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1、1 7赫姆霍兹定理 1 标量场 标量场由其梯度 矢量 场和边界唯一确定 则 2 矢量场的类型 无旋场 无散场 调和场和一般矢量场 实际工程中 如何唯一确定一个场 1 7赫姆霍兹定理 1 无旋场 旋度恒为零 但散度并不为零的矢量场 无旋场仅由通量源产生的 静电场是其一例 由斯托克斯定理有 即在定义域内无旋场沿任意闭合路径l的环量恒为零 可见无旋场就是守恒场 即 由图中P Q两点间的两条路径PnQ和PmQ 构成回路PnQmP 其上F r 的环量可以写成 无旋场的线积分与积分路径无关 仅与线积分起点和终点的位置有关 1 7赫姆霍兹定理 由可以定义一个标量场 这种形式的二阶偏微分方程称为泊松方程 得的
2、微分方程 令 负号意指某点的方向为该处取得最大减小率的方向 1 7赫姆霍兹定理 在一定附加条件下 边界条件 由上式可求得 r 的解 再按 1 7 1 式解得F r 这是求解无旋场的基本方法 1 7 1 2 无散场 1 7赫姆霍兹定理 散度恒为零 而旋度并不为零的矢量场 无散场是仅由旋涡源产生的 恒定磁场即是一例 由高斯散度定理 有 即无散场在任意闭面S上的净通量恒等于零 可得无散场的二阶偏微分方程 称为矢量场的旋度旋度方程 求解此类场的基本方法是 先解这个旋度旋度方程可得A r 的通解 在一定附加条件下可得到特解 再按 1 7 3 式求出无散场F r 由可定义一个矢量位函数A r 3 调和场
3、2 0 调和场的二阶偏微分方程称为拉普拉斯方程 4 一般矢量场的旋度和散度均不为零 它由旋涡源和通量源共同产生 通常时变电磁场都是一般矢量场 而无旋场 无散场以及调和场都是它的特例 1 7赫姆霍兹定理 在定义域内矢量场的旋度与散度均为零 显然 调和场的场源是在定义域之外 恒定电场即是一例 3 赫姆霍兹定理 在闭面S所包围的有限区域 单连域或多连域 V内 若给定了矢量场的旋度和散度 同时还给定了该矢量场在边界S上的法向分量Fn或切向分量Ft 则V内是唯一确定的 1 唯一性定理 用反证法证明 假定满足给定条件的矢量场有两个和 然后再论证这两个矢量场是相同的 即 令 1 7赫姆霍兹定理 赫姆霍兹定理包括矢量场的唯一性定理和矢量场的分解定理 在边界S上 则有 或 由可引入标量函数 r 且有 2 0 在V内 或 1 7赫姆霍兹定理 S为 的等值面 在V内 有 根据条件 可得 对矢量函数 应用格林第一公式 并考虑到在V内有 2 0 1 7赫姆霍兹定理 对于条件 因 故同样得到 由于的非负性 意味着 0 即 S面上 相等 2 分解定理 任意一个满足唯一性定理的一般矢量F r 可以分解为无旋的Fi r 和无散或管形的Fs r 两个部分 即 F r Fi r Fs r 设矢量场F r 的旋度和散度分别为 可得 1 7赫姆霍兹定理 和 因此 一般矢量场可用和表示为 已知 1 7赫姆霍兹定理
