第2章-多自由度系统振动

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1、第2章多自由度系统振动 2 1多自由度系统的自由振动2 2动力减振器2 3多自由度系统的模态分析方法2 4确定系统固有频率与主振型的方法 本章目的 掌握多自由度系统建模方法 重点是刚度系数法掌握多自由度振动系统的固有频率 主振型概念掌握矩阵迭代法 传递矩阵法掌握多自由度振动系统的模态分析方法了解动力减振器的基本原理 2 1多自由度系统的自由振动 1 振动微分方程的建立2 多自由度系统的固有频率与主振型3 初始条件和系统响应 模态叠加 一 多自由度振动微分方程的建立 牛顿运动方程 或达朗伯尔原理 拉格朗日运动方程影响系数法哈密尔顿原理有限单元法 第9章 1 用牛顿定律建立微分方程 例题1 P24

2、 在不平路面上行驶的车辆的二自由度系统 图 设刚性杆的质量为m 两端的支承刚度分别为k1 k2 杆绕质心G点的转动惯量为J 假设作用在质心G点的激励力为简谐力F和简谐转矩T 则刚性杆不仅沿x方向振动 而且绕其质心扭转振动 解 取刚性杆的广义坐标为 由牛顿定律 系统的振动微分方程为 和 写成矩阵表达式 即 质量矩阵 刚度矩阵 力列阵 2 用拉格朗日方程建立微分方程 T为系统的动能U为系统的势能qi为广义坐标Fi为非有势广义力 拉格朗日方程 讨论 质量矩阵 刚度矩阵的特性与广义坐标的关系 P25 和 在两个方程中出现 称为静力参数耦合或弹性耦合 例题2 P25 用拉格朗日方程方法 列出车辆二自由度

3、系统的动力学微分方程 右图 解 广义坐标 取C点 G点为质心 的直线位移为xc为q1 转角为 c为q2 此时外力Fc和转矩Tc作用在C点 另设 系统的动能 系统的势能 利用拉格朗日方程 得 写出矩阵 质量矩阵 讨论 质量矩阵 刚度矩阵的特性与广义坐标的关系 P26 为对称阵 刚度矩阵 为对角阵 和 在两个方程中出现 称为惯性耦合 3 影响系数法 刚度影响系数法柔度影响系数法 刚度影响系数kij 在系统的j点产生单位位移 即xj 1 而其余各点的位移均为零时 在系统的i点所需要加的力 刚度影响系数法又成为单位位移法 例如 上图中k11表示在质量m1产生单位位移xl 1 而其它各质量位移均为0时

4、在质量m1所施加的力 此时 例 P26 质量m1 m2 m3的位移为x1 x2 x3 列出三自由度系统的动力学微分方程 解 刚度影响系数kij 动力学微分方程为 则 讨论 1 如果直接用牛顿定律 可否列出上述方程 2 刚度影响系数kij kji与刚度矩阵的对称性 P27 11表示在m1上作用一个单位力Fj 1 而质量m2 m3上无作用力时 梁上m1处所产生得位移 由材料力学 得 柔度影响系数法又称为单位力法 柔度影响系数 ij 在系统的j点作用一个单位力 即Fj 1 而其余各点均无作用力时 在系统的i点产生的位移 例 P27 图2 3所示 简支梁上有质量m1 m2 m3 不计梁的自重 的位移为

5、x1 x2 x3 列出三自由度铅垂方向振动微分方程 解 柔度影响系数 ij 21表示在m1上作用一个单位力Fj 1 而质量m2 m3上无作用力时 梁上m2处所产生得位移 由材料力学 得 同理 可以求出其他柔度系数 最后得出总柔度系数矩阵 可以证明 柔度影响系数矩阵与刚度影响系数矩阵互为逆阵 即 三自由度铅垂方向振动微分方程为 讨论 1 如果直接用牛顿定律 可否列出上述方程 难度多大 2 上述方程为什么不用刚度影响系数法 难度多大 用拉格朗日方程方法 3 什么时候用柔度影响系数法 什么时候用刚度影响系数法 P28 结论 1 对于质量弹簧系统 应用刚度影响系数法较容易 2 对于梁 多重摆系统则用柔

6、度影响系数法容易 3 对于杆件机构 应用拉格朗日方程方法较容易 二 多自由度系统的固有频率与主振型 对于一个多自由度的自由振动系统 以二自由度系统为例 设质量块作简谐振动 即 2 5 带入 2 5 式 则 上式对于任意时间t成立 则 振幅列阵 特征方程 2 6 即为振型 求解二自由度系统的固有频率与主振型 二自由度系统特征矩阵方程的展开式为 2 7 2 8 该方程具有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零 也可表示为 易解出 得出两个固有频率下的振幅比值 为一阶固有频率 或第一阶主频率 为二阶固有频率 或第二阶主频率 固有频率的大小仅取决于系统本身的物理性质 将所求得的固有频率 和 代入系统特

7、征矩阵方程 因此 振型可表示为 第一主振型 第二主振型 2 2方阵 对于n个自由度振动系统 由特征方程 可求出n个固有频率 其振型可表示为 n n方阵 三 初始条件和系统响应 模态叠加 以二自由度系统为例 质量块m1 m2组成的二自由度振动系统有两组解 而其全解由这两组解叠加而成 即 系统的响应为 引入振型 设初始条件 t 0时 推导出 已知 求 2 14 2 2动力减振器 在工程中 为减少振动带来的危害 可以在主系统上装设一个辅助的弹簧质量系统 该辅助装置与主系统构成一个二自由度系统 该辅助装置能使主系统避开共振区 并有减振效果 故称为动力减振器 动力减振器与隔振器是本质不同的 该二自由度系

8、统的动力学微分方程为 采用复数法求解微分方程 参见第1 9节 P20 2 18 带入 2 18 式 得 为了比较安装动力减振器前后的减振效果 用减振后主系统的振幅与主系统在激振力幅值作用下产生的静位移之比来评价 2 20 展开后 求出B1 再将B1的复数值求模 得 静位移为 设 带入 2 20 式 得 注意希腊字母 ksi 原机械固有频率 减振器固有频率 注意 为了工程设计方便 与二自由度系统两阶固有频率概念有别 注意希腊字母 ksi 如果 2 22 则 无阻尼动力减振器的设计讨论 当减振器的固有频率等于激振频率时 即 则 2 23 达到了消振目的 然而 减振器的引入 却出现了两个新的共振点

9、和 取式 2 23 分母为零 意味着共振 并令 则 即 新的共振频率仅由减振器与主系统质量之比 为使主系统能远离新的共振点的范围内 希望 与 相差较大 一般在设计无阻尼动力减振器时 取 2 24 理想情况 2 3多自由度系统的模态分析方法 1 方程的耦合与坐标变换2 主振型的正交性3 模态矩阵和模态坐标4 多自由度系统的模态分析方法5 模态矩阵正则化6 振型截断法 CutOff 1 方程的耦合与坐标变换 回顾 第2 1节P24 P25 G点为质心 为刚性杆的广义坐标时 有 和 针对行驶车辆的二自由度系统 用牛顿定律 以 用拉格朗日方程 以 和 为刚性杆的广义坐标时 有 称谓弹性耦合 称谓惯性耦

10、合 对于同一系统 采用的坐标系统不同 微分方程的形式和耦合情况就不同 即微分方程的耦合状态是由所选的坐标系统决定的 如果振动微分方程组的各系数矩阵均为对角阵 各方程间不存在任何耦合 各分别求解 与单自由度求解完全相同 适当的坐标变换 可以使相互耦合的方程解除耦合 即解耦 结论 问题 如何进行坐标变换 仍然采用行驶车辆的二自由度系统图 有如下关系 写成矩阵 对于任意的线性变换可表达为 为变换矩阵 遗憾 前面这个变换矩阵不能达到解耦目的 要做的工作 寻找一个合适的变换矩阵 使原来方程解耦 结论 这个变换矩阵 就是主振型矩阵 2 主振型的正交性 与第一式相减 有 以二自由度系统为例 特征方程 或 将

11、两个固有频率和相应振型代入 得 将上式两边分别前乘以 和 将第二式转置 有 主振型的正交性的物理意义 各阶主振型之间的能量不能传递 保持各自的独立性 但每个主振型内部的动能和势能是可以相互转化的 P33 当 时 有 主振型对质量矩阵的正交性 同理可得 主振型对刚度矩阵的正交性 条件 主振型的正交性只有在质量矩阵和刚度矩阵为对称矩阵时才成立 推论 3 模态矩阵和模态坐标 由主振型 对质量矩阵 和刚度矩阵 的正交性 可使 M K 变为对角矩阵 以主振型 线性变换矩阵 对系统的原方程进行坐标变换 设系统原方程为 仍以二自由度为例 主振型 称为模态矩阵或振型矩阵 坐标变换 线性变换矩阵 为模态坐标 2

12、 35 代入原方程 并在等号两边分别前乘以 得 2 35 为模态质量矩阵 为模态刚度矩阵 为第一 二阶模态质量或主质量 为第一 二阶模态刚度或主刚度 为模态力列阵 理解 运用主振型的正交性 4 多自由度系统的模态分析方法 在二自由度系统模态分析基础上扩展 多自由度系统运动微分方程为 坐标变换 有 2 38 2 40 系统的模态方程是一组不耦合的方程组 理解 运用主振型的正交性 4 把模态坐标响应变换成广义坐标响应 即为系统的响应 小结 多自由度系统模态分析的基本步骤 P34 1 求系统的固有频率与主振型 构成主振型矩阵 2 坐标变换 得 3 求模态方程的解 一般可由杜哈美积分 或待定系数法求微

13、分方程的特解 将广义坐标表示的初始条件 变换为用模态坐标表示 并代入模态方程 求出各积分常数 注意 此时的变量为Y 即 理解 通过坐标变换后 模态方程中各参量均无任何物理含义 5 模态矩阵正则化 P35 本科生略 将模态方程的模态质量矩阵变为单位矩阵 该坐标变换称为模态矩阵正则化 即 第i阶模态质量为 为系统的i阶振型 为系统的i正则阶振型 所以 必须对系统主振型加以修正 为正则化因子 2 41 2 42 将 2 42 代入 2 41 得 为i阶模态质量 理解 正则模态质量矩阵为单位矩阵 正则模态刚度矩阵为对角阵 用正则模态矩阵进行坐标变换 有 将正则化因子排成一个对角矩阵 正则模态矩阵为 2

14、 44 2 45 2 47 6 振型截断法 CutOff 适用于 1 对于自由度很大的系统 可以进行自由度缩减 求解大模型的少数阶 前几阶 模态 2 对于外力随时间变化较慢 系统初始条件中包含高阶主振型分量较少的情况 在n个主振型中 取 个主振型 且 进行坐标变换 有 n n1矩阵 无逆阵正 n1个方程 即自由度缩减 问题 由于 无逆阵 运用 不能直接求出模态坐标的初始条件 方法 利用 则 2 51 则可求出模态坐标的初始条件 讨论 振型截断法必然会带来计算精度的降低 但计算效率多大提高 在工程实际中得到广泛应用 振型截断的正则化 P36 本科生略 坐标变换 振型截断正则模态矩阵为 模态方程

15、模态坐标的初始条件 2 54 2 4确定系统固有频率与主振型的方法 1 矩阵迭代法2 瑞雷 Rayleigh 法3 邓克莱 Dunkerley 法4 传递矩阵 TransferMatrix 法 1 矩阵迭代法 P36 基本方法 基于数值计算方法的迭代计算方法 特征方程 改写为 或 2 56 2 57 依次从最低阶固有频率和主振型开始计算 依次从最高阶固有频率和主振型开始计算 动力矩阵 引入一个迭代初始列阵 进行迭代计算 得到下一步迭代初始列阵 是 中的最后一个元素 最好是绝对值最大的元素 n为固有特性阶数k为迭代次数 2 60 注意 请比较 容易看出 每次迭代中计算 精度设置 若满足 也可以对

16、其他值进行精度设置 迭代过程终止 则 第一阶主振型 第一阶固有频率 Hz 过程示范 初选 注意 到此 只求出第一阶主振型 第一阶固有频率 下一步目的 用矩阵迭代法求出二阶及所有固有频率和主振型 方法 用清除法 从动力矩阵D中清除与上一阶算出的主振型有关的部分 清除法 清除 矩阵 部分 上一阶算出的主振型固有频率和 上一阶用于迭代计算的动力矩阵 如果上一阶计算的是第一阶 即为原始动力矩阵 将 应用前面的迭代式 即可求解下一阶固有特性 说明 固有特性就是指固有频率和主振型 问题 有刚体运动的机械系统 刚度矩阵K是半正定的 无法求逆 也就无法直接形成动力矩阵D 不能直接使用上述算法 方法 改写为 是任意正数 是正定矩阵 令 原问题改变为 利用前面的计算方法 得到固有频率与主振型 提问 请列举有刚体运动的机械系统 例如 空中的飞行器 齿轮减速器中的齿轮 轴扭转 不计摩擦力 2 66 2 64 2 65 讨论 P37 1 采用 2 64 式后 系统的主振型 特征失量 不变 只是 变为 原系统的固有频率 特征值 变了 2 一般取比系统估计的最低固有频率的平方 略小一些为宜 对经验不足者 这一点难以