《李凡长版组合数学课后习题答案习题1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《李凡长版组合数学课后习题答案习题1（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第一章 排列组合1、 在小于 2000 的数中，有多少个正整数含有数字 2？解：千位数为 1 或 0，百位数为 2 的正整数个数为：2*1*10*10；千位数为 1 或 0，百位数不为 2，十位数为 2 的正整数个数为：2*9*1*10；千位数为 1 或 0，百位数和十位数皆不为 2，个位数为 2 的正整数个数为：2*9*9*1；故满足题意的整数个数为：2*1*10*10+2*9*1*10+2*9*9*1542。2、 在所有 7 位 01 串中，同时含有“101”串和“11”串的有多少个？解：（1） 串中有 6 个 1：1 个 0 有 5 个位置可以插入：5 种。（2） 串中有 5 个 1，
2、除去 0111110，个数为 -114。62（或： 14）442*（3）串中有 4 个 1：分两种情况：3 个 0 单独插入，出去 1010101，共 -153种；其中两个 0 一组，另外一个单独，则有 种。2*),(4152P（4）串中有 3 个 1：串只能为*1101*或*1011*，故共 4*2 种。所以满足条件的串共 48 个。3、一学生在搜索 2004 年 1 月份某领域的论文时，共找到中文的 10 篇，英文的12 篇，德文的 5 篇，法文的 6 篇，且所有的都不相同。如果他只需要 2 篇，但必须是不同语言的，那么他共有多少种选择？ 解：10*12+10*5+10*6+12*5+12
3、*6+5*64、设由 1，2，3，4，5，6 组成的各位数字互异的 4 位偶数共有 n 个，其和为m。求 n 和 m。解：由 1，2，3，4，5，6 组成的各位数字互异，且个位数字为 2，4，6 的偶数均有 P(5,3)=60 个，于是： n = 60*3 = 180。以 a1,a2,a3,a4 分别表示这 180 个偶数的个位、十位、百位、千位数字之和，则m = a1+10a2+100a3+1000a4。因为个位数字为 2，4，6 的偶数各有 60 个，故 a1 = (2+4+6)*60=720。因为千（百，十）位数字为 1，3，5 的偶数各有 3*P(4,2) = 36 个，为2，4，6
4、的偶数各有 2*P(4,2) = 24 个，故a2 = a3 = a4 = (1+3+5)*36 + (2+4+6)*24 = 612。因此， m = 720 + 612*(10 + 100 + 1000) = 680040。5、 从1 ，2，7中选出不同的 5 个数字组成的 5 位数中，1 与 2 不相邻的数字有多少个？解：1 与 2 相邻： 。故有 1 和 2 但它们不相邻的方案数：)4,(53P,),5(3P只有 1 或 2： )5,(42没有 1 和 2：P(5,5)故总方案数： + + P(5,5)4,(2)5,(533PP)5,(24P6、 安排 5 个人去 3 个学校参观，每个学
5、校至少一人，共有多少种安排方案？解：方法一：有两种方案：有两个学校只要一个人去，剩下的那个去 3 人；有两个学校去 2 人，剩下的去 1 人。故方案数为：（ ）2/5415*P(3,3)150。方法二： 150。21352317、 现有 100 件产品，其中有两件是次品. 如果从中任意抽出 5 件，抽出的产品中至多有一件次品的概率是多少？解：无次品： ；985有一件次品： 421因此，概率为（ + ）/ 985421058、 有七种小球，每个小球内有 17 个星星。一次活动中，主办方随机发放礼品盒，每个盒里放两个这样的小球，那么共有多少种这样的礼品盒？解：方法一、 2817方法二、 （77-7
6、）/2+7 28方法三、一个球是一星球，另一个球可以是一七星球，故有 7 种；一个球是二星球，另一个球可以是二七星球，故有 6 种；一个球是七星球，另一个球可以是七星球，故有 1 种。因此，共 7+6+128 种。9、 服务器 A 接到发往服务器 B、C、D、E、F 的信包各 3 个，但它一次只能发出一个信包。问共有多少种发送方式？如果发往服务器 B 的信包两两不能相邻发出呢？解：（1）3B,3 C,3D,3E,3F的全排列（2）其余 4 个服务器全排列，在插入 B 的三个： !3)(10、 有 m 个省，每省有 n 个代表，若从这 mn 个代表中选出 k（km）个组成常任委员会，要求委员会中
7、的人来自不同的省，一共有多少种不同的选法？解： nk11、 7 对夫妇围一圆桌而坐，每对夫妇都不相邻的坐法有多少种？解：7 个夫人先坐：7!/7第一个丈夫不坐在他夫人旁边，则有 5 个地方可以坐；3第二个丈夫由于可以坐在第一个丈夫旁边，故有 6 个地方可以坐；第 7 个丈夫有 11 分地方可以坐。因此：5*6*7*8*9*10*11*7！/71197504000。12、 设 S = n1a1, n2a2,nkak，其中 n1 = 1， n2 + n3 + nk = n，证明 S 的圆排列的个数等于： !k32证明：S 的全排列为： !)1(2kn因为要排成(n+1)圆，故圆排列数为 /(n+1
8、)= !)1(2kn!2kn13、 有 8 个大小相同的棋子（5 个红的 3 个蓝的） ，放在 1212 的棋盘上，每行、每列都只能放一个，问有多少种放法. 解： )3,7(127325P先放红的。选出 5 行出来 ，列可任选为 P(12,6)。125再先放蓝的。选出 3 行出来 ，列可任选为 P(7,3)。7314、 设 1rn，考虑集合1,2,n 的所有 r 元子集及每个子集中的最小数，证明这些最小数的算数平均数为 .1n证明：r 元子集共 个，于是共有 个最小数。下面我们求出这些最小数之和。nrr如果 r 元子集中的最小数为 k，那么除 k 外的 r-1 个数只能从k+1,k+2,n中取
9、，有 种取法，即以 k 为最小数的 r 子集有 个，因此这些最小数kn1 knr1之和为 。于是平均数为 。kr1 knrnr1由 和 有nm1nmn rknrnnrknrrnk 1111)(nrrnk)()1(上面两式相减得： 11)(nrrnk4因此 = 。knrnr115、 用二项式定理展开(4x - 3y) 8.解： 808)3(4rrryx16、 (3y 2z)20 的展开式中，y 5z15 的系数是什么？解： 15205)(17、 证明： nnnn 531420证明：该等式的组合意义是说，n 元集 S 的偶子集数与奇子集数相等。现在我们任取 S 中的一个元 x。对 S 的任何一个偶
10、子集 A S，如果 xA，则令 BA-x ；否则，令 BAx。B 显然是 S 的奇子集。不难证明这是所有偶子集与所有奇子集之间的一一对应。所以，S 的偶子集数与奇子集数相等。18、 证明等式 并讨论其组合意义. n0k1)!(!证明：（n+1）！= n*n!+n!n! = (n-1)*(n-1)!+(n-1)!2! = 1*1!+1!以上各式相加，整理得：(n+1)! = n+n!+(n-1)*(n-1)!+2*2!+1*1!+1故 。n0k1)!(!组合意义：将（n+1）个不同物体 a1,a2,an+1 放入（n+1）个不同的盒子A1,A2,An+1 内的方法如下：（a 1 不在 A1 内）
11、+ （a 1 在 A1 内但 a2 不在 A2 内）+（a 1,a2 分别在 A1,A2 内但a3 不在 A3 内） +（a 1,a2, ai 分别在 A1,A2, Ai 内但 ai+1 不在 Ai+1 内）+（a 1,a2, an+1 分别在 A1,A2, An+1 内）即： n0k!)!(故 n0k1)!(!19、 证明： !knmnm证明： !)()()!( knknk 520、 证明： . mn0，1(-1)kmnkn若， 若证明：若 n=m： =1。n-knkn-()()若 nm：我们知道， (1+x) n = k0x对该式两边求 m 阶导数： mknkmxn)!()1(!0乘以 ：
12、!2xknmnkkn xx02)(令 x = -1：0 = kmnkn-(1)21、 证明下列等式：（1） m0knmnk-2证明： nmknm- )!(!)(!)(! nkk因此， 0knmkn-2（2） 1rnirm0in证明：利用路径问题解决。左边第 i 项相当于从点 c (-r-1,0)到点(-1,i)，再经点(0,i)，最后到达 b (n-m,m)的所有路径数。而右边为从 c 到 b 的所有路径数。因此得证。22、 证明： 2n112n1n2 证明： !)(1n2)1(!2)(!12)!( )!1()!(2!)!(!)(2 nn nn6 )1(!2)!1(!2)(2)!1(!)2(n
13、12 nnnn因此 212nn223、 试证明：（1） n0k2n21)(证明：由二项式定理知： = (1+x) nkn0x等式两边对 x 求 2 次导数得： = n(n-1) (1+x) n-2kn0kn2)(x令 x=1，则： = n(n-1) 2 n-2n0knk2)(整理得： m0knmnk-（2） nkn1n)(证明： )!(kk)!(n1)!( 1)!k(n)!knkn1)!(k (!-1(!)(nk1 得证。24、 证明： .n0k 2nk)1(3)1(证明：由二项式定理知： = (1+x) nkn0x等式两边对 x 积分得： 1n0k1nk )(n)( nx7再次积分： n0k
14、 22nk )1(n2)1(n)1( xx令 x1。整理，得证。25、 展开(a+3b-7c-d) 5.解： （n 1+n2+n3+n4 = 5） 。43214321 )(7)(n50knndcba26、 (4x + 3y 2z)20 的展开式中，x 5y7z8 的系数是什么？x 5y15 的呢？解：x 5y7z8 的系数： 75)(3!80x5y15 的系数： 14227、 求(3+x+x 2+2x3)6 的展开式中 x5 的系数.解： 53223324 1!61!61!6!1!16 28、 证明：整数 n 的 m 分拆数等于整数 n- 的 m 分拆数.2证明：设 n=a1+ a2+am 是 n 的一个 m 项分拆，并假定 a1a 2a m1，则(a1-1)+( a2-1)+( am-1)=n-m是 n-m 的一个项数不超过 m 的拆分。反之，设 a1+ a2+ar=n-m(rm)是 n-m 的一个分拆，则= (n-m)+r)+(m-r)=n项项 rmrra1)1()()(是 n 的一个 m 项拆分。于是这两种拆分一一对应，故其拆分数相等。得证。29、 设将 N 无序分拆成正整数之和且使得这些正整数都小于等于 m 的方法数为 B(N,m). 证明：
