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1、走进、走近、走尽高考 -严谨、规范、规避(高考数学三轮复习)专题四:函数的概念与性质一、 考点要求:1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,了解映射的概念.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单应用(函数分段不超过三段)4.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.会用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.5.理解函数的单调性及其几何意义.会用基本函数的图象分析函数的性质.6. 了解函数的周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性7.了解与掌握基本初等函数的性质,并能根据相关的要求解决与初等函数有
2、关的问题.二、考题预测:命题是以函数的概念为主,以基本初等函数为载体,考查函数的表示法、定义域;分段函数以及函数建模是高考热点,题型以选择、填空题为主,中等难度.考查函数的单调性与应用;强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查,题型既有选择、填空题,又有解答题. 以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主,常与函数的单调性、周期性交汇命题,题型以选择、填空题为主,中等难度.二次函数的图象与性质常与方程、不等式等知识交汇命题,着重考查函数与方程、转化与化归及数形结合思想,题型一般为选择、填空题,中档难度.幂函数的图象与性质的简单应用,以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性,以复
3、合函数的形式考查对数函数的图象与性质,题型选择题、解答题均有,解答题的难度为中高档.利用函数图象研究函数性质;数形结合求解函数零点、不等式等,题型以选择题为主,中档难度.三、 注意事项:1.函数的概念部分考查时,要关注函数的三要素之间的关系,在复习时要注意函数的概念的准确性:例如:(1)下列图形中可以表示以Mx|0x1为定义域,Ny|0y1为值域的函数的图象是()【解析】A选项中的值域不满足,B选项中的定义域不满足,D选项不是函数的图象,由函数的定义可知选项C正确【答案】C(2)下列五组函数中,表示同一函数的是_(填序号)f(x)x1与g(x);f(x)lg x2与g(x)2lg x;f(x)
4、x2,xR与g(x)x2,xZ;f(u)与f(v);yf(x)与yf(x1)【解析】是同一函数的要求要满足函数的三要素,有相同的定义域、值域与对应法则.中的两函数的定义域不同;中的对应法则不同;中的定义域、对应法则及值域都相同.【答案】(3)已知Ax|xn2,nN,给出下列关系式:f(x)x;f(x)x2;f(x)x3;f(x)x4;f(x)x21,其中能够表示函数f:AA的是_【解析】对于,当x1时,x21A,故错误,由函数定义可知均正确【答案】【温馨提示】 (1)函数的定义要求第一个数集A中的任何一个元素在第二个数集B中有且只有一个元素与之对应,即可以“多对一”,不能“一对多”,而B中有可
5、能存在与A中元素不对应的元素(2)构成函数的三要素中,定义域和对应关系相同,则值域一定相同2.函数解析式是表示函数形式的数学表达式,是研究变量间关系的严谨形式,因此对函数解析式的求解方面对考生的要求要全面、严谨.常用的求法有以下几种:(1)待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法(2)换元法:已知复合函数f(g(x)的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围(3)配凑法:由已知条件f(g(x)F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式(4)消去法:已知f(x)与f或f(x)之间的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过
6、解方程组求出f(x)例如:(1)已知f(x)是二次函数且f(0)2,f(x1)f(x)x1,则f(x)_.【解析】设f(x)ax2bxc(a0),由f(0)2,得c2,f(x1)f(x)a(x1)2b(x1)2ax2bx2x1,即2axabx1,即f(x)x2x2. 【答案】x2x2(2)已知f(x)满足2f(x)f3x1,求f(x)【解析】已知2f(x)f3x1,以代替中的x(x0),得2ff(x)1,2,得3f(x)6x1,故f(x)2x(x0)(3)已知fx25x,则f(x)_【解析】令t,则x(t0),即f(t),f(x)(x0)【答案】(x0)3.高考常考定义域易失分点:(1)若f(
7、x)的定义域为m,n,则在fg(x)中,mg(x)n,从中解得x的范围即为fg(x)的定义域;(2)若fg(x)的定义域为m,n,则由mxn确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域.例如:(1)已知函数f(x1)的定义域为(2,0),则f(2x1)的定义域为()A.(1,0) B. C.(0,1) D.【解析】函数f(x1)的定义域为(2,0),即2x0,1x11,则f(x)的定义域为(1,1),由12x11,得0x0,得f(x)的定义域为x|x4或x0,则|log2x|,解得x或x.故所求x的集合为.【答案】6.高考常考函数四个性质的应用:1)奇偶性,具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上,
8、其图象、函数值、解析式和单调性联系密切,研究问题时可以转化到部分(一般取一半)区间上,注意偶函数常用结论f(x)f(|x|);例如:(1)设奇函数f(x)的定义域为5,5,若当x0,5时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)0的解集为_【解析】由图象可知,当0x0;当2x5时,f(x)0,又f(x)是奇函数,当2x0时,f(x)0,当5x0.综上,f(x)0的解集为(2,0)(2,5【答案】(2,0)(2,5(2)函数f(x)是_函数(填“奇”“偶”“非奇非偶”)【解析】由得1x0或0x1,即f(x)的定义域为(1,0)(0,1),f(x),f(x)f(x),f(x)为奇函数【答案】奇(3
9、)若函数f(x)在区间4,4上的最大值、最小值分别为p,q,则pq的值为_【解析】f(x)3,x4,4,令h(x),则h(x)为奇函数,h(x)maxh(x)min0,f(x)maxf(x)min6,即pq6. 【答案】6(4)已知函数f(x)的定义域为R,当x2,2时,f(x)单调递减,且函数yf(x2)为偶函数,则下列结论正确的是()Af()f(3)f() Bf()f()f(3) Cf()f(3)f() Df()f()f(3)【解析】yf(x2)为偶函数,f(x2)f(x2),f(3)f(1),f()f(4)041f(1)f(),f()f(3)0)在(,1)上的单调性【解析】方法一x1,x2(,1),且x1x2,f(x)aa,f(x1)f(x2)aa,由于x1x20,x110,x210时,f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以函数f(x)在(,1)上单调递减方法二f(x),因为(x1)20,a0,所以f(x)0时,f(x)在(,1)上是减函数(2)函数f(x)|x2|x的单调递减区间是_【解析】f(x)画出f(x)的大致图象(如图所示),由图知f(x)的单调递减区间是1,2【答案】1,2(3)函数f(x) 的单调增区间为_【解析】由6x2x10得,f(x)的定义域为.由复合函数单调性知f