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1、 20 分 在有 场中由于对称性 质点的轨道位于 个平面内 不妨假设 该平面为 平面 试求质点在有 场 中的运动轨道 其中 为常数 解 该系统为空间振 其拉格朗日量为 5 分 代 欧拉 拉格朗日 程得 0 0 5 分 动 学 程的解为 cos cos 5 分 其中 不妨令 则 cos cos sin 解得 利用 cos sin 1 最终得到系统的轨迹为 2 sin 4 分 这是 个以原点为中 的椭圆 当 0 时 椭圆 程退化为直线 程 0 1 分 20 分 已知 维系统的拉格朗日函数为 其中 均是 于 0 的常数 1 2 这个拉格朗日函数可用于描述 个质量为 的质点 在势场 中做 维运动 且受
2、到正比于其速度的阻 的情况 1 求系统的哈密顿函数 2 证明变换 为正则变换 并得到母函数 3 求正则变换之后的哈密顿函数 并由 给出正则 程 进 步求 解 q t 其中初始条件为 0 0 0 解 由拉格朗日函数得到的 程为 0 1 2 分 3 分 2 易知 因为 1 所以 该变换为正则变换 3 分 由 即 3 分 3 3 分 因不显含 Q 故 P 是守恒量 正则 程为 3 分 0 解得 3 分 其中 和 P 是常数 由初始条件得 三 20 分 平面中质量为 的带电谐振 在磁场中运动时拉 量可以写成 1 2 1 2 1 2 其中 是振 的直角坐标 转动矩阵 1 为实对称矩阵 定义为 sin c
3、os cos sin 1 写出 义动量 的表达式 2 作勒让德变换 写出系统的哈密顿量 3 利用泊松括号 检验物理量 1 2 1 2 是不是守恒量 其中反对称矩阵 定义为 0 1 10 并且 解 1 义动量 5 分 2 解出 义速度 5 分 1 作勒让德变换 得哈密顿量 1 2 1 2 1 2 1 2 3 先计算泊松括号 法 1 利用基本对易关系 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 1 1 4 1 1 2 0 0 5 分 又由 cos sin sin cos 0 1 10 sin cos cos sin 得 5 分 第 种
4、计算泊松括号的 法 利用定义直接计算 1 1 1 1 1 0 0 四 25 分 质量为 m 的质点在地球表面附近运动的哈密度函数为 1 2 其中 为 平坐标 为垂直坐标 1 求哈密顿主函数 2 通过哈密顿 雅克比 Hamilton Jacobi 法求解 其中初始条件为 0 0 0 0 0 0 解 1 1 2 5 分 分离变量 1 2 得到 1 2 2 1 2 2 5 分 解得 2 2 2 2 3 2 最终 2 2 3 2 5 分 2 2 1 2 5 分 解得 2 1 2 3 分 由初始条件得 0 1 2 即 1 2 2 分 五 15 分 质量为 半长轴 半短轴为 的椭圆形匀质盘绕通过其中 且在盘 平面内的固定轴 作匀速转动 角速度为 转轴与椭圆半长轴的夹角为 转轴质量可以忽略 1 求主转动惯量 2 写出角速度在主轴系中的分量 3 求该椭圆盘所受到 矩 解 以椭圆盘中 O 为原点 建立如图所示的主轴坐标系 沿短轴 向 沿 长轴 向 垂直纸面向里 转动角速度在此主轴系的分量为 0 因为匀速转动 所以 0 1 主转动惯量 5 分 1 令 z 2 4 1 2 2 4 类似地 2 转动角速度在此主轴系的分量为 5 分 0 因为匀速转动 所以 0 3 5 分 由欧拉动 学 程 可得 0 圆盘所受到的 矩 小为 向为沿
