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1、窗体顶端计算题第1题 (3.0) 分 解 平面的法线方向单位向量为，围成方程为 依斯托克斯公式得，=第2题 (3.0) 分解 (1) 注意到 , ， 故两个累次极限均为0，但是, 所以重极限不存在.(2) 注意到 , , 故两个累次极限不存在. 此外，因为 ， 所以.第3题 (3.0) 分解. 由于 , , , , 于是,.第4题 (3.0) 分解 不妨设该可微函数为，则按定义可得，由此知.从而又得 .联系到上面第一式，有或 ,从而 .第5题 (3.0) 分解 这里是以和 为自变量的复合函数, 它可写成如下形式, , . 由复合函数求导法则知.于是, 第6题 (3.0) 分解 方程两边对求偏导
2、，有, 因而 .方程两边对求偏导，有 ,因而 . 故 .第7题 (3.0) 分解 方程组两边对求偏导得到 , 因此有，。方程组两边对求偏导得到, 因此第8题 (3.0) 分解 对原方程取对数，得，并对该式两端对求导，有，即 ，再对上式两端对求导，得第9题 (3.0) 分解 设长，宽，高分别为，则问题变为求函数 的最大值，联系方程为 . 设辅助函数为，则有解方程组得到，因而最大体积为第10题 (3.0) 分解 先对积分后对积分 .由分部积分法, 知 .第11题 (3.0) 分解 由于 则第12题 (3.0) 分解 积分区域变换为球面坐标为 .于是,=.第13题 (3.0) 分解 曲面方程表示为
3、, , ,于是所求面积S=第14题 (3.0) 分解 因为区域为柱状区域，被积函数中第二项为，所以用柱坐标法比较方便 .于是, . 利用洛必达法则, 有第15题 (3.0) 分解 段：直线方程 ，.段：直线方程 ，.段：直线方程 ，段：直线方程 ，于是有， =0 .第16题 (3.0) 分解 (1) 注意到柯西不等式，。（2）由于 ， ，可知 . 采用极坐标，可得.由此知 , 利用题（1），有， （2） 因为 ，所以， 。.将曲线用参数式表示，即令 ， ，且取顺时针方向为正，可知第17题 (4.0) 分解 由得 ，从而 。注意到该曲面上的点关于平面对称，且其上半部分在平面上的投影为区域，从而有
4、第18题 (4.0) 分解. 因为, 所以, ,其中 , ， 由此知在处可微.第19题 (4.0) 分解 （1）令，则D变成，且积分成为（2） 令，则D变成，且原积分成为第20题 (4.0) 分解 对于圆锥面，则 ，在平面上投影区域为：，于是 .第21题 (3.0) 分解 利用高斯公式, 得.第22题 (3.0) 分解 设. 由于在全空间上处处连续, 在处 于是, 得切平面方程为,即 .法线方程为 .第23题 (3.0) 分解 在平面上的投影区域为, 于是第24题 (3.0) 分解 由, , 可得, , 则 =第25题 (4.0) 分解 曲面S1取负侧，而投影区域为D1：，于是应用极坐标可得，曲面S2取正侧，而投影区域为D2：2，于是应用极坐标可得，于是, 证明题第26题 (4.0) 分证明: 对于复合函数 ，, 由于， =+，因此当时，与无关，即在极坐标系里只是的函数第27题 (4.0) 分证明 对方程两边分别对和求偏导数，有，分别解得 ，于是，得到 第28题 (4.0) 分证明 由于对上面区域变换积分变量记号时，积分区域不变，因此第29题 (4.0) 分证明 对 由于 可知当时,便有 . 故第30题 (4.0) 分证明 对 由于 可知当时,便有 . 故
