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1、11定义： 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：； 5)13(lim2x（2）在后面求极限时， （1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。利用导数的定义求极限这种方法要求熟练的掌握导数的定义。2极限运算法则定理 1 已知 ， 都存在，极限值分别为 A，B，则下)(limxf)(lixg面极限都存在，且有 （1） xf)(（2） BAxgf)(li（3）)0,)(lim成 立此 时 需 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。2. 利用极限的四则运算法求极限这
2、种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例 1 123limxx解：原式= 。43)213)(lim)23)(li 11 xxxx注：本题也可以用洛比达法则。例 2 )12(limnn解：原式= 。23121lim(li nnn 分 子 分 母 同 除 以例 3 nn32)1(lim3解：原式 。1)32(lim3nn上 下 同 除 以3两个重要极限（1） 1sinlm0x（2） ； exx0)(li exx)1(lim说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身
3、，还应能够熟练运用它们的变形形式， 例如： ， ， ；等等。13sinlm0xx exx210)(li exx3)1(lim利用两个重要极限求极限例 5 203cos1limxx解：原式= 。61)2(sinlmsinl 2020 xxxx注：本题也可以用洛比达法则。例 6 xx20)sin31(lim解：原式= 。6sin6si310sin6i310 )in1(lm)i(li exxxxx4例 7 nn)12(lim解：原式= 。31313)(lim)(li ennnnn4等价无穷小定理 2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是 0） 。定理 3 当 时，下列函数都是无穷小（即极限是
4、 0） ，且相互等0x价，即有： 。xsinxtaxrcsinxarctn)1l(x1xe说明：当上面每个函数中的自变量 x 换成 时（ ） ，仍有g0(上面的等价关系成立，例如：当 时， ； 0x13xex3)1ln(2x。2x定理 4 如果函数 都是 时的无穷小，)(,),(1xgfxf 0x且 ， ，则当 存在时， 也存)(xf)(1fxg)(1)(lim10fx)(lim0gfx在且等于 ，即 = 。)(f)(lim10fx)(li0gfx)(li10fx利用等价无穷小代换（定理 4）求极限5例 9 )arctn(31lim20xx解： ， ，l时 ，x3)arctn(2x原式= 。3
5、li20x例 10 exsinlimi0解：原式= 。1sin)(limi)1(li i0sini0 xexxxxx注：下面的解法是错误的：原式= 。1sinlisin)1()(lim0i0 xxexx正如下面例题解法错误一样：。0lisitanli 3030 xxx例 11 xxsin)1t(lim20解： ，等 价与是 无 穷 小 ，时 ，当 xx1sin)sitan(i 222所以， 原式= 。 （最后一步用到定理01silm1sili020 xxxx2）五、利用无穷小的性质求极限6有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。用等价无穷小替换求极限常常行之有效。例 1. )1
6、sin(lim20xxe2. xxln)1si(lm01/2 15洛比达法则定理 5 假设当自变量 x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和 满足：（1） 和 的极限都是 0 或都是无穷大；)(xfg)(fg（2） 和 都可导，且 的导数不为 0；)(xf )(x（3） 存在（或是无穷大） ；)(limg则极限 也一定存在，且等于 ，即 =)(lixf )(limxgf)(lixgf。)(ligf说明：定理 5 称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“ ”型或“ ”型；0条件（2）一般都满
7、足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注7意条件。利用洛比达法则求极限说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。例 12 （例 4）203cos1limxx解：原式= 。 （最后一步用到了重要极限）61inl0x例 13 12coslimx解：原式= 。2sinli1xx例 14 30silimx解：原式= = 。 （连续用洛比达法则，最后用20co1lixx 61sinlm0x重要极限）例 15 xxsincolim20解：先用等价无穷小，31sinlm3)s
8、in(coslimco20 20xxx xx原 式再用洛必达法则8例 18 )1ln(lim0xx解：错误解法：原式= 。01li0xx正确解法： 。原 式 21)(lim21li )ln(i)ln(i0000 xxxxxx应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。例 19 xxcos3inli解：易见：该极限是“ ”型，但用洛比达法则后得到：0，此极限xxsin3co21lim不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：原式= （分子、分母同时除以 x）xxcos3i21li= （利用定理 1 和定理 2）196连续性定理 6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果 是0x函数 的
9、定义去间内的一点，则有 。)(xf )()lim00xffx利用函数的连续性（定理 6）求极限例 4 xxe12lim解：因为 是函数 的一个连续点，0xef12)(所以 原式= 。e4217极限存在准则定理 7（准则 1） 单调有界数列必有极限。四、利用单调有界准则求极限首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。10例 1. 设 0a， ),21(, 1121 nxaxaxn求极限 nlim。定理 8（准则 2） 已知 为三个数列，且满足：,nnzyx（1） )3,1(,zxynn（2） ，aylimaznli则极限 一定存在，且极限值也是 a ，即 。nx axnl
10、im10. 夹逼定理11利用极限存在准则求极限例 20 已知 ，求),21(,2,11 nxxn nxlim解：易证：数列 单调递增，且有界（0 2） ，由准则 1 极限nx存在，设 。对已知的递推公式 两nxlimaxnlimnnx2边求极限，得：，解得： 或 （不合题意，舍去）a22a1所以 。linx例 21 )21(lim22 nn 解： 易见： 11122222 nn因为 ，1li2n1lim2n所以由准则 2 得： 。1)(li 222 nn 9. 洛必达法则与等价无穷小替换结合法对于一些函数求极限问题，洛必达法则和等价无穷小结合运用，往往能化简运算，收到奇效。1211. 泰勒展开
11、法12. 利用定积分的定义求极限法积分本质上是和式的极限，所以一些和式的极限问题可以转化为求定积分的问题。138. 利用复合函数求极限十、利用级数收敛的必要条件求极限级数收敛的必要条件是：若级数 1nu收敛，则 0limnu，故对某些极限 )(limnf，可将函数 )(f作为级数 )(f的一般项，只须证明此技术收敛，便有 0lin。14例 n!lim十一、利用幂级数的和函数求极限当数列本身就是某个级数的部分和数列时，求该数列的极限就成了求相应级数的和，此时常可以辅助性的构造一个函数项级数（通常为幂级数，有时为 Fourier 级数）。使得要求的极限恰好是该函数项级数的和函数在某点的值。例 求
12、)331(lim12nn7 等比等差数列公式应用（对付数列极限） （q 绝对值符号要小于 1）8 各项的拆分相加 （来消掉中间的大多数） （对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数9 求左右求极限的方式（对付数列极限） 例如知道 Xn 与 Xn+1 的关系， 已知 Xn 的极限存在的情况下， xn 的极限与 xn+1 的极限时一样的 ，应为极限去掉有限项目极限值不变化11 还有个方法 ，非常方便的方法就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！x 的 x 次方 快于 x！ 快于 指数函数 快于 幂数函数 快于 对数函数 （画图也能看出速率的快慢） !当 x 趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了12 换元法 是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元， 但是换元会夹杂其中 16 直接使用求导数的定义来求极限 ，（一般都是 x 趋近于 0 时候，在分子上 f（x 加减麽个值）加减 f（x）的形式， 看见了有特别注意）
