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1、第9章 网络函数和频率特性 内容提要 在实际工作中，施加于一个网络的信号一般不会是单一频率的正弦量，但是一般可表示为很多不同频率正弦量的线性组合。为了具体分析在非单一频率信号源激励下的响应，必须分析网络在不同频率下的响应与激励关系，即研究网络的频率特性。本章先介绍在正弦稳态条件下的网络函数，然后利用网络函数研究几种典型RC电路的频率特性，最后介绍谐振电路及其频率特性。动态电路的频率特性在电子和通信工程以及自动控制中得到了广泛应用，常用来实现滤波、选频、移相以及系统性能调整等功能。例如在收音机、电视机的接受电路中谐振电路可以对所需电台或者电视台的信号有良好响应，而对其他不需要的电台信号或干扰信号
2、能加以抑制，从而可以得到良好的收听、收看效果。 9.1网络函数 9.1.1 网络函数的定义和分类 正弦信号在工程实践中有着重要的作用，很多信号都可以表示成正弦信号的线性组合，因此研究电路系统在不同正弦信号激励下的响应是十分必要的。动态电路的网络函数是指动态电路在频率为w的单一正弦激励下，正弦稳态响应(输出)相量Rg 与激励(输入)相量Eg 之比，记为 ()Hjw ： ()|()|()RHjHjEwwqw=gg (9-1) 其中，输入(激励) Eg 是电压源或电流源，输出(响应) Rg 是某个电压或者电流。H为w的函数,反映了网络的频率特性,它由其内部结构和元件参数决定。 ?2U?1I?2I_?
3、_?1U图9-1 双端口电路网络 如果输入和输出属于同一端口，对应的网络函数称为驱动点函数，或者叫策动点函数。输入是电流源，输出是电压时，对应的网络函数称为驱动点阻抗。输入是电压源，输出是电流时，对应的网络函数称为驱动点导纳。以图9-1所示的双端口网络为例，端口1的驱动点阻抗和驱动点导纳分别为 11/UIgg和 11/IUgg，端口2的驱动点阻抗和驱动点导纳分别为 22/UIgg和22/IUgg。 如果输入和输出属于不同的端口时，对应的网络函数称为转移函数，它又可分为转移阻抗、转移导纳、转移电压比和转移电流比四种。仍以图9-1所示的双端口网络为例， 21/UIgg和12/UIgg称为转移阻抗，
4、 21/IUgg和 12/IUgg称为转移导纳， 21/UUgg和 12/UUgg称为转移电压比以及 21/IIgg和 12/IIgg称为转移电流比。 这里应当指出，当讨论的网络一定时，如果选取的输入端、输出端不同时，其网络函数一般也是不同的。 9.1.2 网络函数的计算方法 电路网络的网络函数是以频率为变量的两个多项式之比，它取决于网络的结构和参数，与输入的量值无关。因此在已知网络相量模型的条件下，可以通过外加电源法，即：在输入端外加一个电压源或电流源，用网络分析的任意一种方法求出相量的表达式，然后将输入与输出相比，求的相应的网络函数。对于二端元件组成的阻抗串并联网络，也可用阻抗串并联公式计
5、算驱动点的阻抗与导纳，用分压、分流公式计算转移函数。 例9-1 试求图9-2(a)所示网络负载端开路时的驱动点导纳 11/IUgg，转移电压比 21/UUgg和转移阻抗 21/UIgg。 +-+-1u1i2uR LC+-+-1Ug 2UgjLw1jCwR1Ig(a) (b) 图9-2 例9-1 解：首先画出网络的相量模型，如图9-2(b)所示。为求转移导纳 11/IUgg，可以外加电流源1Ig ，用阻抗串联公式求得驱动点导纳 12111 ()1I jCjLCjRCU RjLjCwwwww=+gg 然后根据电压电流关系，可求得转移电压比 2211111()1UjC jLCjRCU RjLjCw
6、wwww= +gg 转移阻抗 211UjCI w=gg 例9-2 图9-3(a)所示电路为低通滤波电路,已, 12341.5,0.5,13LHCFLHR=,激励是电压源 1u ，求电压转移函数 211()UHjUw =gg 和驱动点导纳函数121()IHjUw =gg 。 21jCw3jLw1jLw1Ug 2Ug1Ig 2Ig(a) (b) 图9-3 例9-2 解：首先画出网络的相量模型，同时加入假想的电压源 1Ug ，如图9-3(b)所示。回路电流方程为 11122232211()11()0jLIIUjCsCIjLRUjCjCw wwww+=+=gg所以有 2322111222LCjRCIU
7、DUIDjURIwwww+=gggggg1(j)() 其中 32132121323 ()DjjLLCRLCjLLRjjwwwwwwwwww=+=+()()21=122 电压转移函数为 21 2311()()UHjjUw www=+gg122 驱动点导纳函数为 212 231324()3()IjHjjUwwwwww+=+gg122 9.1.3 网络函数与正弦波 有前面定义可知，网络函数 ()|()|()HjHjwwqw=是输出相量与输入相量之比，它反映输出正弦波振幅及相位与输入正弦波幅值与相位间的关系，在已知网络函数的条件下，给定任一频率的输入正弦波即可直接求得输出正弦波。例如，已知某电路的转移
8、电压比 21()|()|()UHjHjUwwqw=gg (9-2) 其中 21|()| UHj Uw = (9-3) 21()qwjj= (9-4) 式(9-3)表明输出电压 2()ut的幅值为输入电压 1()ut幅值的|()|Hjw 倍，即 21|()|UHjUw= 式(9-4)表明输出电压 2()ut的相位比输入电压 1()ut的相位超前 ()qw角度，即 21()jjqw=+ 如果已知 111()cos()mutUtwj=+，则由 1()ut激励产生的响应为 211()|()|cos()mutHjUtwwjqw=+ (9-5) 对于其他的网络函数，例如转移电流比等也可以仿照上面的方法进行
9、求解。 例9-3 电路如图9-4所示。(1)求该电路网络的转移电压比 21/UUgg；(2)若已知1()102cos(10)uttw=+o V， 1kR = ， 1= ， 2mSmg = ， 310rad/sw = ，试求输出电压 2()ut。 1jCw1jCw(a) (b) 图9-4 例9-2 解：(1) 首先画出网络的相量模型，如图9-3(b)所示。外加电压源 1Ug ，列出节点方程 1222(2)1()()0CmCUjCUjCURRgjCUjCURwwww+=+=ggggg由以上两式解得转移电压比 2 2222124mmURgjCRRCjCRjCRgUwwww+=+gg (9-6) (2
10、)将R，C， mg 的值带入到式(9-6)可得 326231210()210210UjHjjUwwww+=+gg 310rad/sw = 时 2121()136.922UjHjjUw+=+gog 由式(9-5)可得 21133()|()|cos()1102cos(101036.9)102cos(1026.9)VmutHjUtttwwjqw=+=+=ooo对于实际电路的网络函数，可以用一个正弦信号发生器通过实验方法。将正弦信号发生器接到被测网络的输入端，用一台双踪示波器同时观测输出与输入正弦波，从输入、输出波形即可求得，从输入、输出波形相位差即可求得，改变信号发生器的频率，求得各种频率下的网络函
11、数就可得到该网络的频率特性或者说网络函数。 9.1.4 网络函数的频率特性 正如定义式(9-1)， ()|()|()HjHjwwqw= ，即网络函数的幅值和相位分别为|()|Hjw 和()qw 。一般来说，|()|Hjw 和 ()qw 都是角频率w 的函数。确定了网络函数的幅值和相位也就确定了网络函数。分析 ()Hjw 随角频率w变化的情况就可以预见相应的转移函数或驱动点函数在正弦稳态情况下随角频率w变化的特性。 |()|Hjw 随角频率w变化的关系称为幅值频率响应，简称幅频特性。而 ()qw 随角频率w变化的关系称为相位频率响应，简称相频特性。网络函数的幅频特性和相频特性统称为网络函数的频率
12、特性。 以幅值和相位作为纵坐标，以角频率或者频率作为横坐标绘制得到的曲线称为幅频特性曲线和相频特性曲线。频率特性曲线的横坐标即角频率或频率坐标，一般采用对数坐标，以便在更大频率范围内体现网络的频率特性。由幅频特性曲线和相频特性曲线可以十分直观地看出网络对于不同频率的正弦波呈现出的不同的特性。 例9-2所示电路所求转移电压比的幅频特性曲线和相频特性曲线可分别由式(9-2)绘制得到，如图9-5(a)和(b)所示。其中横坐标角频率坐标采用的是对数坐标。由频率特性曲线可以看出，该网络对频率较高的正弦波信号有较大的衰减，而频率较低的正弦波信号基本上不会衰减，网络的这种特性称为低通滤波特性。 对于例9-3
13、来说，在正弦稳态时，如果输入电压 1()ut为频率较低的正弦波信号，则输出电压 2()ut的幅值基本上等于 1()ut的幅值；而如果输入电压 1()ut为频率较高正弦波信号，则输出电压2()ut的幅值就会接近于零。同时，由该网络的相频特性可知，频率不同时，输出电压 2()ut相对于输入电压 1()ut会产生不同的相位偏移，偏移角度范围为090oo。 |()|Hjw/(/)radsw101 210 310 410 510 610 ()qw/(/)radsw101 210 310 410 510 610180o90o90 o180 o (a) 幅频特性曲线 (b)相频特性曲线 图9-5 例9-3中
14、转移电压比的频率特性 根据实际需要调整网络的参数，可以得到不同的频率特性的电路网络，也就是说可以设计出各种滤波器，以便从各种信号当中获取所需频率的信号。常用的滤波器(也就是电路网络)根据频率特性的不同一般分为低通滤波器，高通滤波器，带通滤波器以及带阻滤波器。图9-6是这四种滤波器理想的幅频特性曲线。图中：“通带”表示频率处于这个区域的激励源信号(又称输入信号)可以通过网络，顺利到达输出端产生响应的信号输出。“阻带”表示频率处于这个区域的激励源信号将会被网络阻止，不能到达输出端产生输出信号，即被滤掉了。滤波器的名称就来源于此。 此外，应该指出，实际的滤波器不可能与这些理想的滤波器幅频特性完全一致
15、，只能是一定程度上的近似，近似的程度可以根据需要进行设计。 )()(a)低通 (b)高通 (c)带通 (d)带阻 图9-6 理想滤波器的频率特性 9.2 简单RC电路的频率特性 在上节讨论了频率特性的基础上，本节讨论几种常用的RC滤波电路的频率特性，同时介绍用对数坐标绘制的频率特性曲线，即波特图(亦称伯德图)。 9.2.1 一阶RC低通滤波电路 如图9-7(a)所示的RC串联电路，当负载端开路时，电容电压对输入电压的转移电压比为 2111()1 1U jCHjjRCU RjCwwww=+gg (9-7) 令 11cRCw t=，则上式改写为 211()|()|()1cUHjHjU jwwqwww=+gg (9-8) 其中 21|()|1()cHjw ww=+(9-9) (
