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1、课时作业 77直线与圆的位置关系 1 如图 AB 是 O 的直径 MN 与 O 切于点 C AC 1 2BC 则 sin MCA 解析 由弦切角定理得 MCA ABC sin ABC AC AB AC AC2 BC 2 AC 5AC 5 5 答案 5 5 2 如图 四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形 延长AB 和 DC 相交于点 P 若 PB PA 1 2 PC PD 1 3 则 BC AD 的值为 解析 P P PCB PAD PCB PAD PB PD PC PA BC DA PB PA 1 2 PC PD 1 3 BC AD 6 6 答案 6 6 3 如图 D 是圆 O 的直径 A
2、B 延长线上一点 PD 是圆 O 的切 线 P 是切点 D 30 AB 4 BD 2 PA 解析 连接 PO 因为 PD 是 O 的切线 P 是切点 D 30 所以 POD 60 并且 AO 2 POA 120 PO 2 在 POA 中 由余弦定理知 PA 2 3 答案 2 3 4 如图 在 ABC 中 AB AC C 72 O 过 A B 两 点且与 BC 相切于点 B 与 AC 交于点 D 连接 BD 若 BC 5 1 则 AC 解析 由题易知 C ABC 72 A DBC 36 所以 BCD ACB 又易知 BD AD BC 所以 BC2 CD AC AC BC AC 解得 AC 2 答
3、案 2 5 2015 湖北卷 如图 PA 是圆的切线 A 为切点 PBC是圆的 割线 且 BC 3PB 则 AB AC 解析 由切割线定理知 PA2 PB PC PB PB BC 4PB2 则 PA 2PB 而 PAB PCA 所以 AB AC PB PA 1 2 答案 1 2 6 2016 天津月考 如图 以 Rt ABC 的直角边 AB 为直径作圆 O 圆 O 与斜边 AC 交于 D 过 D 作圆 O 的切线与 BC 交于 E 若 BC 6 AB 8 则 OE 解析 由题意 如图 连接OD BD 则 OD ED BD AD OB OD OE OE Rt EBO Rt EDO EB ED E
4、BD EDB 又 EBD C 90 EDB EDC 90 C EDC ED EC EB EC O 是 AB 的中点 OE 1 2AC 直角边 BC 6 AB 8 AC 10 OE 5 答案 5 7 2015 广东卷 如图 已知 AB 是圆 O 的直径 AB 4 EC 是 圆 O 的切线 切点为 C BC 1 过圆心 O 作 BC 的平行线 分别交 EC 和 AC 于点 D 和点 P 则 OD 解析 连接 OC 由于 EC 是圆 O 的切线 OC DC 由题意知OC 2 在 Rt DOC 中 cos COD OC OD 又 OD BC COD OCB 而 OCB 为等腰三角形 且 OC OB 2
5、 BC 1 cos OCB cos OBC BC AB 1 4 cos COD OC OD 1 4 OD 8 答案 8 8 如图 直线 PB 与圆 O 相切于点 B D 是弦 AC 上的点 PBA DBA 若 AD m AC n 则 AB 解析 PB切 O 于点 B PBA ACB 又 PBA DBA DBA ACB 又 A 是公共角 ABD ACB AB AC AD AB AB2 AD AC mn AB mn 答案 mn 9 如图 两个等圆 O 与 O 外切 过 O 作 O 的两条切线 OA OB A B 是切点 点 C 在圆 O 上且不与点 A B 重合 则 ACB 解析 连接 O A O
6、 B O O 由 O 与 O 外切且半径相等 得 O A 1 2O O 又因 O A OA 所以 AOO 30 同理 BOO 30 故 AOB 60 由四边形的内角和为360 得 AO B 120 故 ACB 1 2 AO B 60 答案 60 10 2015 江苏卷 如图 在 ABC 中 AB AC ABC的外接 圆 O 的弦 AE 交 BC 于点 D 求证 ABD AEB 证明 因为 AB AC 所以 ABD C 又因为 C E 所以 ABD E 又 BAE 为公共角 可知 ABD AEB 11 如图 四边形 ABCD 是 O 的内接四边形 AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E 且
7、CB CE 1 证明 D E 2 设 AD 不是 O 的直径 AD 的中点为 M 且 MB MC 证明 ADE 为等边三角形 证明 1 由题设知 A B C D 四点共圆 所以 D CBE 由已知得 CBE E 故 D E 2 设 BC 的中点为 N 连接 MN 则由 MB MC 知 MN BC 故 O 在直线 MN 上 又 AD 不是 O 的直径 M 为 AD 的中点 故OM AD 即 MN AD 所以 AD BC 故 A CBE 又 CBE E 故 A E 由 1 知 D E 所以 ADE 为等边三角形 12 2015 全国卷 如图 AB 是 O 的直径 AC 是 O 的切线 BC 交 O
8、 于点 E 1 若 D 为 AC 的中点 证明 DE 是 O 的切线 2 若 OA 3CE 求 ACB 的大小 解 1 如图 连接 AE 由已知得 AE BC AC AB 在 Rt AEC中 由已知得 DE DC 故 DEC DCE 连接 OE 则 OBE OEB 又 ACB ABC 90 所以 DEC OEB 90 故 OED 90 DE 是 O 的切线 2 设 CE 1 AE x 由已知得 AB 2 3 BE 12 x2 由射影定理可得 AE 2 CE BE 所以 x 2 12 x2 即 x4 x2 12 0 可得 x 3 所以 ACB 60 tan ACB AE CE 3 1 如图 已知
9、 AD 是 ABC 的外角 EAC 的平分线 交 BC 的 延长线于点 D 延长 DA 交 ABC 的外接圆于点 F 连接 FB FC 1 求证 FB FC 2 求证 FB 2 FA FD 3 若 AB 是 ABC 外接圆的直径 EAC 120 BC 6 cm 求 AD 的长 证明 1 证明 因为 AD 平分 EAC 所以 EAD DAC 因为四边形 AFBC 内接于圆 所以 DAC FBC 因为 EAD FAB FCB 所以 FBC FCB 所以 FB FC 2 证明 因为 FAB FCB FBC AFB BFD 所以 FBA FDB 所以 FB FD FA FB 所以 FB 2 FA FD
10、 3 解 因为 AB 是圆的直径 所以 ACB 90 又 EAC 120 所以 ABC 30 DAC 1 2 EAC 60 因为 BC 6 所以 AC BCtan ABC 2 3 所以 AD AC cos DAC 4 3 cm 2 2015 新课标全国卷 如图 O 为等腰三角形 ABC 内一点 O 与 ABC 的底边 BC 交于 M N 两点 与底边上的高AD 交于点 G 且与 AB AC 分别相切于 E F 两点 1 证明 EF BC 2 若 AG 等于 O 的半径 且 AE MN 2 3 求四边形 EBCF 的面积 解 1 由于 ABC 是等腰三角形 AD BC 所以 AD 是 CAB 的
11、平分线 又因为 O 分别与 AB AC 相切于 E F 所以 AE AF 故 AD EF 从而 EF BC 2 由 1 知 AE AF AD EF 故 AD 是 EF 的垂直平分线 又 EF 为 O 的弦 所以 O 在 AD 上 连接 OE OM 则 OE AE 由 AG 等于 O 的半径得 AO 2OE 所以 OAE 30 因此 ABC 和 AEF 都是等边三角形 因为 AE 2 3 所以 AO 4 OE 2 因为 OM OE 2 DM 1 2MN 3 所以 OD 1 于是 AD 5 AB 10 3 3 所以四边形 EBCF 的面积为 1 2 10 3 3 2 3 2 1 2 2 3 2 3 2 16 3 3
