《电大离散数学图论部分期末复习辅导.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《电大离散数学图论部分期末复习辅导.doc（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、离散数学期末复习辅导（二）离散数学图论部分期末复习辅导一、单项选择题1设图G，vV，则下列结论成立的是 ( ) Adeg(v)=2E Bdeg(v)=EC D解 根据握手定理（图中所有结点的度数之和等于边数的两倍）知，答案C成立。答 C2设无向图G的邻接矩阵为，则G的边数为( )A6 B5 C4 D3解 由邻接矩阵的定义知，无向图的邻接矩阵是对称的即当结点vi与vj相邻时，结点vj与vi也相邻，所以连接结点vi与vj的一条边在邻接矩阵的第i行第j列处和第j行第i列处各有一个1，题中给出的邻接矩阵中共有10个1，故有102=5条边。答 B3已知无向图G的邻接矩阵为，则G有（ ）A5点，8边 B6
2、点，7边 C6点，8边 D5点，7边解 由邻接矩阵的定义知，矩阵是5阶方阵，所以图G有5个结点，矩阵元素有14个1，142=7，图G有7条边。答 Dooooabcd图一oe4如图一所示，以下说法正确的是 ( ) A(a, e)是割边B(a, e)是边割集C(a, e) ,(b, c)是边割集D(d, e)是边割集定义3.2.9 设无向图G=为连通图，若有边集E1E，使图G删除了E1的所有边后，所得的子图是不连通图，而删除了E1的任何真子集后，所得的子图仍是连通图，则称E1是G的一个边割集若边割集为单元集e，则称边e为割边（或桥）解 割边首先是一条边，因为答案A中的是边集，不可能是割边，因此答案
3、A是错误的删除答案B或C中的边后，得到的图是还是连通图，因此答案B、C也是错误的在图一中，删去(d, e)边，图就不连通了，所以答案D正确答 D注：如果该题只给出图的结点和边，没有图示，大家也应该会做如：若图G=，其中V= a, b, c, d, e ，E= (a, b), (a, c) , (a, e) , (b, c) , (b, e) , (c, e) , (e, d)，则该图中的割边是什么？5图G如图二所示，以下说法正确的是 ( )oooabcd图二oAa是割点Bb, c是点割集Cb, d是点割集Dc是点割集定义3.2.7 设无向图G=为连通图，若有点集V1V，使图G删除了V1的所有结
4、点后，所得的子图是不连通图，而删除了V1的任何真子集后，所得的子图仍是连通图，则称V1是G的一个点割集若点割集为单元集v，则称结点v为割点解 在图二中，删去结点a或删去结点c或删去结点b和d图还是连通的，所以答案A、C、D是错误的在图二中删除结点b和c，得到的子图是不连通图，而只删除结点b或结点c，得到的子图仍然是连通的，由定义可以知道，b, c是点割集所以答案B是正确的答 Boooabcd图三o6图G如图三所示，以下说法正确的是 ( ) A(a, d)是割边B(a, d)是边割集C(a, d) ,(b, d)是边割集D(b, d)是边割集解 割边首先是一条边，(a, d)是边集，不可能是割边
5、在图三中，删除答案B或D中的边后，得到的图是还是连通图因此答案A、B、D是错误的在图三中，删去(a, d)边和(b, d)边，图就不连通了，而只是删除(a, d)边或(b, d)边，图还是连通的，所以答案C正确7设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图四所示，则下列结论成立的是( )图四A（a）是强连通的 B（b）是强连通的C（c）是强连通的 D（d）是强连通的复习：定义3.2.5 在简单有向图中，若在任何结点偶对中，至少从一个结点到另一个结点可达的，则称图G是单向（侧）连通的；若在任何结点偶对中，两结点对互相可达，则称图G是强连通的；若图G的底图，即在图G中略去边的方向，得到的无向图是连通
6、的，则称图G是弱连通的显然，强连通的一定是单向连通和弱连通的，单向连通的一定是弱连通，但其逆均不真定理3.2.1 一个有向图是强连通的，当且仅当G中有一个回路，其至少包含每个结点一次单侧连通图判别法：若有向图G中存在一条经过每个结点至少一次的路，则G是单侧连通的。答 A（有一条经过每个结点的回路）问：上面的图中，哪个仅为弱连通的？答：图(d)是仅为弱连通的请大家要复习“弱连通”的概念8设完全图K有n个结点(n2)，m条边，当（ ）时，K中存在欧拉回路Am为奇数 Bn为偶数Cn为奇数 Dm为偶数解 完全图K每个结点都是n-1度的，由定理4.1.1的推论知K中存在欧拉回路的条件是n-1是偶数，从而
7、n为奇数。答 C提示：前面提到n阶无向完全图Kn的每个结点的度数是n-1，现在要问：无向完全图Kn的边数是多少？答：n(n1)/29若G是一个汉密尔顿图，则G一定是( )A平面图 B对偶图C欧拉图 D连通图定义4.2.1 给定图G，若存在一条路经过图G的每个结点一次且仅一次，则该路称为汉密尔顿路；若存在一条回路经过图G的每个结点一次且仅一次，则该回路称为汉密尔顿回路；具有汉密尔顿回路的图称为汉密尔顿图由定义可知，汉密尔顿图是连通图 答 D10若G是一个欧拉图，则G一定是( )A平面图 B汉密尔顿图C连通图 D对偶图定义4.1.1给定无孤立结点图G，若存在一条路经过图G的每条边一次且仅一次，则该
8、路称为欧拉路（即，欧拉路中没有重复的边，并且包含了图中的每条边）若存在一条回路经过图G的每条边一次且仅一次，则该回路称为欧拉回路具有欧拉回路的图就称为欧拉图由定义可知，欧拉图是连通图 答 C11设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r= ( )Aev2 Bve2Cev2 Dev2答 A（定理4.3.2：欧拉公式v-e+r = 2）问：如果连通平面图G有4个结点，7条边，那么图G有几个面？12无向树T有8个结点，则T的边数为( )A6 B7 C8 D9答 B13无向简单图G是棵树，当且仅当( )AG连通且边数比结点数少1BG连通且结点数比边数少1CG的边数比结点数少1DG中没有回路答
9、A（定理5.1.1（树的等价定义）14已知一棵无向树T中有8个顶点，4度、3度、2度的分支点各一个，T的树叶数为( )A8 B5 C4 D3解 这棵无向树T有7条边，所有结点的度数之和为14，而4度、3度、2度的分支点各一个共3个结点占用了9度，所以剩下的5个结点占用5度，即这5个结点每个都是1度结点，故有5片树叶答 B15设G是有n个结点，m条边的连通图，必须删去G的( )条边，才能确定G的一棵生成树A BC D答 A（n个结点的连通图的生成树有条边，必须删去条边）16设无向图G的邻接矩阵为，则G的边数为( )A1 B6 C7 D14答 C17如图二（下图）所示，以下说法正确的是 ( )Ae
10、是割点 Ba, e是点割集Cb, e是点割集 Dd是点割集图二答 A18设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图六（下图）所示，则下列结论成立的是( )图六A（a）只是弱连通的 B（b）只是弱连通的C（c）只是弱连通的 D（d）只是弱连通的答 D19无向完全图K4是（ ）A欧拉图 B汉密尔顿图 C非平面图 D树答 B20以下结论正确的是( )A无向完全图都是欧拉图B有n个结点n1条边的无向图都是树C无向完全图都是平面图D树的每条边都是割边答 D二、填空题1已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是 解 设G有x条边，则由握手定理，答 152设给定图G(如
11、右由图所示)，则图G的点割集是 解 从图G中删除结点f，得到的子图是不连通图，即结点集f是点割集；从图G中删除结点c和e，得到的子图是不连通图，而只删除c或e，得到的子图仍然是连通的，所以结点集c, e也是点割集而其他结点集都不满足点割集的定义的集合，所以应该填写：f、c, e答 f、c,e提示：若f是图G的割点，则f是图G的点割集，删除f点后图G是连通吗？3设G是一个图，结点集合为V，边集合为E，则G的结点 等于边数的两倍答 的度数之和4无向图G存在欧拉回路，当且仅当G连通且 答 G的结点度数都是偶数（定理4.1.1的推论）5设G=是具有n个结点的简单图，若在G中每一对结点度数之和大于等于
12、，则在G中存在一条汉密尔顿路答 n-1（定理4.2.2）6若图G=中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V的每个非空子集S，在G中删除S中的所有结点得到的连通分支数为W，则S中结点数|S|与W满足的关系式为 答 W |S|（定理4.2.1）7设完全图K有n个结点(n2)，m条边，当 时，K中存在欧拉回路答 n为奇数（同一、8题）8结点数v与边数e满足 关系的无向连通图就是树答 e=v-1（定理5.1.1（树的等价定义）9设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G中删去 条边后使之变成树解 由握手定理（定理3.1.1）知道图G有182=9 条边，又由定理5.1.1中给出的图T为树的等价定义之一是“图T连通且e=v-1”，可以知道图G的生成树有5条边，从而要删去4条边答 410设正则5叉树的树叶数为17，则分支数为i = 答 4（定理5.2.1：(m-1)i=t-1）三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由）1如果图G是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路解 错误只有当G是连通图且其结点度数均为偶数时，图G才存在一条欧拉回路2如下图所示的图G存在一条欧拉回路
