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1、华中师范大学 2012 2013 学年第 1学期期末考试试卷（A卷答案）课程名称 应用随机过程 课程编号 83610101 任课教师 李波 题型一二三四五总分分值1026302410100得分得分评阅人一、判断题：（共5题，每题2分） 1 随机过程固定时可以看成是一个的函数，称为过程的一个轨道。（ T ）2 泊松过程是连续时间马氏链，是纯生过程的一个特例。 （ T ）3 有限状态的马氏链状态的一个状态如果正常返就是遍历。 （ F ）4 零均值独立随机变量序列的部分和是鞅。 （ T ）5 设是标准布朗运动，则也是标准布朗运动。 （ F ）得分评阅人二、证明题：（共3题，6 、7题8分 8题10分
2、，）6 14设和是分别具有参数和的相互独立的泊松过程，证明（1）是具有参数+的泊松过程；（2）证明不是泊松过程。证明(1) 显然是独立增量过程，且=院（系）： 专业： 年级： 学生姓名： 学号： - 密 - 封 - 线 - = = =故服从参数的泊松过程。 5分（2） 由于，故不是泊松过程。 8分7 .设 ，这里为上的均匀分布。证明是宽平稳过程。 3分 只与有关。所以是宽平稳过程。 8分8设为一串独立同分布的离散随机变量， 记，试证为马氏链，写出的状态空间和转移矩阵。证明：独立增量所以马氏 状态空间 5分转移矩阵 8分 第 1 页(共 3 页)得分评阅人三、计算题：（共3题，每题10分）9某网
3、站以顾客的接入时长收费，每单位时间一元钱。假设顾客以强度l 的Poisson过程进入该网站，进入即开始计算使用时长，试计算该网站收益的期望。解：由题意设顾客的到达时间为，则使用时长为 总收费为 由定理在 N(t)=n条件下n个的联合分布等价与0,t上n个相互独立服从均匀分布的随机变量的联合分布。所以可计算11 设河流每年的BOD（生物耗氧量）浓度为齐次Markov链，状态空间I=1，2，3，是按BOD浓度为低，中，高分别表示的，BOD浓度高时河流视为被污染，其一步转移概率矩阵（以一年为单位）为P= 1）求该Markov链的平稳分布2) 求河流再次达到污染的平均时间（即状态 3 的平均返回时间）
4、。解： 1） 易知此Markov链式遍历的，则平稳分布存在，由定理可得方程组 解上述方程组得平稳分布为 - 密 - 封 - 线 -=0.5882 =0.23594 =0.17647 8分2） 状态3的平均返回时间 =5.667年 10分11.分支过程中一个体产生后代的分布为初始为一个母体，试求第代个数的均值方差及全体消亡概率。解：= 5分, 解得消亡概率为 10分得分评阅人四、综合题：（共2题，每题12分）12 机器维修问题。用状态0表示机器正常工作，用状态1表示机器出现故障。正常工作时间(寿命)服从参数为的指数分布，维修时间同样服从参数为的指数分布。求Q矩阵，分别求向前向后方程，求初始正常5
5、时正常的概率，求该过程的平稳分布。解：由题意有 第 2 页(共 3 页)平稳分布 则在t时刻13用数学语言描述布朗运动的主要性质，并对一维布朗运动计算，解：布朗运动有很多好性质比如布朗运动是时齐的独立增量过程，也是时齐的马氏过程。布朗运动具有平稳增量，且的分布就是n维的正态分布 N (0, (t-s) I ).布朗运动是鞅 （需写出鞅性的表达式）布朗运动的数字特征有 等。布朗运动平移变换尺度变换后仍然是布朗运动等布朗运动的几乎每条样本轨道是连续的但对几乎每条样本轨道上的任意一点，其导数几乎处处不存在。等等 = - 密 - 封 - 线 -得分评阅人五、论述题：（共1题，一题10分，）14论述随机过程遍历性。可从依时间平均和依统计平均的概念、关系以及相等的条件入手。在此基础上讨论一两个例题。如， 和（是方差大于零的随机变量）的均值遍历性1） 思路如下：1.随机过程概念，一族随机变量2.依时间平均和依统计平均的解释3.平稳性和状态历经性4.均值遍历定理 2）先验证都具有平稳性。 具有均值遍历性。而 不具有均值遍历性。 第 3 页(共 3 页)
