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1、函数的性质 对称性 周期性 1 1 若关于直线对称 一 函数的对称性 若函数上任意一点关于某直线 或某点 的对称点仍在上 就称关于某直线 或某点 对称 这种对称性称为自对称 2 若关于点对称 两个恒等式的形式均不唯一 要记住本质构造 2 定理 若函数满足 那么函数以为对称轴 cor 若函数满足 那么函数以为对称轴 即 3 定理 若函数满足 那么函数关于点对称 cor 若函数满足 那么函数关于点对称 即 4 2 若 则函数关于 对称 注 1 当时 函数关于直线对称 2 当时 函数关于点对称 偶函数 特殊的轴对称函数 奇函数 特殊的点对称函数 一般地 1 若 则函数关于对称 5 f x f x f
2、 x f x f x f 1 x f x f 2m x f x 2n f 2m x Ex 若函数 12 6 关于x 0对称 例1 已知的图象 画出和的图象 并指出两者的关系 若函数上任意一点关于某直线 或某点 的对称点在上 就称和关于某直线 或某点 对称 这种对称性称为互对称 7 一般地 函数和关于 对称 记忆 令x a x b 可求得对称轴 y f x y f x y f x y f 1 x y f 1 x y f 2m x y 2n f x y 2n f 2m x 8 例3 设的图象与的图象关于直线对称 求的解析式 例2 将函数右移2个单位得到图像C1 有C1和C2的图像关于点对称 求C2
3、的函数解析式 利用对称性求解析式 一 互对称问题常用轨迹代入法求解析式 9 例4 设图象关于直线对称 在上 求当时的解析式 例5 设是定义在R上的偶函数 它的图象关于直线对称 已知时 函数求当时的解析式 二 自对称问题常联系恒等式进行x的变换 10 关于直线对称 关于直线对称 关于对称 关于点对称 常见函数的对称性 一个函数本身的对称性称为自对称 分成关于某直线对称或某点对称 原点 11 二 函数的周期性 理解 1 是否所有周期函数都有最小正周期 1 定义 对于函数 若存在非零常数T 使得恒成立 则称为周期函数 T是函数的一个周期 若所有周期中存在一个最小正数 则称它是函数的最小正周期 2 若
4、T是的一个周期 则kT k是非零整数 均是的周期吗 3 周期函数的定义域D可以为闭区间吗 T a b 思考 若 函数具有什么性质 12 13 注 除了定义式是充要条件外 其余均为充分非必要条件 2 常见的判断周期的恒等式 可用递推法证明 14 3 函数的对称性与周期性的几个常见性质 性质1 若函数以为对称轴 那么此函数是周期函数 周期T X a X b 15 性质2 若函数以为对称点 那么此函数是周期函数 周期T 假定 a 0 b 0 16 性质3 若函数以为对称点 以为对称轴 那么此函数是周期函数 周期T 假定 X b a 0 X Y O 17 18 19 20 21 22 23 24 25
5、 26 练习1 定义在R上的函数满足且方程有1001个根 则这1001个根的和 4 如果那么 3 如果那么 2 函数图象关于点对称 则 27 5 1 定义在R上偶函数满足则方程在区间上至少有 个根 2 将上题中的 偶函数 改成 奇函数 其余条件不变 则在区间至少有 个根 重要结论 若奇 且周期为T 则必有 注 可用模拟图 直观明了 28 思考 若周期为 又关于对称 能否推出是偶函数 若能 能否严格证明 练习 1 若为定义在R上的奇函数 且关于直线对称 问 是否为周期函数 若是 求出它的一个周期 2 若为定义在R上偶函数且满足问 是否关于直线对称 若是 请给出证明 3 设奇函数 且当则 29 30 5 设是定义在R上的偶函数 它的图象关于直线对称 已知时 函数求当时的解析式 6 函数是定义在R上的偶函数 且对任意的实数x 都有成立 若当时 1 求时 函数的表达式 2 求当函数的表达式 3 若函数的最大值为解关于x不等式 31 32
