《2020年高三数学大串讲第18讲（利用数列前n项和与通项探究递推关系）（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年高三数学大串讲第18讲（利用数列前n项和与通项探究递推关系）（解析版）（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第18讲（利用数列前n项和与通项探究递推关系）【目标导航】数列中求通项、求和是最基本，也是最重要的问题，在试题的条件中经常会出现含有和Sn与项an的等式，这往往是问题的突破口，经常会使用退位(或进位)相减的方式，使问题转化为相邻项之间的关系，如果满足等差(或等比)数列的定义那就更好，否则就是常规递推关系问题，通过构造等比数列解决问题的；而数列求和，则应根据通项的特点选择对应的求和方法，其中错位相减法和裂项相消法经常考到。【例题导读】例1、已知数列的前项和为， 设，数列的前项和为，证明： .【解析】由（1）得： 可知当时， 例2、设数列的各项均为正数，它的前项和为，点在函数的图像上；数列满足，其
2、中（）求数列和的通项公式；（）设，求证：数列的前项和【解析】（）由已知条件得， 当时， 得：，即，数列的各项均为正数，（），又，；，（），两式相减得：，例3、已知正项数列的前项和为，且（1）求证：数列是等差数列（2）记数列，证明：【解析】令代入可得：即由为等差数列可得： 考虑先证 时时，再证综上所述： 例4、已知数列的前项和，且（1）求（2）求数列的前项和（3）设数列的前项和，且满足，求证：【解析】（1）在中，令可得：（2） 可得： 是公差为6的等差数列（3）由（2）可得： 例5、已知数列an中，a11，且an13an40，nN*.(1) 求证：an1是等比数列，并求数列an的通项公式；(2)
3、 数列an中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？若存在，求满足条件的项；若不存在，说明理由【解析】 (1) 由an13an40得an113(an1)，nN*.(2分)其中a11，所以a1120，可得an10，nN*.(4分)所以3，nN*，所以an1是以2为首项，3为公比的等比数列(6分)所以an12(3)n1，即an2(3)n11，则数列an的通项公式为an2(3)n11，nN*.(8分)(2)若数列an中存在三项am，an，ak(mn0得12n24n2n0，所以2n30，即P2P1，(13分)n2时，因为2n4，33，即12n24n2n0.此时Pn1P3P4，(14分)
4、所以Pn的最大值为P2，(15分)若存在正整数k，使得对任意正整数n，Pnk恒成立，则kPmax，所以正整数k的最小值为4.(16分)例7、已知数列an与bn的前n项和分别为An和Bn，且对任意nN*，an1an2(bn1bn)恒成立(1) 若Ann2，b12，求Bn；(2) 若对任意nN*，都有anBn及成立，求正实数b1的取值范围；(3) 若a12，bn2n，是否存在两个互不相等的整数s，t(1st)，使，成等差数列？若存在，求出s，t的值；若不存在，请说明理由【解析】(1) 因为Ann2，所以an即an2n1，(2分)故bn1bn(an1an)1，所以数列bn是以2为首项，1为公差的等差
5、数列，所以Bnn2n(n1)1n2n.(4分)(2) 依题意Bn1Bn2(bn1bn)，即bn12(bn1bn)，即2，所以数列bn是以b1为首项，2为公比的等比数列，所以anBnb1b1(2n1), 所以 .(5分)因为，(8分)所以，所以恒成立，即b13，所以b13.(10分)(3) 由an1an2(bn1bn)得an1an2n1，所以当n2时，an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a12n2n1232222n12，当n1时，上式也成立，所以An2n242n.又Bn2n12，所以2.(12分)假设存在两个不相等的整数s，t(1st)，使，成等差数列，等价于，成等差数列，
6、即，即 1.(13分)因为11，所以1，即2s2s1.(14分)令h(s)2s2s1(s2，sN*)，则h(s1)h(s)2s20，所以h(s)单调递增若s3，则h(s)h(3)10，不满足2s2s1，所以s2，代入得2t3t10(t3)当t3时，显然不符合要求；当t4时，令(t)2t3t1(t4，tN*)，则同理可证(t)单调递增，所以(t)(4)30，所以不符合要求所以，不存在正整数s，t(1st)，使，成等差数列(16分)例8、若数列an中不超过f(m)的项数恰为bm(mN*)，则称数列bm是数列an的生成数列，称相应的函数f(m)是数列an生成bm的控制函数(1) 已知ann2，且f(
7、m)m2，写出b1，b2，b3；(2) 已知a22n，且f(m)m，求bm的前m项和Sm；(3) 已知an2n，且f(m)Am3(AN*)，若数列bm中，b1，b2，b5是公差为d(d0)的等差数列，且b310，求d的值及A的值【解析】 (1) m1，则a111；所以b11，m2，则a114，a244.所以b22，m3，则a119，a249，a399，所以b33.(3分)(2) m为偶数时，则2nm，则bm；m为奇数时，则2nm1，则bm；所以bm(5分)m为偶数时，则Smb1b2bm(12m)；m为奇数时，则Smb1b2bmSm1bm1；所以Sm(8分)(3) 依题意an2n，f(1)A，f
8、(2)8A，f(5)125A，设b1t，即数列an中，不超过A的项恰有t项，所以2tA2t1，同理2td8A2td1,2t2d125A2t2d1，即故max2t,2td3，Amin2t1,2td2，.由得d4，因为d为正整数，所以d1,2,3.(10分)当d1时，max2t,2td3，max2t，2t，min2t1,2td2，min2t1，2t，不合题意，舍去；当d2时，max2t,2td3，max2t,2t1，2t，min2t1,2td2，min2t1,2t，2t，符合题意(12分)此时2tA2t，b1t，b2t3，b5t6，所以t3b3t6.因为b310，所以4t7，因为t为整数，所以t4，t5，t6或t7.因为f(3)27A，b310，所以21027A211，所以A.(14分)当t4时，24A，所以无解；当t5时，25A，所以无解；当t6时，26A，所以64A；当t7时，27A，所以无解所以26A，又AN*，所以A64或A65.综上d3，A64或65.(16分)【反馈练习】1、设数列各项为正数，且，若，数列的前项和为，则使成立时的最小值为 .【答案】：6【解析】，则.不等式即为，所以，于是成立时的最小值为6.12分2、在数列中，设， 设，且数列的前项和，若，则使恒成立的的取值范围
