01电磁力

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1、 1 麻省理工学院 电气工程和计算机科学系 6.685 电机 课程讲义1：电磁力 2005年9月5日 James L. Kirtley Jr. 版权所有，2003 1前言 Bearing 轴承 Stator 定子 Stator conductors 定子线圈 Rotor 转子 Shaft 轴筒 Air gap 空气隙 End winding 末端绕组 Rotor conductors 转子线圈 图1：电机构成 在本节中，讨论了电机中涉及的一些基本过程。在能量转换过程一节中，我们考察了评估电磁力的两种方法：涉及热力学参量（能量转换）的方法，以及场方法（麦克斯韦应力张量）。首先，我们介绍了概念性旋

2、转电机，以此引入议题，这是恰当的。 电机有众多不同类型，其尺寸相差很大，从驱动蜂窝电话和传呼机振动的小型电机（是的，它们是旋转电机），到额定功率达十亿瓦特级别的涡轮发电机。我们所熟悉的大多数电机均是旋转电机，但线性电机的使用范围也十分广泛，从织机中的梭机驱动，到设备处理以及游乐场乘坐装置等。目前正在开发将用于发射航天器的大型感应式线性电机。本文的目的在于，给出理解所有这些不同电机工作方式的分析基础。我们从或许是最常见的电机示意图开始。 2电机描述 2 在图1中，给出了传统感应式电机的示意图。这是很常见的电机类型，作为参考点。大多数其他电机的工作方式与感应式电机的相同，或者在某些方面与感应式电机

3、有所差异，这些差异十分容易辨别。 对于我们将要研究的大多数电机（并非全部），基本上都具有这种结构。电机的转子安装在轴筒上，轴筒位于某类轴承上。在通常情况下（并非总是如此），转子位于内部。下面给出了一个圆形转子，但这并非是必须的。在图中，还给出了转子线圈，但在某些情况下，转子具有固定在其上或位于其内部的永磁体，有些时候（如可变磁阻电机）转子仅是形状奇特的钢体。在本图中，定子位于外部，具有定子线圈。对于大多数将要研究的电机，定子线圈是电枢，或电能输入元件（在直流电机和通用式电机中，情况相反，电枢位于转子上：我们将在后面研究这些情况）。 在大多数电机中，转子和定子由高磁透材料制成：钢或磁铁。在很多常

4、见的电机中，如感应式电机，转子和定子均由薄硅钢片制成。槽冲压在这些钢板中，转子和定子线圈位于其中。 在图2中，给出了感应式电机的部分示意图，该图经过变形处理，从而使得空气隙呈直线（就好像电机具有无限大的半径）。这是绘制电机示意图的便利方法，它有助于得出有用的分析方法。 Stator core 定子芯 Stator conductors in slots 槽中的定子线圈 Air gap 空气隙 Rotor conductors in slots 槽中的转子线圈 图2：槽中的线圈 请注意，电机具有相对较小的空气隙g（也就是说，空气隙尺寸远小于电机半径r）。空气隙的实际长度为1。电机通过在空气隙中产

5、生切变应力工作（具有副作用，如生成“逆电压”）。可以定义平均气隙切变应力，我们将其称为。总转矩为作用在面积上的力乘以力距（转子半径）： 该装置产生的功率为转矩乘以速度，它等于力乘以面速度，由于面速度为ur： 如果记录了有效的转子体积，转矩和体积之比为： 现在来确定可就电机体积进行的事项，它包括两个方面。首先，显而易见，我们在此计算的电机体积并非电机的全部体积，因为未包括定子。根据转子体积来评估电机的总体积实际上相当复杂，我们将在以后讨论该点。其次，我们需要评估有用的平均切变应力值。假定径向流强Br和定子面电流强度Kz为正 3 弦流量波： 请注意，在该假定中，两个量具有完全相同的相位，或产生转矩

6、的理想取向，因而能够获得“最优”边界。表面引力的平均值为： 磁通密度由所使用磁性材料（铁）的特性决定。电流强度受技术因素决定，通常取决于在冷却方面所作的努力，以及绝缘材料的温度限制。实际上，电机技术中切变应力的范围并非很广：从小型电机的数kPa到大型、良好冷却电机的约100 kPa。 通常认为电机是产生转矩的装置，这意味着它们是由该切变应力机制和实际尺寸决定的。由于功率为转矩和转速的乘积，高功率密度电机通常具有高的轴速。当然，也存在对轴速的限制，离心力限制了周缘速度。 为了理解电机的工作原理，首先需理解产生电磁力的机制。 3 能量转换过程 可以使用简单术语描述电机中的能量转换过程。在“稳态”下

7、，输入电机的电能为输入到不同相位端子的电能之和： 机械能为转矩乘以速度： 电能输入 电能机械能转换器 机械能输出 损耗：热，噪音，空气阻力 图3：能量转换过程 总损耗为两者之差： 4 有些时候，简便起见，可考虑下述事实，在大多数电机中，电能和机械能转换的损耗足够小。事实上，在很多情况下，对损耗机制有充分的了解，可对其进行理想化处理。关于力密度的“热力学”参量可充分利用该特性，采用“保守”系统或无损能量转换系统。 3.1 转换为电磁力的能量 磁场系统 图4：保守磁场系 开始前，考虑某种具有两套端子的电磁系统，电子端子和机械端子，如图4所示。如果系统将能量储存在磁场中，所储存的能量取决于系统的状态

8、，系统状态由两个可确定的变量决定（在本例中）：通量（），电流（i）和机械位置（x）。事实上，稍微考虑一下，就能确定该状态是两个变量的单值函数，所储存的能量取决于系统进入该状态的方式。 所有的机电转换器均具有损耗机理，因而它们本身并不是保守的。但是，从原理上讲，产生力的磁场系统是保守的，其状态和储存的能量可由两个变量描述。系统的“历史”并不重要。 可以采用特定方式选择变量，使得进入保守系统的电能为： 与此类似，系统的机械能为： 两者间的差异就是储存于系统的能量的变化律： 随后，可以计算系统从一个状态进入量以状态所需的能量变化： 其中，系统的两个状态由a =（a, xa）和b =（b, xb）描述

9、。 如果使用两个状态变量和x来描述储存于系统中的能量，所储存能量的全微分为： 也即： 5 可在两个导数之间确定直接等效关系，并得出： 与线性运动相反，在旋状情形下，转矩Te取代了力fe，角位移取代了线性位移x。注意，转矩和角度之积的单位与力和唯一之积的单位相同（均具有功的单位，在国际单位制中，为牛顿米或焦耳）。 在很多情况下，可以将某一系统考虑为电气线性系统，在该情形下，电感仅是机械位置x的函数。 在该情形下，假定从0开始进行能量积分（使得对x的部分积分为0）。 这将得出： 注意，它从数值上等效于： 仅对线性系统，该公式才成立。注意，在导数中过早替换L(x）i会导出错误结果：对于线性系统的情形

10、，会导致错误符号，对于非线性系统，则是完全错误的。 3.1.1 示例：简单螺线管 以图5所示的磁执行机构为例。执行机构包括由铁磁性材料制成的圆杆（极高的透磁性），它能在固定件内沿轴向运动（x方向），固定件也是由高透磁性材料制成。N匝绕组承载电流I。圆杆的半径为R，与定子平直端的间隙为x（可变的）。在另一端，圆杆和定子的径向间隙为g。假定gR，如果径向间隙的轴向长度为，径向间隙的面积等于圆杆和处于可变间隙位置的定子之间的间隙面积。 R/2 图5：螺线管执行机构 可变宽度间隙的磁导为： 6 如果气隙尺寸相对于半径很小，径向气隙的磁导为： 绕组系统的电感为： 磁能等于： 当然，原点电力为： 据此，可

11、容易地导出： 力为： 假定系统是由电流激励的，我们在该处替代磁通： 总电力为： 力为“负值”，倾向于减小x，或缩短气隙。 3.1.2 多激励系统 或许有一个以上的电激励源（一个以上线圈，在大多数电机应用中，会出现该情况）。在这类系统中， 7 能量守恒表达式为： 该式表明，对磁场能储存的电能输入为各线圈的输入之和（在本例中，对项k求和）。为了获得存储在系统中的总能量，需要对所有线圈求和（或许会产生互感，而且通常会如此）。 显然，如果系统是保守系统，Wm（1, 2,. . . , x）将被唯一确定，积分路径不影响所的能量的值。 3.1.3 共同能量 我们通常会使用电感而不是其倒数来描述系统，因而电

12、流而不是通量为相关变量。采用下述方法，可方便地导出新的能量变量，称之为共同能量： 在该情况下，可方便地将能量微分表示为（对于单一机械变量）： 因而所得力为： 0 3.2 示例：同步电机 图6：同步电机示意图 以图6所示的简单电机为例，转子上有一个绕组（称之为励磁线圈和多相电枢，有3个等同线圈，沿圆周等间距排列）。我们可将磁通匝连数描述如下： 8 假定磁通匝连数为转子位置的正弦函数。这是因为，当其转动时，很多电机能以最佳方式工作（根据众多判据，如转矩产生的平稳性等）。 如果情况如此，而且随着技术的发展可以使得磁通匝连数十分接近正弦。在后续章节中，介绍了一些这类技术。但在目前，我们将简单地假定这类

13、相关性。此外，我们还假定转子为磁意义上的“圆形”，这意味着，定子自感和定子相间互感不是转子位置的函数。注意，如果相绕组是等同的（除了角位置），它们将具有等同的自感。如果有三个间隔均匀的绕组，相间互感将相同。 现在，可以简单地用共同能量概念描述该系统。对于多激励，重要的是，在执行共同能量积分时需小心（确保在多维空间中沿有效路径积分）。在本研究情形下，实际上有5个维度，但只有4个维度是重要的，这是因为，我们可以用位于“0”处所有电流定位转子，因而转子位置设定不影响共同能量。假定转子位于角度，四个电流值为ia0、ib0、ic0和if0。下面给出了众多正确路径积分中的一种： 结果为： 由于处于转子位置

14、的定子电感无差异，可将转矩简单地表述为： 3.2.1 电流驱动同步电机 现在，假定可使用电流导出： 9 假定转子以同步速度旋转： 请注意，可将上述转矩表达式变为： 将左侧的正弦函数加起来，略去右侧的正弦函数，可得出： 这的确是考察同步电机的一种方式，如果转子速度和电流的频率相符，会产生稳定转矩。转矩与电流转矩角i有关。转动时，这类电机通常不会遇到电流源，我们将在后面讨论这类电机的实际操作。 4场描述：均匀介质 使用集总参数方法和前述章节描述的虚功原理，能够基本理解机电装置的工作方式，对于电机中的很多现象，则需要更为详细的认识，使用连续方法可实现该目的。在本章中，使用坡印亭定理，讨论了一种基于场

15、的能流方法，然后，使用麦克斯韦应力张量讨论了基于场的力描述。进一步分析电机内发生的事件时，这类技术很有用。 4.1 能流场描述：坡印亭定理 从法拉第定律开始： 并考虑安培定律： 10将第一项乘以H，将第二项乘以E，取其差： 该表达式左侧为电磁能流的散度： 其中，S是著名的坡印亭流，它描述了电磁场系统中的能量（在国际单位制中，该量的单位是瓦米平方）。右侧有两项：是磁存储能的变化速度。第2项与功率耗散十分类似。我们将详细讨论这两项。但在目前，采用向量的散度定理进行计算，可得： 也就是说，坡印亭能流散度的体积积分与在相关体积的面上的坡印亭能流积分相同。积分变为： 这样，进入空间区域的总能量等于：空间

16、区域内存储能量变化率的体积积分，加上类似于损耗的项。结束之前，请注意，如果在系统内存在任何材料运动，可以使用关于电场变换的经验表达式（观察者相对于彼此运动）。在此，“主”坐标系以速度v相对于“非主”坐标系运动： 该变换描述了带电粒子的运动（例如），如在电场和磁场作用下的电子。现在，假定在正在观察系统中存在材料运动，如果将v指定为材料的速度，在不存在材料运动的坐标系内测量（材料本身的坐标系），电场和电流强度之积为： 在最后一步中，我们采用了纯量三重积，标量（点乘）和矢量（叉乘）的顺序可交换，更改叉乘项中的顺序将改变乘积的符号。现在，对获得的计算结果解释如下： 如果“主”坐标系实际上是材料运动的坐标系： 这即是损耗，如果材料电导率为正，损耗也为正。 后一项显然是电磁能到机械能的能量转换： 11其中，力密度为： 这是洛伦兹力定律，它描述了电流与磁场相互作用从而产生力的规律。但是，它并不是在机电系统中产生的全部力。正如我