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1、.专题1：抛物线中的等腰三角形基本题型：已知，抛物线，点在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若为等腰三角形，求点坐标。分两大类进行讨论：（1）为底时（即）：点在的垂直平分线上。利用中点公式求出的中点；利用两点的斜率公式求出，因为两直线垂直斜率乘积为，进而求出的垂直平分线的斜率；利用中点与斜率求出的垂直平分线的解析式；将的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点坐标。（2）为腰时，分两类讨论：以为顶角时（即）：点在以为圆心以为半径的圆上。以为顶角时（即）：点在以为圆心以为半径的圆上。 利用圆的一般方程列出(或)的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的
2、对称轴）的解析式联立即可求出点坐标。专题2：抛物线中的直角三角形基本题型：已知，抛物线，点在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若为直角三角形，求点坐标。分两大类进行讨论：（1）为斜边时（即）：点在以为直径的圆周上。利用中点公式求出的中点；利用圆的一般方程列出的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称 轴）的解析式联立即可求出点坐标。（2）为直角边时，分两类讨论：以为直角时（即）：以为直角时（即）：利用两点的斜率公式求出，因为两直线垂直斜率乘积为，进而求出 （或）的斜率；进而求出（或）的解析式；将（或）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点坐标。所需知识点
3、：一、 两点之间距离公式：已知两点，则由勾股定理可得：。二、 圆的方程：点在M上，M中的圆心M为，半径为R。则，得到方程：。P在的图象上，即为M的方程。三、 中点公式：四、 已知两点，则线段PQ的中点M为。五、 任意两点的斜率公式：已知两点，则直线PQ的斜率： 。中考压轴题专题3：抛物线中的四边形基本题型：一、已知，抛物线，点在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形为平行四边形，求点坐标。分两大类进行讨论：（1）为边时 （2）为对角线时二、已知，抛物线，点在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形为距形，求点坐标。在四边形为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论
4、：（1）邻边互相垂直 （2）对角线相等三、已知，抛物线，点在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形为菱形，求点坐标。在四边形为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：（1）邻边相等 （2）对角线互相垂直四、已知，抛物线，点在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形为正方形，求点坐标。在四边形为矩形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：（1）邻边相等 （2）对角线互相垂直在四边形为菱形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：（1）邻边互相垂直 （2）对角线相等五、已知，抛物线，点在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形为梯形，求点坐标。分三大类进行讨论：（
5、1）为底时 （2）为腰时 （3）为对角线时典型例题：典型例题：例1（08深圳中考题）、如图9，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OBOC ，tanACO（1）求这个二次函数的表达式（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度（4）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直
6、线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，APG的面积最大？求出此时P点的坐标和APG的最大面积. 例2（2009年烟台市）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于C点，且经过点，对称轴是直线，顶点是（1） 求抛物线对应的函数表达式；（2） 经过两点作直线与轴交于点，在抛物线上是否存在这样的点，使以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（3） 设直线与y轴的交点是，在线段上任取一点（不与重合），经过三点的圆交直线于点，试判断的形状，并说明理由；OBxyAMC1（第26题图）（4） 当是直线上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）例3.（
7、2009临沂）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得DCA的面积最大，求出点D的坐标思路点拨1已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便2数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长3按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程4把DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA满分解答 （1）因
8、为抛物线与x轴交于A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为，代入点C的 坐标（0，2），解得所以抛物线的解析式为（2）设点P的坐标为如图2，当点P在x轴上方时，1x4，如果，那么解得不合题意如果，那么解得此时点P的坐标为（2，1）如图3，当点P在点A的右侧时，x4，解方程，得此时点P的坐标为解方程，得不合题意如图4，当点P在点B的左侧时，x1，解方程，得此时点P的坐标为解方程，得此时点P与点O重合，不合题意综上所述，符合条件的 点P的坐标为（2，1）或或 图2 图3 图4（3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E直线AC的解析式为设点D的横坐标为m，那么点D的坐标为，点E的坐标为所以
9、因此当时，DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1） 图5 图6例4.如图1，已知抛物线yx2bxc与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，3)，对称轴是直线x1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限当线段时，求tanCED的值；当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答思路点拨1第（1）、（2）题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后
10、续的解题2第（3）题的关键是求点E的坐标，反复用到数形结合，注意y轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系3根据C、D的坐标，可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形，这样写点E的坐标就简单了满分解答（1）设抛物线的函数表达式为，代入点C(0，3)，得所以抛物线的函数表达式为（2）由，知A(1，0)，B(3，0)设直线BC的函数表达式为，代入点B(3，0)和点C(0，3)，得 解得，所以直线BC的函数表达式为（3）因为AB4，所以因为P、Q关于直线x1对称，所以点P的横坐标为于是得到点P的坐标为，点F的坐标为所以，进而得到，点E的坐标为直线BC:与抛物线的对称轴x1的交点D的坐标为（1，2）
11、过点D作DHy轴，垂足为H在RtEDH中，DH1，所以tanCED，图2 图3 图4考点伸展第（3）题求点P的坐标的步骤是：如图3，图4，先分两种情况求出等腰直角三角形CDE的顶点E的坐标，再求出CE的中点F的坐标，把点F的纵坐标代入抛物线的解析式，解得的x的较小的一个值就是点P的横坐标 例5.（2010河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，AMB的面积为S、求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值（3） 若点P是抛物线上的动点点Q是直线y=-x上的动点，判断有几
12、个 位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x-2），如图2，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP=4四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4，代入y=-x得出Q为（4，-4）故满足题意的Q点的坐标有四个，分别是（-4，4），（4，-4），例6.（2013眉山）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB=OC=3，OA=OD=1，抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M（1）求这条抛物线的解析式；（2）P为抛物线上一动点
13、，E为直线AD上一动点，是否存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由抛物线的解析式为：y=x2+2x-3（2）存在APE为等腰直角三角形，有三种可能的情形：以点A为直角顶点如解答图，过点A作直线AD的垂线，与抛物线交于点P，与y轴交于点FOA=OD=1，则AOD为等腰直角三角形，PAAD，则OAF为等腰直角三角形，OF=1，F（0，-1）设直线PA的解析式为y=kx+b，将点A（1，0），F（0，-1）的坐标代入得：解得k=1，b=-1，y=x-1将y=x-1代入抛物线解析式y=x2+2x-3得，x2+2x-3=x-1，整理得：x2+x-2=0，解得x=-2或x=1，当x=-2时，y=x-1=-3，P（-2，-3）；以点P为直角顶点此时PAE=45，因此点P只能在x轴上或过点A与y轴平行的直线上过点A与y轴平行的直线，只有点A一个交点，故此种情形不存在；因此点P只能在x轴上，而抛物线与x轴交点只有点A、点B，故点P与点B重合P（-3，0）；以点E为直角顶点此时EAP=45，由可知，此时点P只能与点B重合，点E位于直线AD与对称轴的交点上，即P（-3，0）；综上所述，存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形点P的坐标为（-2，-3）或（-3，0）
