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1、幽 轉麵学参考 一 來稿短论集 2 015年第 1 2期 下旬 权方和不等式 点评 配凑权方和不等式求最值 乂古 十 略 例 3 2013年高考数学湖南卷理科第10题 巳 以数予 问专 過 6 26 3 6 2 4 2 9 2 的最 李志边 山东省青岛市 第三高级中学 2 解 构造权方和不等式 2 46 2 9 2 若仏 0 6 0 1 2广 饥 0 则不等式 丄 1 丨 1 0 当且 3 2 12 0 6广 时 卞 6广 1 1 1 1 1 3 26 3 6 仅当 时上述不等式取等号 这个不 当且仅当 翌 即 2 6 吾 时 等式叫做权方和不等式 称为该不等式的权 它的 1 1 1 特点是分
2、子的幂指数比分侧幂雜高 1 次 取等 号 所 最小值为 12 笔者通过研究发现 利用权方和不等式可以巧妙 点评 配凑权方和不等式求最值 地解决 一些最值问题 并且可以方便地证明 一些不 等 2 构造权方和不等式证明不等式 式命题 下面从近 几年的高考试题举 例说明权方和 不等式在求最值和证明不等式中的应用 例 4 2013年高考数学课标卷 文科第 24题 设 6 均为正数 且 6 证明 1 略 2 1 构造权方和不等式求最值 邕 例 1 2011年高考数学重庆卷理科第7题 已知 解 1 略 2 证明 因为 6 均为正数 且 0 6 0 6 2 则 丄 的最小值是 仏 丄 糾 2 6 2 2 6
3、 构造权 方和不等式 7 9 4 5 2 2 2 2 2 1 6 即 1 2 2 解 构造权方和不等式 2 9 9 当且仅当 立 立 丄 即 6 时上述不 6 2 6 2 9 等式取等号 当且仅当 彳 丄 互 即 了 时取等号 点评 直接套用权方和不等式证明不等式 根据例 4可以破解例5 所以答案选 例 20 09年高考数学浙江卷 已知正数 点评 直接套用权方和不等式求最值 她 口 2 2 例 2 2012 年高考数学浙江卷文科第 9题 若 满足工 3 2 1 求证 正数工 满足 3 5 则 3工 4 3 的最小值 丄 是 1 2 4 28 证明 工 2 为正实数且满足 2 5 6 2 2 2
4、 构造权方和不等式 工9 上9 解 由 工 3尸 得5 立 丄 构造权方和不 2 2 丄1 2 等式 1 9 4 3 2 丨 3 2 2 2 2 3 2 3 3 1 即 2 2 丨 1 2 1 因为工 3 是正数 所以 5 3 4 2 5 即 3 3 2 2 3 3 4 3 4 5 当且仅 当 即 之 5 2 2 2 9 当且仅当 即士 1 尸 时輕 时上述不等式取等号 数学教 201碑第1 2期 下甸 点评 直接套用权方和不等式证明不等式 亡 游 根据例 5可赚麵6 初高甲数学救学 股 例 6 20 10 年高考数学浙江卷 设正实数 6 满足砂 求丄 值 几 1術播腐 证明 因为 为正实数且
5、满足 构 造 侯书红 云南师范大学昆明市五华区实验中学 权方和不等式 本文从三个方面谈谈初高中数学教学的几个衔 接 1 奇函数和偶函数问题与初中点关于原点 轴对 26 2 2 3 6 称问 题的衔接 2 高中数学公式与初中数学公式的衔 3 接 3 高中平面向量与初中平面几何知识的衔接 3 2 2 1 奇函数和偶函数问题与初中点关于原点 所以 十 厂 的最小值为 轴对称问题的衔接 2 0 6 例 1 若函数 为 奇函 当且仅当 即 当 0 2 2 2 数 则 表示为 6 1 分析 高中数学教材中奇函数就是满足 一 1 时 上述不等式取等号 的函数 实际与初中的点关于原点对称 满 点评 本题连用两
6、次不等式 要注意 取等号的 足 横坐标相反 纵坐标也相反 是 一致 的 因此 现 条件 将 一 工代换 2 2 得 2 2 然后纵坐标也相反 得 根据例 2可以破解例7 力 2 2 0 2 2 例 7 2012 年高考数学福建卷理科第 21 3 题 实 际教学中 大都忽视了初高中数学知识的衔 已知函数 工 饥一 丨工 一 2 丨 饥6 且 工 2 0 接 教学用书及资料上的解答如下 的解集为 1 1 因为 0 所以 0 所以 工 一 工 2 求饥的值 若 6 且丄 士 一 2工 所以 工 工 2 2工 所以 工 工 2 2工 2 3 相对而 言 用初中知识过渡 学生容易理解并掌 求证 2 6
7、3令9 2 2了 工 0 解 过程略 求得 握 如果问题改为偶函数 由 知 丄 1 又 6 构 造 只要用 一 工代换工 2 2工 得 一 2工 就是 贫 工 6 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 高中数学公式与初中数学公式的衔接 权方和不等 式 1 一 1 瓦 巧 一 7 茲 巧 1 1 1 2 9 9 学生 对初 中完全平方公式十分熟悉 如果 在高中 2 3 26 3 即 1 2 3 又 教学 中很好地用好知识衔接 那么学生就很容易理解 6 所以 2 3 9 和接受 11 1 例 2 我们知道 2 2 吣 26 37 1 3 现在如果将等式两边同时加 减 有 当且仅当 即 当 3 6 2 1 1 1 士 工 1 士2 工 26 3 2 2 0 时 上述不等式取等号 因此 应用好了衔接公式 学生就能很好地记忆 点评 配凑权方和不等式证明不等式 与应用高中数学公式 本文简单介绍了权方和不等式当 汾 1时的应 1 含山卞本 且 卞孟 如七搞此秘 用 出现定值是解题的关键 当 2 3 时 权方和 3 高中平面向量与初中平面几何知仏的銜接 不等式有着更为广泛的应用 尤其是解决 一些竞赛 中 例 3 如图 1 在三角形 的试题 可以起到意想不到的效果 有兴趣的读者可 中 若 2 设 5 乂 以研究 一下 请用 表示 方 图 广
