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1、 A B A C B C O 27 3位似 前面我们已经学习了图形的哪些变换 平移 平移的方向 平移的距离 旋转 旋转中心 旋转方向 旋转角度 相似 相似比 对称 轴对称与轴对称图形 中心对称与中心对称图形 对称轴 对称中心 注 图形这些不同的变换是我们学习几何必不可少的重要工具 它不但装点了我们的生活 而且是学习后续知识的基础 下面请欣赏如下图形的变换 回顾 下列图形中 每个图中的四边形ABCD和四边形A B C D 都是相似图形 分别观察这五个图 你发现每个图中的两个四边形各对应点的连线有什么特征 1 位似图形的概念 如果两个图形不仅相似 而且每组对应点所在的直线都经过同一点 对应边互相平
2、行 那么这样的两个图形叫做位似图形 这个点叫做位似中心 这时的相似比又称为位似比 相似 对应点的连线相交一点 对应边平行 明确 1 判断下列各对图形是不是位似图形 1 正五边形ABCDE与正五边形A B C D E 2 等边三角形ABC与等边三角形A B C 思考 是否相似图形都是位似图形 是 是 判断下面的正方形是不是位似图形 1 不是 A C D B F E G 显然 位似图形是相似图形的特殊情形 相似图形不一定是位似图形 可位似图形一定是相似图形 位似是一种具有位置关系的相似 位似图形是相似图形的特殊情形 位似图形必定是相似图形 而相似图形不一定是位似图形 两个位似图形的位似中心只有一个
3、 两个位似图形可能位于位似中心的两侧 也可能位于位似中心的一侧 注意 思考 位似图形有何性质 2 位似图形的性质 对应点与位似中心共线 不经过位似中心的对应边平行 位似图形上任意一对应点到位似中心的距离之比等于位似比 位似图形的性质 若 ABC与 A B C 的相似比为 1 2 则OA OA O A A B C B C 1 2 O A B C A C B 1 如图 已知 ABC和点O 以O为位似中心 求作 ABC的位似图形 并把 ABC的边长扩大到原来的两倍 OA OA OB OB OC OC 1 2 思考 还有没其他作法 O A B A C B C 如果位似中心跑到三角形内部呢 A C B
4、O A B A C B C O 以0为中心把 ABC缩小为原来的一半 位似的作用 位似可以将一个图形放大或缩小 二 位似图形的画法 A B A C B C O 以0为位似中心把 ABC在同侧缩小为原来的一半 1 画出ABC 2 选取中心点 3 连结OA OB OC 4 在OA OB OC上分别选取A B C 使OA OA 1 2 OB OB 1 2 OC OC 1 2 步骤 5 连结A B C 所连成的图形就是所求作图形 二 位似图形的画法 A B A C B C O 以0为中心把 ABC缩小为原来的一半 练习 如图 以O为位似中心 将 ABC放大为原来的两倍 如果把位似图形放到直角坐标系中
5、又如何去探究位似变换与坐标之间的关系呢 请以坐标原点O为位似中心 作 ABCD的位似图形 并把它的边长放大3倍 小练习 分析 根据位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 我们只要连结位似中心O和 ABCD的各顶点 并把线段延长 或反向延长 到原来的3倍 就得到所求作图形的各个顶点 1 连结OA OB OC OD 2 分别延长OA OB OC OD至G C E F 使 3 依次连结GC CE EF FG 四边形GCEF就是所求作的四边形 如果反向延长OA OB OC OD 就得到四边形G C E F 也是所求作的四边形 作法 使新图形与原图形对应线段的比是2 1 在原图上取几个关
6、键点A B C D E F G 图外任取一点P 作射线AP BP CP DP EP FP GP 在这些射线上依次取点A B C D E F G 使PA 2PA PB 2PB PC 2PC PD 2PD PC 2PC PE 2PE PF 2PF PG 2PG 顺次连接点A B C D E F G 所得到的图形 向下的箭头 就是符合要求的图形 小练习 如果依次在射线上PA PB PC PD PE PF PG上取点A B C D E F G 呢 结果是一个向上的箭头 新图形与原图形是位似图形 位似比是2 1 你还有其它方法吗 确定位似中心 位似中心的位置可随意选择 确定原图形的关键点 如四边形有四个
7、关键点 即它的四个顶点 确定位似比 根据位似比的取值 可以判断是将一个图形放大还是缩小 符合要求的图形不唯一 因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关 并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形 位似变换的步骤 如果两个图形不仅相似 而且对应顶点的连线相交于一点 像这样的两个图形叫做位似图形 这个点叫做位似中心 这时的相似比又称为位似比 1 什么叫位似图形 2 位似图形的性质 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 3 利用位似可以把一个图形放大或缩小 复习回顾 D E F A O B C 如何把三角形ABC放大为原来的2倍 D E F A O B C 对应点连线都交于
8、 对应线段 位似中心 平行或在一条直线上 复习回顾 B A x y B A o 在平面直角坐标系中 有两点A 6 3 B 6 0 以原点O为位似中心 相似比为1 3 把线段AB缩小 A 2 1 B 2 0 观察对应点之间的坐标的变化 你有什么发现 探索1 B A x y B A o 在平面直角坐标系中 有两点A 6 3 B 6 0 以原点O为位似中心 相似比为1 3 把线段AB缩小 A 2 1 B 2 0 A B A 2 1 B 2 0 在平面直角坐标系中 如果位似变换是以原点为位似中心 相似比为k 那么位似图形对应点的坐标的比等于k或 k 观察对应点之间的坐标的变化 你有什么发现 x y o
9、 在平面直角坐标系中 ABC三个顶点的坐标分别为A 2 3 B 2 1 C 6 2 以原点O为位似中心 相似比为2画它的位似图形 B A C A 4 6 B 4 2 C 12 4 放大后对应点的坐标分别是多少 B A C 探索2 还有其他办法吗 2 4 6 12 1 3 6 2 4 x y o 在平面直角坐标系中 ABC三个顶点的坐标分别为A 2 3 B 2 1 C 6 2 以原点O为位似中心 相似比为2 将 ABC放大 A 4 6 B 4 2 C 12 4 B A C 放大后对应点的坐标分别是多少 B A x y o 例题 在平面直角坐标系中 四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A 6 6
10、B 8 2 C 4 0 D 2 4 画出它的一个以原点O为位似中心 相似比为1 2的位似图形 A 3 3 B 4 1 C 2 0 D 1 2 A B C D 你还有其他办法吗 试试看 在平面直角坐标系中 如果位似变换是以原点为位似中心 相似比为k 那么位似图形对应点的坐标的比等于k或 k 例如 点A x y 的对应点为A 则A 点的坐标可以这样确定 归纳 xA xA k yA yA k xA xA k yA yA k 或 即A kx ky 即A kx ky 例 如果四边形ABCD的坐标分别为A 6 6 B 8 2 C 4 0 D 2 4 写出以原点为位似中心 相似比为 1 2 的一个图形的对应
11、点的坐标 练习 参考答案 随堂练习 1 判断下列各对图形哪些是位似图形 哪些不是 1 五边形ABCDE与五边形A B C D E 2 正方形ABCD与正方A B C D 3 等边三角形ABC与等边三角形A B C 2 下面的说法对吗 为什么 1 分别在 ABC的边AB AC上取点D E 使DE BC 那么 ADE是 ABC缩小后的图形 2 分别在 ABC的边AB AC的延长线上取点D E 使DE BC 那么 ADE是 ABC放大后的图形 3 分别在 ABC的边AB AC的反向延长线上取点D E 使DE BC 那么 ADE是 ABC缩小后的图形 3 如图P E F分别是AC AB AD的中点 四
12、边形AEPF与四边形ABCD是位似图形吗 如果是位似图形 说出位似中心和位似比 是位似图形 位似中心是点A 位似比是1 2 4 哪些图形是位似图形并指出位似图形的位似中心 位似中心是点O 位似中心是点P 5 作出一个新图形 使新图形与原图形对应线段的比是2 1 6 1 如果在射线OA OB OC上分别取D E F 使OD 2OA OE 2OB OF 2OC 那么 结果会怎样 结果会得到一个放大了的 DEF 且 DEF的三边是 ABC三边的2倍 即它们的位似比是2 1 2 如果在射线AO BO CO上分别取点D E F使DO OA EO OB FO OC 那么 结果又会怎样 结果会得到一个与 A
13、BC全等的 DEF 即它们的位似比是1 1 O 7 任意画一个三角形 将 ABC的三边缩小为原来的一半 课堂小结 1 位似图形 位似中心 位似比 如果两个图形不仅形状相同 而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点 那么这样的两个图形叫做位似图形 这个点叫做位似中心 这时的相似比又称为位似比 2 位似图形的性质 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 以坐标原点为位似中心的位似变换有以下性质 若原图形上点的坐标为 x y 与原图形的位似比为k 则像上的对应点的坐标为 kx ky 或 kx ky 画出基本图形 选取位似中心 根据条件确定对应点 并描出对应点 顺次连结各对应点 所成的图形就是所求的图形 3 位似图形的画法 对称平移旋转相似 4 图形变换 再见
