简支梁为例 介绍按静力法绘制影响线的步骤 由平衡条件 可以容易得出 1 反力影响线 2 剪力影响线 现作指定截面C的剪力FQC的影响线 如图 a所示 当FP 1作用于AC段时 取CB段为脱离体 由 当FP 1作用于CB段时 取AC段为脱离体 由 由影响线方程作出FQC的影响线如图 d所示 综上所述 FQC的影响线是在反力影响线的基础上作出的 并分成AC段和CB段 且由两段平行直线组成 在C点形成台阶 即有突变 突变值为单位力1 3 弯矩影响线 现拟作指定截面C的弯矩MC的影

4、响线 其步骤与作剪力影响线相同 当FP 1作用于CB段时 取AC段为脱离体 由 当FP 1作用于AC段时 取CB段为脱离体 由 根据以上影响线方程不难作出MC的影响线 如图 e所示 由图 e可见 MC的影响线是一个顶点在C的三角形 当F 1作用于C点时MC为极大值 弯矩MC的影响线如下 例4 1 试绘制图 a所示外伸梁MC MD FQD FLQB FRQB的影响线 解 外伸梁支座反力的影响线与简支梁的形式一样 只是x的取值范围不同 其影响线可由简支梁的相应图形外伸得到 1 MC的影响线 当FP 1在C截面的左侧时 当FP 1在C截面的右侧时 2 MD FQD的影响线 当FP 1在D截面的左侧时

5、 取D的右边为脱离体 得 当FP 1在D截面的右侧时 仍取D的右边为脱离体 以D为原点 得 当FP 1在B截面的左侧时 取B的右边为脱离体 得 当FP 1在B截面的右侧时 取B的左边为脱离体 得 据此作出FQBL的影响线 同理 不难作出FQBR的影响线 例4 2 试用静力法作图 a所示梁MC FQC的影响线 解 由整体的平衡 又由 1 MC的影响线 当FP 1在AC段 当FP 1在CBD段 绘MC的影响线如图 b所示 2 FQC的影响线 当FP 1在AC段 当FP 1在CBD段 例4 3 试用静力法作图 a示结构中FNBC MD FQD FND的影响线 解 1 作FNBC的影响线 2 FQD的

6、影响线 当FP 1在AD段上时 当FP 1在DCE段上时 首先 取ACE为脱离体 所以 3 FND的影响线 当FP 1在AE段上时 取AD为脱离体 3 作MD的影响线 例4 4用静力法作图示刚架MC QC的影响线 解 1 由整体的平衡 2 MC QC 例4 5用静力法作图示刚架MA YA的影响线 解 1 MA规定刚架内侧受拉为正 当FP 1在BC段上时 当FP 1在CDE段上时 由此作出MA的影响线如图 b 所示 当FP 1在BC段上时 2 YA 当FP 1在CDE段上时 4 2各种静定结构的影响线 静定结构影响线绘制方法有 静力法和机动法 讨论的结构包括 简支梁 悬挑梁 多跨静定梁 桁架 组

7、合结构 三铰拱 1 反力影响线 式 就是反力FYA的影响线方程 显然它是一个直线方程 取两点 影响线上的每一个竖标 表示的是 单位力作用于该位置时 反力FYA的大小 FYA的影响线方程 1 4 2各种静定结构的影响线 同理求FYB的影响线方程 式 就是反力FYA的影响线方程 显然它是一个直线方程 取两点 1 4 2各种静定结构的影响线 2 弯矩影响线 求简支梁上C点弯矩的影响线方程 首先让单位力在C点的左侧移动 即 取CB为隔离体 式 为弯矩MC在AC段的影响线方程 4 2各种静定结构的影响线 取两点 弯矩MC在AC段的影响线方程 其次让单位力在C点的右侧移动 即 取AC为隔离体 式 为弯矩M

8、C在CB段的影响线方程 取两点 4 2各种静定结构的影响线 弯矩MC的影响线如下 3 剪力影响线 作简支梁C点的剪力影响线 首先让单位力在C点的左侧移动 即 4 2各种静定结构的影响线 取CB为隔离体 式 为剪力FQC在AC段的影响线方程 取两点 其次让单位力在C点的右侧移动 即 4 2各种静定结构的影响线 取AC为隔离体 式 为剪力FQA在AC段的影响线方程 取两点 剪力FQC的影响线 4 2各种静定结构的影响线 2 悬挑梁的影响线 1 反力影响线 作悬挑梁FYA的影响线 显然单位力在AB段移动时 其影响线与相应简支梁的影响线相同 因此只需研究DA段和BE段 由 得 4 2各种静定结构的影响

9、线 得 FYA的影响线如下 结论 画悬挑段的某量值的影响线只需把相应简支梁的影响线延长即可 4 2各种静定结构的影响线 2 弯矩影响线 作图示悬挑梁MC的影响线 可用上面的结论作图 先画出AB简支梁段MC的影响线 然后把左线和右线延长即可 MC的影响如下 4 2各种静定结构的影响线 3 剪力影响线 作图示悬挑梁FQC的影响线 同样可以先画出AB简支梁段FQC的影响线 然后把左线和右线延长即可 FQC的影响如下 4 2各种静定结构的影响线 画多跨静定梁的影响线是以简支梁和悬挑梁的影响线为基础的 3 多跨静定梁的影响线 作图示多跨静定梁反力FYA的影响线 ABD部分是基本部分 DC部分是附属部分

10、当力在ABD段移动时 FYA的影响线就是悬挑梁的影响线 当力在DC段移动时 FYA的影响线应该是直线 因此取两点的值即可 FYA的影响线 4 2各种静定结构的影响线 作FYD的影响线 由于FYD是附属部分的反力 因此当力在基本部分移动时FYD为零 当力在DC部分移动时 FYD是简支梁的反力 FYD的影响线 作ME的影响线 由于ME是基本部分的量值 因此在整个梁上都有量值 ME的影响线 4 2各种静定结构的影响线 作FQE的影响线 由于FQE是基本部分的量值 因此在整个梁上都有量值 FQE的影响线 4 2各种静定结构的影响线 4 3机动法画影响线 机动法画影响线运用的是虚位移原理 把作内力或支座

11、反力影响线的问题转化为几何作图的问题 机动法有一个优点 不经过计算就能迅速作出影响线的轮廓 具体步骤是 a 要求哪一点哪个量值的影响线 就把相应的约束去掉 用力来代替 称为真实的力状态 b 让去掉约束后的机构沿着力的方向发生单位的虚位移 称为虚设的位移状态 c 让真实的力到虚设的位移上去做虚功 由虚功方程 所有外力所做的虚功 0 可得到影响线方程 虚设的位移状态就是所要求的影响线 根据虚功方程有 P取于与FP 1方向一致为正 即向下为正 由式 4 1 求得 当FP 1移动时 位移 P是x的函数 而位移 Z与x无关 因此 式 4 2 可表示为 这里 函数Z x 表示Z的影响线 函数 P x 表示

12、荷载作用点的竖向位移图 由此可知 竖向位移图就代表了影响线的轮廓 至于影响线的竖标的正负号可规定如下 竖向位移图 P以向下为正 而 P图在横线上方 则 P值为负 将其反号得影响线 即影响线在轴线上方为正 机动法作影响线的步骤如下 1 撤去与Z相应的约束 代之未知力Z 2 使体系沿Z的正方向发生位移 作出荷载作用点的竖向位移图 即为影响线的轮廓 3 若再令 Z 1 可以进一步定出影响线各竖标的数据 例4 4 试用机动法作图 a所示简支梁的弯矩和剪力的影响线 把C点的抗弯约束去掉 用一对力矩MC代替 得到一个机构 让该机构沿着力矩MC的方向发生一个虚位移 设C点发生的相对转角 命令真实的力到虚设的

13、位移上做虚功 由虚功方程 虚设的位移状态 由式 可知 虚位移图就是MC的影响线 3 求简支梁剪力的影响线 把C点的抗剪约束去掉 用一对剪力FQC代替 得到一个机构 让该机构沿着剪力FQC的方向发生一个虚位移 设C点发生的相对错动 a b 1 真实的力状态 虚设的位移状态 5 3机动法画影响线 命令真实的力到虚设的位移上做虚功 由虚功方程 由式 可知 虚位移图就是FQC的影响线 5 3机动法画影响线 虚设的位移状态 在运用机动法作影响线时应注意 当静定结构在撤去一个约束后只是在局部形成机构 而在其余部分仍然保持为几何不变时 这表明当移动荷载FP 1作用于该几何不变部分时 附属部分某量值Z将保持为

14、零 例如 用机动法作如图伸臂梁MB和FQBR的影响线时 撤去相应约束后形成的体系在AB段仍保持几何不变 机构刚体运动将如图 a b所示 例4 5 试用机动法绘制图 a所示多跨静定梁的MK FQK FQB FQCL FyF和Mj的影响线 注意 在作机构的虚位移图时几何不变部分不会发生位移 这符合力的局部平衡原理 例4 6 试用机动法绘制图 a所示多跨静定梁的FRB MK MC FQCL的影响线 由此可见 在静定多跨梁中 基本部分的内力或反力影响线是布满全跨的 附属部分内力或反力的影响线则只在附属部分不为零 基本部分的线段与轴线重合 这一结论与多跨静定梁的力学特性 力的局部平衡性 是一致的 例4

15、7用机动法作图示多跨静定刚架MK FQK FQC的影响线 解 如图 a所示一多跨静定刚架 ABC为基本部分 CDE和EF为附属部分 移动荷载FP 1只是在刚架的梁上移动 此时 柱DH中只有轴力 其作用相当于一支杆 例4 8 求图 a所示单位移动力偶m 1作用下MC的影响线 解 为求MC的影响线 先将C截面较化 并令 Z 1 形成虚位移图 力偶行走线的角位移为 x 即虚位移图的斜率 AC段 CB段不相同 由刚体虚功方程 又因为 故弯矩MC的影响线方程为 可见 单位移动力偶作用下某量值的影响线就等于单位竖向荷载作用下该量值影响线的斜率 故在AC段M x 的斜率为b L 在CB段M x 的斜率为 a

16、 L 故在单位力偶作用下 MC的影响线如图 c所示 例4 9 求图 a所示多跨静定梁MG和FQG的影响线 解 为求MG影响线 在G处加铰 代之以MG 沿MG正方向发生单位虚位移 形成虚位移图 b所示 由虚位移图的斜率可求得各杆段MG的影响线 如图 c所示 即为MG的影响线 用静力法对以上结果进行校核 二者结果一致 用机动法做图示结构的影响线 4 4结点荷载作用下简支主梁的影响线 桥梁或房屋建筑中的某些主梁 如图4 a所示 通常纵梁简支在横梁上 而横梁又简支在主梁上 荷载直接作用于纵梁上 通过横梁转给主梁 由此可见 不论纵梁受何种荷载 主梁总是通过横梁结点受集中力的作用 对主梁来说 这种荷载称为结点荷载 1 MC的影响线 MC的影响线的影响线与简支梁受直接荷载作用下的影响线做法相同 如图 b所示 2 MD的影响线 当单位移动荷载FP 1在CE上移动时 如图 c所示 设相应主梁MD影响线竖标为y 依据叠加原理和影响线的定义可得 上式为x的一次式 故在结点荷载作用下 MD的影响线在CE段为直线 又因为 当FP 1作用在结点C或E上 结点荷载与直接荷载完全相同 所以 在结点上 结点荷载影响线的