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1、数学 试卷 (满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体积公式：V柱体Sh，其中S为柱体的底面积，h为高锥体的体积公式：V锥体Sh，其中S为锥体的底面积，h为高一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1. 已知集合A1，0，1，B0，2，则AB_2. 设复数z满足(3i)z，其中i为虚数单位，则z的模是_3. 如图是一个算法流程图，则输出k的值是_4. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为443.为了解学生对防震减灾知识的掌握情况，现采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷检测若高一年级抽取了20名学生，则n的值是_5. 今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均
2、有显著效果，功不可没“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方若某医生从“三药三方”中随机选出2种，则恰好选出1药1方的概率是_6. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y24x的准线是双曲线1(a0)的左准线，则实数a的值是_7. 已知cos()，sin ，均为锐角，则sin 的值是_8. 公园里设置了一些石凳供游客休息，这些石凳是经过正方体各棱的中点截去8个一样的四面体得到的(如图)设石凳的体积为V1，正方体的体积为V2，则的值是_9. 已知x1，y1，xy10，则的最小值是_10. 已知等比数列an的前n项和为Sn.若4S2，
3、S4，2S3成等差数列，且a2a32，则a6的值是_11. 海伦(Heron，约公元1世纪)是古希腊亚历山大时期的数学家，以他的名字命名的“海伦公式”是几何学中的著名公式，它给出了利用三角形的三边长a，b，c计算其面积的公式SABC，其中p.若a5，b6，c7，则借助“海伦公式”可求得ABC的内切圆的半径r的值是_12. 如图，ABC为等边三角形，分别延长BA，CB，AC到点D，E，F，使得ADBECF.若2，且DE，则的值是_13. 已知函数f(x)若函数g(x)f(x)f(x)有且仅有四个不同的零点，则实数k的取值范围是_14. 在平面直角坐标系xOy中，过点P(2，6)作直线交圆O：x2
4、y216于A，B两点， C(x0，y0)为弦AB的中点，则的取值范围是_二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若.(1) 求cos C的值；(2) 若AC，求sin B的值16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，点D，E分别是A1B1，BC的中点求证：(1) 平面ACD平面BCC1B1；(2) B1E平面ACD.17. (本小题满分14分)某单位科技活动纪念章的结构如图所示，O是半径分别为1 cm，2 cm的两个同心圆的圆心，等腰三
5、角形ABC的顶点A在外圆上，底边BC的两个端点都在内圆上，点O，A在直线BC的同侧若线段BC与劣弧 所围成的弓形面积为S1，OAB与OAC的面积之和为S2，设BOC2.(1) 当时，求S2S1的值；(2) 经研究发现当S2S1的值最大时，纪念章最美观，求当纪念章最美观时，cos 的值求导参考公式：(sin 2x)2cos 2x，(cos 2x)2sin 2x18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线交椭圆于M，N两点已知椭圆的短轴长为2，离心率为.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 当直线MN的斜率为 时，求F1M
6、F1N的值；(3) 若以MN为直径的圆与x轴相交的右交点为P(t，0)，求实数t的取值范围19. (本小题满分16分)已知an是各项均为正数的无穷数列，数列bn满足bnanank(nN*)，其中常数k 为正整数(1) 设数列an前n项的积Tn2，当k2时，求数列bn的通项公式；(2) 若an是首项为1，公差d为整数的等差数列，且b2b14，求数列的前2 020 项的和；(3) 若bn是等比数列，且对于任意的nN*，anan2ka，其中k2，试问：an是等比数列吗？请证明你的结论20. (本小题满分16分)已知函数f(x)，g(x)，其中e是自然对数的底数(1) 若函数f(x)的极大值为，求实数
7、a的值；(2) 当ae时，若曲线yf(x)与yg(x)在xx0处的切线互相垂直，求x0的值；(3) 设函数h(x)g(x)f(x)，若h(x)0对任意的x(0，1)恒成立，求实数a的取值范围数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分若多做，则按作答的前两题计分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤A. (选修42：矩阵与变换)已知mR，是矩阵M的一个特征向量，求M的逆矩阵M1.B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，圆C的方程为2rsin (r0)以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，
8、直线l的参数方程为(t为参数)若直线l与圆C恒有公共点，求r的取值范围C. (选修45：不等式选讲)已知x1，y1，且xy4，求证：8.【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤22. 某“芝麻开门”娱乐活动中，共有5扇门，游戏者根据规则开门，并根据打开门的数量获取相应奖励已知开每扇门相互独立，且规则相同开每扇门的规则是：从给定的6把钥匙(其中有且只有1把钥匙能打开门)中，随机地逐把抽取钥匙进行试开，钥匙使用后不放回若门被打开，则转为开下一扇门；若连续4次未能打开，则放弃这扇门，转为开下一扇门；直至5扇门都进行了试开，活动结束(1) 设随机
9、变量X为试开第一扇门所用的钥匙数，求X的分布列及数学期望E(X)；(2) 求恰好成功打开4扇门的概率23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，准线与x轴的交点为E.过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，EA，EB分别与y轴相交于M，N两点当ABx轴时，EA2.(1) 求抛物线的方程；(2) 设EAB的面积为S1，EMN的面积为S2，求 的取值范围数学参考答案及评分标准1. 1，0，1，22. 13. 54. 555. 6. 7. 8. 9. 910. 3211. 12. 13. (27，)14. ，)15. 解：(1) 在ABC中，因为，所以由正弦定理，得
10、5(bc)(cb)a(5a8b)，即a2b2c2ab，(4分)所以由余弦定理得cos C.(7分)(2) 因为cos C，C(0，)，所以sin C，(9分)所以sin 2C2sin Ccos C.(12分)因为AC，所以sin Bsin(AC)sin(AC)sin 2C.(14分)注：(1) 正弦定理与，写一个不扣分，两者都不写，扣2分；余弦定理同样；(2) 只要有sin Bsin(AC)，就不扣分，否则扣2分16. 证明：(1) 在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC.因为AC平面ABC，所以CC1AC.(2分)因为ACBC，BCCC1C，BC，CC1平面BCC1B1，所以AC平
11、面BCC1B1.(4分)因为AC平面ACD，所以平面ACD平面BCC1B1.(6分)(2) (证法1)取AC的中点F，连结DF，EF.因为在ABC中，点E是BC的中点，点F是AC的中点，所以EFAB，且EFAB.(8分)因为点D是A1B1的中点，所以B1DA1B1.因为在棱柱ABCA1B1C1中，ABA1B1，且ABA1B1，所以EFDB1，且EFDB1，(10分)所以四边形EFDB1是平行四边形，所以B1EFD.(12分)因为B1E平面ADC，FD平面ADC，所以B1E平面ACD.(14分)(证法2)取AB的中点G，连结EG，B1G.因为在ABC中，点E是BC的中点，点G是AB的中点，所以E
12、GAC.因为GE平面ACD，AC平面ACD，所以EG平面ACD.(8分)在棱柱ABCA1B1C1中，ABA1B1，且ABA1B1.因为点D是A1B1的中点，点G是AB的中点，所以AGDB1，且AGDB1，所以四边形AGB1D是平行四边形，所以B1GAD.因为B1G平面ACD，AC平面ACD，所以B1G平面ACD.(10分)因为EG平面ACD，BG，GE平面B1GE，B1GGEG，所以平面B1GE平面ACD.(12分)因为B1E平面B1GE，所以B1E平面ACD.(14分)注：少一个条件2分全扣；(1)中没有“在直三棱柱ABCA1B1C1中”全扣17. 解：过点O作ODBC于点D，则点D为BC的
13、中点又ABC为等腰三角形，所以A，O，D三点共线，所以AOBAOC.所以S121212sin 2sin 2，(2分)S2212sin()2sin ，(0，)(4分)注：只要有S1结果的就给2分；同样，只要有S2结果的就给2分(1) 当时，S2S12sin (sin 2)2sin (sin ).答：当时，S2S1的值为()cm2.(6分)(2) 设f()S2S12sin sin 2，(0，)，所以f()2cos 1cos 22(cos2cos 1)(8分)令f()0，得cos ，cos (舍去)，记cos 0，00.(10分)(0，0)0(0，)f()0f()极大值所以当cos 0时，f()取得最大值，此时S2S1的值最大答：当纪念章最美观时，cos .(14分)注：一个答案1分，写成“所以”不扣分；答案中没有单位cm2的，扣1分18. 解：(1) 设椭圆的焦距2c，由解得a26，b22，c24.所以椭圆的标准方程为 1.(3分)(2) 因为直线MN的斜率为，且过点F2(2，0)，所以直线MN的方程为y(x2)
