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1、有限元法基础与ANSYS简介 通过介绍有限元法的基本概念 理论 方法与软件 使学生能够掌握使用其求解力学问题的特点 解题过程 熟悉一种有限元软件 初步具备使用有限元方法解决工程设计中实际问题的分析能力 本课程讲授目的 提纲 1绪论2有限元法的基本概念与求解方法3有限元法常用单元介绍4ANSYS软件介绍与基本使用方法问题与讨论附录A 弹性力学中的基本概念与方法附录B 平面问题的基本理论 1 1有限元法的一般概念1 2有限元法的发展简介1 3有限元法与其他课程之间的关系 绪论 有限元法是求解数理方程的一种数值计算方法 是解决工程实际问题的一种有力的数值计算工具 最初这种方法被用来研究复杂的飞机结构
2、中的应力 是将弹性理论 计算数学和计算机软件有机的结合在一起的一种数值分析技术 由于这一方法的灵活 快速和有效性 使其迅速发展成为求解各领域的数理方程的一种通用的近似计算方法 目前已在许多学科领域和工程问题中得到广泛的应用 常用数值分析方法 差分法 有限元法 边界元法 有限元法的一般概念 有限元法的一般概念 将一个连续的求解域 连续体 离散化即分割成彼此用节点 离散点 互相联系的有限个单元 在单元体内假设近似解的模式 用有限个结点上的未知参数表征单元的特性 然后用适当的方法 将各个单元的关系式组合成包含这些未知参数的代数方程 得出个结点的未知参数 再利用插值函数求出近似解 是一种有限的单元离散
3、某连续体然后进行求解得一种数值计算的近似方法 由于单元可以被分割各种形状和大小不同的尺寸 所以它能很好的适应复杂的几何形状 复杂的材料特性和复杂的边界条件 再加上它有成熟的大型软件系统支持 使它已成为一种非常受欢迎的 应用极广的数值计算方法 有限元法的一般概念 单元 分割连续体的小区域 有线 面或实体等种类 节点 连接单元的空间点 由空间坐标确定 具有一定自由度 自由度 用于描述一个物理场 位移 的响应特性的参量 有限元法的一般概念 J 有限元法的一般概念 节点编号节点编号分为局部节点编号和总体节点编号两种 如下图中的矩形 分为 个节点 个单元 其中 为总体节点编号 而对于任一单元 中 为局部
4、节点编号 在公式推导中使用i j m编号 单元编号按从小到大顺序依次排列 有限元法的发展简介 50年代 发展与萌生 单一功能程序 简单单元 60年代 数学基础与证明 单一功能程序 多种单元 70年代 单元库丰富 线性到非线性通用程序 如SAP NONSAP等 80年代 多种功能扩大 大型通用程序如ADINA等 90年代 领域扩大 前后处理功能增强 大型商用软件 如ANSYS MARC NASTRAN等 目前 面向工程 与CAD结合成为CAE 计算机辅助工程 软件 说明 有限元法的发展与计算机学科的发展紧密相关 有限元法的发展简介 现有有限元软件的计算功能与应用可求解结构位移场 温度场 电磁场
5、流场 耦合场等多种问题 有限元法的发展简介 现有有限元软件的计算功能与应用可求解结构位移场 温度场 电磁场 流场 耦合场等多种问题 有限元法与其他课程的关系 有限元法与其他课程的关系 材料力学 研究杆状构件在拉压 剪切 弯曲 扭转作用下的应力和位移 其中引入了构件形变状态或应力分布的假设 结构力学 在材料力学基础上研究杆状构件所组成的结构 杆件系统 例如行架等的应力与位移 弹性力学 针对非杆状结构 如板和水坝等实体结构 以及对杆状构件作进一步较精确的分析 以微元体为研究对象 通过建立应力 形变与位移间的关系进行求解 计算力学 是结构力学 弹性力学 计算数学 计算机学的结合 提供近似的数值计算方
6、法解决问题 有限元法是其中的一种方法 上述各种方法最终目标是确立研究对象的应力 形变和位移 用以校核其是否有所需要的强度和刚度 有限元法的基本概念与求解方法 2 1结构离散化与刚度矩阵2 2位移函数与形函数2 3单元刚度方程2 4载荷移置与等效节点载荷2 5结构刚度方程2 6位移边界条件的处理2 7应力计算2 8有限元法的普遍公式2 9有限元方程组的解法 结构离散化与刚度矩阵 结构离散化 1 网格划分将结构划分为有限个单元 2 载荷移置将作用在结构上的非节点载荷等效地移置为节点载荷 3 简化约束把结构边界上的约束 用适当的节点约束代替 结构离散化与刚度矩阵 有限元网格划分原则 有限元中单元的网
7、格剖分原则 各节点必须相连 如图所示中 a 是正确的 而 b 是错误的 结构离散化与刚度矩阵 有限元网格划分原则 结构离散化与刚度矩阵 有限元网格划分原则 单元不能奇异 也就是单元中的边长不能相差太大 或者有过大的钝角或过小的锐角 如图示 结构离散化与刚度矩阵 有限元网格划分原则 单元的大小 数目取决于计算精度要求和计算容量限制分网时首先满足计算精度的要求 同时可利用结构的对称性 循环对称性的特点 从厚结构中取出一部分进行分析 或者对有应力集中的构件 采用疏密不同的网格剖分 也可以采用子结构法 同一单元内的结构 几何特性与材料特性相同 也就是不要把厚度不同或材料不同的区域划分在同一个单元里 结
8、构离散化与刚度矩阵 网格划分示例 结构离散化与刚度矩阵 结构离散化与刚度矩阵 刚度矩阵描述单元特性的矩阵 表示了单元抵抗变形的能力 它由刚度系数组成 由单元节点的个数和自由数决定规模 如图平面三角形三节点单元中 有3个节点 每个节点有2个自由度 故刚阵中的元素个数为36个 刚度系数Kij相当于一维弹簧的刚度K的含义 即产生单位位移时需要的作用力的大小 结构离散化与刚度矩阵 位移函数 结构离散化后 要对单元进行力学特性分析 也就是确定单元节点力与节点位移之间的关系 这时就需要把单元内的任一点的位移分量表示成坐标的某种函数 这种函数就叫位移函数 位移函数与形函数 位移函数的一般介绍 定义 把单元中
9、任一点的位移分量与坐标的函数关系叫位移函数或叫位移模式 选择位移函数的原因 决定了单元的力学特性 意义 反映了单元的位移形态 物理意义 它是利用位移法求解问题的开始 基础 位移函数必须具备的条件 在节点上的值应等于节点的位移 所采用的函数必须保证有限元的解收敛于真实解 位移函数与形函数 位移函数的一般形式 位移函数一般为多项式形式 这样处理是从两方面出发的 进行数学运算 如微分 积分 较简单 任意阶次的多项式可以近似地表示精确解 其一般形式为 u u x y 1 2x 3y 4x2 5xy 6y2 mynv v x y m 1 m 2x 2myn 式中 其中 1 m为待定系数 式中的 也称为广
10、义坐标 这种描述方式又称为广义坐标形式 一维形式多项式u x 1 2x x2 n xn 位移函数与形函数 位移函数的一般形式 式也可以参照帕斯卡三角形来确定 位移函数与形函数 三节点三角形单元的位移函数 位移函数形式就是最简单的情况而言 可以选取位移为坐标的线性函数形式 也就是 u x y 1 2x 3yv x y 4 5x 6y 对于图中的三角形单元 为了确定 式中的待定系数 1 6 可以将节点i j m的位移值及坐标值代入上式 得到方程组 ui 1 2xi 3yivi 4 5xi 6yi i i j m 式中ui vi 节点位移xi yi 节点坐标 位移函数与形函数 三节点三角形单元的位移
11、函数 这是一个一阶线性方程组 可使用克来姆法则求解 位移函数与形函数 三节点三角形单元的位移函数 克来姆法则设有一线性方程组 a11x1 a12x2 a1nxn b1a21x1 a22x2 a2nxn b2 an1x1 an2x2 annxn bn a11 ann系数 当其系数行列式不等于零时上述的方程组有唯一解 j n 其中是将 中第j列元素替换为右端项而得到的行列式 位移函数与形函数 三节点三角形单元的位移函数 待定系数 1 的求解如果用节点位移 ui vi uj vj um vm 及节点坐标 xi yi xi yi xi yi 代入 2 3 式可以得到 ui 1 2xi 3yiuj 1
12、2xj 3yjum 1 2xm 3ymvi 4 5xi 6yivj 4 5xj 6yjvm 4 5xm 6ym 位移函数与形函数 三节点三角形单元的位移函数 由克来姆法则可知 当2 0 上述方程有唯一解 位移函数与形函数 三节点三角形单元的位移函数 为了描述方便 引入系数ai xjym xmyjbi yj ymci xj xmaj xmyi xiymbj ym yicj xm xiam xiyj xjyjbm yi yjcm xi xj 位移函数与形函数 三节点三角形单元的位移函数 代入上式后可以得到 位移函数与形函数 三节点三角形单元的位移函数 位移函数的插值函数形式假设这样一个函数 i i
13、 j m 代入 式后可得u iui juj mumv ivi jvj mvm式中 i j m被称为单元的形状函数 简称形函数或插值函数 位移函数与形函数 三节点三角形单元的位移函数 把 式写成矩阵形式 简写为 f N e 位移函数与形函数 三节点三角形单元的位移函数 式中的矩阵 反映了单元的位移形态 又是坐标的函数 我们称之为形函数矩阵 这种描述方式称为位移函数的插值函数形式 通过上面的推导 我们得到了两种形式的位移函数 式与 式后一种描述更简单 更直观 通常采用 这样我们就建立了单元中任一点的位移和单元节点位移之间的关系 位移函数与形函数 位移函数及其性质 当节点位移一定时 单元形态完全决定
14、于 i j m这时形函数就具有如下的性质 形函数 i在节点i处的值为 而在其他两个节点 j m 处的值为零 即 i xi yi 1而 i xj yj i xm ym 0同样的 j xi yi 0 j xj yj 1 i xm ym 0 m xi yi 0 m xj yj 0 m xm ym 1 位移函数与形函数 位移函数及其性质 在单元任一节点处 三个形函数之和等于 证明如下 i x y j x y m x y ai bix ciy aj bjx cjy am bmx cmy ai aj am bi bj bm x ci cj cm y 0 0 1此外 形函数与位移函数是同样类型的函数 如 位
15、移函数u 1 2x 3y形函数 i ai bix ciy 位移函数与形函数 位移函数与解的收敛性 选择位移函数时 为保证有限元法的收敛性 必须满足以下 个条件 位移函数必须包含单元的常量应变 位移函数必须包含单元的刚体位移 位移函数在单元内部必须是连续函数 连续性要求 位移函数应使得相邻单元间的位移协调 保续性要求 上述四个条件中 若全部满足 这样的位移函数构成的单元称为协调单元 若只满足前三条 则称为非协调单元 位移函数与形函数 位移函数与解的收敛性 下面我们用以下四个条件来考察三角形常应变单元的位移函数 由 x y xy T 2 6 5 3 T因 2 6 5 3都是常数 与某坐标无关 因此
16、含有常应变项 将位移函数可改写成 位移函数与形函数 位移函数与解的收敛性 当发生刚体位移时 x x xy 0也就是 2 6 5 3 0这时 其中u0 v0为平动位移分量 0为单元绕垂直于x y平面的轴线作刚体转动时的角位移 它表示了刚体位移 位移函数与形函数 位移函数与解的收敛性 位移函数 或是x y的单值连续函数 故满足连续性要求 位移函数 式是线性函数 由于相邻单元在公共节点处的位移值相等 而通过两个节点可以连成一直线 其连线上的位移相同 因此边界上各点的位移是连续的 不会出现 综上所述 三角形常应变单元属于协调元 位移函数与形函数 面积坐标 面积坐标是利用三角形的面积关系表示三角形单元任一点位置的一种方法 优点 简明 方便 位移函数与形函数 面积坐标 对于图中三角形单元任一点P x y 可用下三个比值来确定 Li Lj Lm称为P点的面积坐标 显然面积坐标具有以下性质 性质 Li Lj Lm 1 i j m 性质 平行于三角形jm边的直线上所有点其Li相同 A B变化时 hi 不变 故 i不变 Li不变 位移函数与形函数 面积坐标 性质 Li 1Lj 0Lm 0 i Li 0Lj
