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1、 二 交错级数及其审敛法 三 绝对收敛与条件收敛 第二节 一 正项级数及其审敛法 常数项级数的审敛法 一 正项级数及其审敛法 若 定理1 正项级数 收敛 部分和序列 有界 若 收敛 部分和数列 有界 故 从而 又已知 故有界 则称 为正项级数 单调递增 收敛 也收敛 都有 定理2 比较审敛法 设 且存在 对一切 有 1 若强级数 则弱级数 2 若弱级数 则强级数 证 设对一切 则有 收敛 也收敛 发散 也发散 分别表示弱级数和强级数的部分和 则有 是两个正项级数 常数k 0 因在级数前加 减有限项不改变其敛散性 故不妨 1 若强级数 则有 因此对一切 有 由定理1可知 则有 2 若弱级数 因此
2、 这说明强级数 也发散 也收敛 发散 收敛 弱级数 例1 讨论p级数 常数p 0 的敛散性 解 1 若 因为对一切 而调和级数 由比较审敛法可知p级数 发散 发散 因为当 故 考虑强级数 的部分和 故强级数收敛 由比较审敛法知p级数收敛 时 2 若 调和级数与p级数是两个常用的比较级数 若存在 对一切 证明级数 发散 证 因为 而级数 发散 根据比较审敛法可知 所给级数发散 例2 定理3 比较审敛法的极限形式 则有 两个级数同时收敛或发散 2 当l 0 3 当l 证 据极限定义 设两正项级数 满足 1 当0 l 时 由定理2可知 同时收敛或同时发散 3 当l 时 即 由定理2可知 若 发散 1
3、 当0 l 时 2 当l 0时 由定理2知 收敛 若 是两个正项级数 1 当时 两个级数同时收敛或发散 特别取 可得如下结论 对正项级数 2 当且收敛时 3 当且发散时 也收敛 也发散 的敛散性 例3 判别级数 的敛散性 解 根据比较审敛法的极限形式知 例4 判别级数 解 根据比较审敛法的极限形式知 定理4 比值审敛法 D alembert判别法 设 为正项级数 且 则 1 当 2 当 证 1 收敛 时 级数收敛 或 时 级数发散 由比较审敛法可知 因此 所以级数发散 时 2 当 说明 当 时 级数可能收敛也可能发散 例如 p 级数 但 级数收敛 级数发散 从而 例5 讨论级数 的敛散性 解
4、根据定理4可知 级数收敛 级数发散 对任意给定的正数 定理5 根值审敛法 Cauchy判别法 设 为正项级 则 证明提示 即 分别利用上述不等式的左 右部分 可推出结论正确 数 且 时 级数可能收敛也可能发散 例如 p 级数 说明 但 级数收敛 级数发散 例6 证明级数 收敛于S 似代替和S时所产生的误差 解 由定理5可知该级数收敛 令 则所求误差为 并估计以部分和Sn近 二 交错级数及其审敛法 则各项符号正负相间的级数 称为交错级数 定理6 Leibnitz判别法 若交错级数满足条件 则级数 收敛 且其和 其余项满足 证 是单调递增有界数列 又 故级数收敛于S 且 故 收敛 收敛 用Leib
5、nitz判别法判别下列级数的敛散性 收敛 上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 发散 收敛 收敛 三 绝对收敛与条件收敛 定义 对任意项级数 若 若原级数收敛 但取绝对值以后的级数发散 则称原级 收敛 数 为条件收敛 均为绝对收敛 例如 绝对收敛 则称原级 数 条件收敛 定理7 绝对收敛的级数一定收敛 证 设 根据比较审敛法 显然 收敛 收敛 也收敛 且 收敛 令 例7 证明下列级数绝对收敛 证 1 而 收敛 收敛 因此 绝对收敛 2 令 因此 收敛 绝对收敛 其和分别为 绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质 定理8 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和 说明 证明参考P203 P206 这里从略 定理9 绝对收敛级数的乘法 则对所有乘积 按任意顺序排列得到的级数 也绝对收敛 设级数 与 都绝对收敛 其和为 但需注意条件收敛级数不具有这两条性质 内容小结 1 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2 利用正项级数审敛法 必要条件 发散 满足 比值审敛法 根值审敛法 收敛 发散 不定 比较审敛法 用它法判别 积分判别法 部分和极限 3 任意项级数审敛法 为收敛级数 Leibniz判别法 则交错级数 收敛 概念 绝对收敛 条件收敛 思考与练习 设正项级数 收敛 能否推出 收敛 提示 由比较判敛法可知 收敛 注意 反之不成立 例如 收敛 发散
