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1、9.4 垂直关系核心考点精准研析考点一垂直关系的基本问题1.(2020六安模拟)已知平面平面,直线m满足m,则“m”是“m”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.设l,m,n表示不同的直线,表示不同的平面,给出下列四个命题:若ml,且m,则l;若,m,n,则mn;若,则;如果mn,m,n,则.则错误的命题为()A.B.C.D.3.如图,在三棱锥A-BCD中,ACAB,BCBD,平面ABC平面BCD.ACBD;平面ABC平面ABD;平面ACD平面ABD.以上结论中正确的个数有()A.1B.2C.3D.0【解析】1.选B.平面平面,则“m”“m或m
2、或m与相交”,反之,平面平面,令平面平面=l,在l上任取一点A,在内过A作ABl,则AB平面,又m,可得mAB,所以m;则“m”是“m”的必要不充分条件.2.选D.若ml,且m,则l是正确的,两平行线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面.若,m,n,则mn是错误的,当m和n平行或相交(不垂直)时,也可能满足前边的条件;若,则,不对,垂直于同一个平面的两个平面也可以是相交的;如果mn,m,n,则是错误的,平面和可以相交或平行.3.选C.因为平面ABC平面BCD,平面ABC平面BCD=BC,BCBD,所以BD平面ABC,又AC平面ABC,所以BDAC,故正确.因为BDAC,BDBC,AC
3、BC=C,所以BD平面ABC,又因为BD平面ABD,所以平面ABD平面ABC,故正确.因为ACAB,BDAC,ABBD=B,所以AC平面ABD,又AC平面ACD,所以平面ACD平面ABD,故正确.与线面垂直关系有关命题真假的判断方法(1)借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准,甚至无需作图通过空间想象来判断.(2)寻找反例,只要存在反例,结论就不正确.(3)反复验证所有可能的情况,必要时要运用判定或性质定理进行简单说明.【秒杀绝招】排除法解T2,选D.若ml,且m,则l是正确的,两平行线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面,故正确,排除A,B,C,选D.考点二点到面的距离问题【典
4、例】如图,BCD与MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD平面BCD,AB平面BCD,AB=23.求点A到平面MBC的距离. 【解析】取CD的中点O,连接OB,OM,则OB=OM=3,OBCD,MOCD.又平面MCD平面BCD,则MO平面BCD,所以MOAB,MO平面ABC,所以点M,O到平面ABC的距离相等.作OHBC于点H,连接MH,则MHBC.求得OH=OCcos 30=32,MH=(3)2+322=152.设点A到平面MBC的距离为d,由VA-MBC=VM-ABC得13SMBCd=13SABCOH.即13122152d=131222332,解得d=2515.求点到平面的距离,按照定义需
5、要找到这点到平面的垂线段,一般不好找垂足,可以利用等体积法转化为方程问题求解.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,ABDC,BCD=90.(1)求证:PCBC.(2)求点A到平面PBC的距离.【解析】(1)因为PD平面ABCD,BC平面ABCD,所以PDBC.因为BCD=90,所以CDBC,又PDDC=D,PD,DC平面PCD,所以BC平面PCD.因为PC平面PCD,故PCBC.(2)分别取AB,PC的中点E,F,连接DE,DF,则易证DECB,DE平面PBC,所以点D,E到平面PBC的距离相等,又点A到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离的2
6、倍,由(1)知,BC平面PCD,所以平面PBC平面PCD,因为PD=DC,PF=FC,所以DFPC,因为平面PCD平面PBC=PC.所以DF平面PBC于点F.易知DF=22,故点A到平面PBC的距离等于2.【一题多解】(2)等体积法:连接AC,设点A到平面PBC的距离为h,因为ABDC,BCD=90,所以ABC=90.由AB=2,BC=1,得ABC的面积SABC=1.由PD平面ABCD及PD=1,得三棱锥P-ABC的体积V=13SABCPD=13.因为PD平面ABCD,DC平面ABCD,所以PDDC,又PD=DC=1,所以PC=PD2+DC2=2,由PCBC,BC=1,得PBC的面积SPBC=
7、22,由VA-PBC=VP-ABC得,13SPBCh=13,得h=2,故点A到平面PBC的距离等于2.考点三直线、平面垂直,面面垂直的判定与性质命题精解读1.考什么:(1)考查证明线线垂直、线面垂直、面面垂直.(2)考查直观想象与逻辑推理的核心素养.2.怎么考:考查在柱、锥、台体中证明线面的垂直关系.3.新趋势:以柱、锥、台体为载体,与平行、距离、空间角结合命题.学霸好方法1.(1)证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.(2)线面垂直的性质,常用来证明线线垂直.2.(1)判定面面垂直的方法:定义法:证明
8、两平面形成的二面角是直角.判定定理法:a,a.(2)在已知平面垂直时,一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.3.交汇问题:解决距离、空间角交汇时,常需要先证明线面垂直.直线、平面垂直的判定与性质【典例】如图所示,已知AB为圆O的直径,点D为线段AB上一点,且AD=13DB,点C为圆O上一点,且BC=3AC,PD平面ABC,PD=DB.求证:PACD. 【证明】因为AB为圆O的直径,所以ACCB,在RtABC中,由3AC=BC得ABC=30,设AD=1,由3AD=DB得,DB=3,BC=23,由余弦定理得CD2=DB2+BC2-2DBBCc
9、os 30=3,所以CD2+DB2=BC2,即CDAO.因为PD平面ABC,CD平面ABC,所以PDCD,由PDAO=D得,CD平面PAB,又因为PA平面PAB,所以PACD.面面垂直的判定与性质【典例】(2018全国卷)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,ACM=90,以AC为折痕将ACM折起,使点M到达点D的位置,且ABDA. (1)证明:平面ACD平面ABC.(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=23DA,求三棱锥Q-ABP的体积.【解析】(1)由已知可得,BAC=90,则BAAC.又BAAD,ADAC=A,所以AB平面ACD.又AB平面ABC,所以平面A
10、CD平面ABC.(2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=32.又BP=DQ=23DA,所以BP=22.作QEAC,垂足为E,则QECD且QE=13DC=1.由已知及(1)可得DC平面ABC,所以QE平面ABC,因此,三棱锥Q-ABP的体积为VQ-ABP=13QESABP=13112322sin 45=1.1.已知直线l,m与平面,满足=l,l,m,m,则必有()A.且mB.且C.m且lmD.且lm【解析】选D.因为m,m,所以.因为=l,所以l,又因为m,所以lm.2.如图,在ABC中,AC=BC=22AB,四边形ABED是边长为1的正方形,平面ABED底面ABC,G,F分别是EC,BD
11、的中点.(1)求证:GF平面ABC.(2)求几何体C-ADEB的体积.【解析】(1)如图,取BC的中点M,AB的中点N,连接GM,FN,MN.因为G,F分别是EC,BD的中点,所以GMBE,且GM=12BE,NFDA,且NF=12DA.又四边形ABED为正方形,所以BEAD,BE=AD,所以GMNF且GM=NF.所以四边形MNFG为平行四边形.所以GFMN,又MN平面ABC,GF平面ABC,所以GF平面ABC.(2)连接CN,因为AC=BC,所以CNAB,又平面ABED平面ABC,CN平面ABC,所以CN平面ABED.易知ABC是等腰直角三角形,所以CN=12AB=12,因为C-ABED是四棱
12、锥,所以VC-ABED=13S四边形ABEDCN=13112=16.1.如图,已知PA平面ABCD,且四边形ABCD为矩形,M,N分别是AB,PC的中点.(1)求证:MNCD.(2)若PDA=45,求证:MN平面PCD.【证明】(1)如图所示,取PD的中点E,连接AE,NE,因为N是PC的中点,E为PD的中点,所以NECD,且NE=12CD,而AMCD,且AM=12AB=12CD,所以NEAM,所以四边形AMNE为平行四边形,所以MNAE.又PA平面ABCD,所以PACD,又因为ABCD为矩形,所以ADCD.而ADPA=A,AD,PA平面PAD,所以CD平面PAD,所以CDAE.又AEMN,所
13、以MNCD.(2)因为PA平面ABCD,所以PAAD,又PDA=45,所以PAD为等腰直角三角形.又E为PD的中点,所以AEPD,又由(1)知CDAE,PDCD=D,CD,PD平面PDC,所以AE平面PCD.又AEMN,所以MN平面PCD.2.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1BC,A1AC=60,A1A=AC=BC=1,A1B=2.(1)求证:平面A1BC平面ACC1A1.(2)如果D为AB中点,求证:BC1平面A1CD.【证明】(1)因为A1AC=60,A1A=AC=1,所以A1AC为等边三角形,所以A1C=1.因为BC=1,A1B=2,所以A1C2+BC2=A1B2.所以A1CB=90,即A1CBC.因为BCA1A,BCA1C,AA1A1C=A1,所以BC平面ACC1A1.因为BC平面A1BC,所以平面A1BC平面ACC1A1.(2)连接AC1交A1C于点O,连接OD.因为ACC1A1为平行四边形,所以O为AC1的中点.因为D为AB的中点,所以ODBC1.因为OD平面A1CD,BC1平面A1CD,所以BC1平面A1CD.
