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1、线性代数判断题 线性代数课程组 2015年 4 月最终版 判断题 正确的请在括号里打 错误请打 1 以数 k 乘行列式 D 等于用数 k 乘行列式的某一行 或某一列 2 行列式 0 11 11 a a 的充要条件是 a 2 且 a 0 3 3 阶行列式 843 576 321 的值等于行列式 853 472 361 的值 4 交换行列式的两列 行列式的值变号 5 行列式 321 332211 321 321 321 321 333 ccc ababab aaa ccc bbb aaa D成立 6 行列式 22 11 22 11 2222 1111 db db ca ca dcba dcba D
2、成立 7 行列式 254 342 321 2 4108 684 642 D成立 8 n 阶行列式中元素 ij a的余子式 ij M与代数余子式 ij A的关系是 ijij MA 9 主对角线右上方的元素全为0 的 n 阶行列式称为上三角形行列式 10 行列式 2547 9623 8751 5642 2547 9623 5642 8751 D成立 11 设 D 是行列式 k是不为零的实数 则kD 等于用 k 去乘以行列式的某一行 得到的行列式 12 如果行列式 D 有两行元素对应相等 则0D 13 设 D 是 n 阶行列式 ij A是 D 中元素 ij a的代数余子式 如果将 D 按照第 n 列
3、 展开 则 nnnnnnnn AaAaAaD 2211 14 行列式 4444 5432 251694 5432 1111 D是范德蒙行列式 15 克拉默法则可用于解任意的线性方程组 16 齐次线性方程组一定有零解 可能没有非零解 17 由 n 个方程构成的 n 元齐次线性方程组 当其系数行列式等于0 时 该齐次 线性方程组有非零解 18 行列式 1694 432 111 中第三行第二列元素的代数余子式的值为 2 19 设行列式3 333231 232221 131211 aaa aaa aaa D 则6 25 25 25 33323131 23222121 13121111 1 aaaa a
4、aaa aaaa D 20 设行列式1 22 11 ba ba 2 22 11 ca ca 则3 222 111 cba cba 21 如果行列式 D有两列元素对应成比例 则0D 22 设 D 是 n 阶行列式 则 D 的第 2 行元素与第三行元素对应的代数余子式之 积的和为 0 即0 3232223121nnA aAaAa 23 任何阶数的行列式都可以用对角线法则计算其值 24 任意一个矩阵都有主次对角线 25 两个零矩阵必相等 26 两个单位矩阵必相等 27 3 阶数量矩阵 100 010 001 00 00 00 a a a a 28 若矩阵 A 0 且满足 AB AC 则必有 B C
5、29 若矩阵 A 满足 T AA 则称 A 为对称矩阵 30 若矩阵 A B 满足 AB BA 则对任意的正整数n 一定有 AB n AnBn 31 因为矩阵的乘法不满足交换律 所以对于两个同阶方阵A 与 B AB 的行列 式 AB与 BA 的行列式 BA也不相等 32 设 A 为 n 阶方阵 A 2 则 A 1 n2 33 设 A B都是三阶方阵 则BABA 34 同阶可逆矩阵 A 与 B的乘积 AB也可逆 且 111 BAAB 35 若 A B都可逆 则 A B也可逆 36 若 AB不可逆 则 A B 都不可逆 37 若 A 满足 A 2 3A E 0 则 A 可逆 38 方阵 A 可逆的
6、充分必要条件是A 为非奇异矩阵 39 只有可逆矩阵 才存在伴随矩阵 40 设 A B C E均为 n 阶矩阵 若 ABC E 可得 BCA E 41 如果 A2 6A E 则 1 A A 6E 42 设 A 25 31 则 A 15 32 43 设 A 是 n 阶方阵 且1A 则 11 5 5 nT A 44 分块矩阵的转置方式与普通矩阵的转置方式是一样的 45 由单位矩阵 E经过任意次的初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 46 矩阵的等价就是指两个矩阵相等 47 设 A 是 3 阶矩阵 交换矩阵A 的 1 2 两行相当于在矩阵 A 的左侧乘以一个 3 阶的初等矩阵 100 001 010 12
7、E 48 对 n 阶矩阵 A 施以初等行变换与施以相同次数的初等列变换得到的矩阵是 相等的 49 设 A 是 4 5 矩阵 Ar 3 则 A 中的所有 3 阶子式都不为 0 50 对矩阵 A 施以一次初等行变换得到矩阵B 则有 BrAr 51 若 6 阶矩阵 A 中所有的 4 阶子式都为 0 则4 0Ar 52 满秩矩阵一定是可逆矩阵 53 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩 54 等价的矩阵有相同的秩 55 n 阶矩阵就是 n 阶行列式 56 用矩阵A 左乘以矩阵B 等于用矩阵A 与矩阵 B 中对应位置的元素相乘 57 设 A 为三阶方阵且2A 则AA T 3108 58 方阵 A可逆的充分必要条
8、件是A可以表示为若干个初等矩阵的乘积 59 方阵 A 可逆的充分必要条件是A 与同阶的单位矩阵等价 60 方阵 A 可逆的充分必要条件是A 为满秩矩阵 61 若 A 0 则 A 0 62 矩阵的秩是指矩阵的最高阶非零子式的阶数 63 设 A B 都是 n 阶可逆矩阵 O 为 n 阶零矩阵 C 为 2n 阶分块对角矩阵即 BO OA C 则 C的逆矩阵为 OB AO C 1 1 64 向量组中的任意一个向量都可由这个向量组本身线性表出 65 零向量可由任意向量组线性表出 66 若 4321 线 性 无 关 则 4 21 n n 线 性 相 关 67 两个 n 维向量线性相关的充要条件是两个n 维
9、向量的各个分量对应成比例 68 若02211nn kkk 则 n 21 线性相关 69 若 对 任 意 一 组 不 全 为0的 数 n kkk 21 都 有 0 2211nn kkk 则 n 21 线性无关 70 若向量组 A m 21 线性相关 且可由向量组B s 21 线性表 出 则sm 71 等价的向量组所含向量个数相同 72 任意一个向量组都存在极大无关组 73 设向量组 imii 21 是向量组 n 21 的一个子组 若 imii 21 线 性无关 且向量组 n 21中存在一个向量可写成其子组imii 21的线 性组合 则称子组 imii 21 是该向量组 n 21 的一个极大无关子
10、组 74 向量组的极大无关子组可以不唯一 75 向量组的任意两个极大无关组等价 76 向量组中向量的个数称为向量组的秩 77 向量组线性无关的充要条件是该向量组的秩等于向量组所含向量的个数 78 设向量组n 21 的秩为 r nr 则 n 21 中由 r 1 个 向量组成的部分组线性相关 79 设 A 为 n 阶方阵 r A r n 则在 A 的 n 个行向量中必有 r 个行向量线性无 关 80 方阵 A 可逆的充分必要条件是齐次线性方程组0AX只有零解 81 非齐次线性方程组bXA nm 有解的充分必要条件是m n 82 非 齐次 线性 方程组AX b 有解 的 充分必 要 条件 是 ArA
11、r 其中 bAA 83 n 元非齐次线性方程组AX b有唯一解的充分必要条件是nArAr 其中 bAA 84 n元 非 齐 次 线 性 方 程 组AX b 有 无 穷 多 解 的 充 分 必 要 条 件 是 nArAr 其中 bAA 85 n 元齐次线性方程组AX 0有非零解的充分必要条件是nAr 86 n元齐次线性方程组0AX有非零解的充分必要条件是矩阵A 的列向量组 线性相关 87 齐次线性方程组没有无解的情况 88 n元非齐次线性方程组bAX有解的充分必要条件是向量b能由矩阵 A的列 向量组线性表示 89 r XXX 21 要构成齐次线性方程组AX 0的基础解系 必须满足如下 两个条件
12、rXXX 21 线性无关 该方程组的任意一个解均可由 r XXX 21 线性表示 90 基础解系中解向量的个数等于系数矩阵的秩 91 n 元齐次线性方程组AX 0中系数矩阵的秩 r A r 则基础解系中解向量的个 数等于 n r 92 非齐次线性方程组的通解可由非齐次线性方程组的一个特解加对应齐次线性 方程组的基础解系的线性组合 93 设 1 X与 2 X是 n 元齐次线性方程组AX 0的两个解 则 21 XX是 AX b的 一个特解 94 设 1 X与 2 X是 n 元非齐次线性方程组AX b的两个特解 则 21 XX是 AX 0 的一个特解 95 若 r XXX 21 是 非 齐 次 线
13、性 方 程 组AX b 的 解 向 量 则 rrX kXkXk 2211 也是 AX b的解 96 含有零向量的向量组一定线性相关 97 若n 21线性相关 则对任意不全为0 的数nkkk 21 都有 0 2211nn kkk 98 若向量组 A 中的某一个向量可由向量组B 线性表出 且向量组B 中也有一 个向量可由向量组A 线性表出 则称向量组A 与向量组 B 等价 99 设向量组 imii 21 是向量组 n 21 的一个子组 若 imii 21 线 性无关 且向量组 n 21 中任意 m 1 个向量 只要存在 都线性相关 则称 子组 imii 21 是该向量组 n 21 的一个极大无关子
14、组 100 等价的向量组秩相同 101 矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩 102 n 元齐次线性方程组AX 0 当nAr 时 该方程组只有零解 103 如果一个齐次线性方程组的方程个数少于未知量的个数 则该方程组有非 零解 104 基础解系中的解向量有可能不线性无关 105 只有方阵才能计算特征值和特征向量 106 二重特征值一定会有两个线性无关的特征向量 107 n 阶矩阵 A 和它的转置矩阵的特征值可能不同 108 方阵 A 的特征值的乘积等于A 的行列式值 109 n 阶矩阵 A 可逆的充要条件是A 的每一个特征值都不等于0 110 对任意的方阵而言 一个特征向量可以属于不同的特征值 11
15、1 3 阶可逆矩阵 A 的一个特征值为 2 则矩阵 2 2AAEB的一个特征值为 9 112 对角矩阵的特征值就是主对角线上的元素 113 已知 3 阶方阵 A 的特征值为 2 1 0 则 A 的主对角线上的元素之和为1 114 若 A 与 B 相似 则 r A r B 但是 A 不一定等于 B 115 若 A B为 n 阶矩阵 P是正交矩阵 如果BAPP 1 则 A 与 B相似 116 3 阶方阵 A 与对角矩阵 200 030 001 D相似 则 1 3 2 是 A 的三个特征 值 117 矩阵 000 341 321 A与 000 642 321 B不相似 118 n阶矩阵A 可对角化的
16、充分必要条件是A 有n个线性无关的特征向量 119 4 阶方阵 A 的特征值分别是 1 4 7 2 则方阵 A 一定可以对角化 120 3 阶方阵 A 的特征值分别是3 二重 7 则方阵 A 一定不可以对角化 121 正交矩阵 Q的 n 个列向量都是两两正交的单位向量 122 若0 T 则与线性无关 123 正交矩阵一定是可逆矩阵 124 设 Q是 n 阶矩阵 若EQQ T 则 Q 是正交矩阵 125 三维向量 321 线性无关 经过正交化和单位化以后的向量 321 可以构成 3 阶的正交矩阵 126 正交矩阵的行列式值一定等于1 127 实对称矩阵一定可以对角化 128 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交向量 129 实对称矩阵的特征值都是实数 130 特征值可能为0 特征向量一定是非零 131 方阵 A 的特征值之和等于 A 的行列式 132 若 A 与 B 相似 则 A 与 B有相同的特征多项式 但是A 与 B 的特征值不一 定相同 133 如果 4 阶方阵 A 与 4E相似 则 A 的特征值为 1 134 4 阶方阵 A 的特征值分别是 1 4 7 2 则方阵 A 的对
