《最优控制理论讲义.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最优控制理论讲义.doc（71页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章 绪论1.1最优控制问题静态最优化问题：输入输出代数方程动态最优化问题：输入输出微分方程确定性最优控制：系统参数确定，无随机输入随机性最优控制：系统参数确定，有随机输入 被控对象 CU(t)X(t)Y(t) 被控对象 CU(t)X(t)Y(t)W(t)V(t) 例：飞船的月球软着陆问题mghxf推力 运动方程 初始条件 约束条件为 求1.2最优控制的数学模型一 控制系统的数学模型(集中参数系统)直接法建立：动力学、运动学的基本定律，即解析法.间接法建立：通过“辩识”的途径确定系统的结构与参数. 其中 , 为n维状态向量,为r维控制向量,为n维函数向量.二 目标集 通过使由到，其中为初始状
2、态，并且通常为已知；为终端状态，即控制所要求达到的目标。一般来说对终端状态的要求可用如下的约束条件表示：.三 容许控制 具有不同的物理属性，一般有，即在控制域内.凡在闭区间上有定义，且控制域内取值的每一个控制函数均称为容许控制。四 性能指标主要取决于问题所要解决的主要矛盾。表达式为： 其中是动态系统起始于，对应于的状态轨线。是此轨线在终端时刻的值。五 最优控制的提法受控系统的状态方程及给定的初态规定的目标集为求一容许控制，使指标函数为最小。如果问题有解，记为，则称为最优控制。相应的曲线叫做最优轨线。而性能指标则称为最优性能指标。1.3 最优控制在实际问题应用的几个方程一 时间最优控制二 线性调
3、节的问题使线性系统的状态保持在平衡位置状态的误差最小，控制能量也最小。该问题为线性二次型问题。三 跟踪问题系统的状态跟踪某一个确定的状态四 最少燃料问题五 终端控制问题1.4最优控制的发展第二章 变分法及其在最优控制的应用2.1变分法的基本概念一 泛函对于某一类函数集合中的每一个函数，均有一个确定的数与之对应，那么就称为依赖于函数的泛函，记作，或简称其中称为泛函的宗量(自变量)。二 容许函数类(空间)满足一定条件的一类函数称为泛函的容许函数类(空间)。例：所有在区间上连续函数的全体是一函数空间，记。所有在区间上连续且一次可微函数的全体是一函数空间，记所有在区间上连续且二次可微函数的全体是一函数
4、空间，记三 泛函的极值最简单的一类函数 对任何一条与接近的曲线上，有则称在曲线上上达到极小值。1 接近定义两个函数具有零阶接近度：两个函数具有一阶接近度：，当为函数空间的一个点时，接近度可用点距来表示：零阶距离 一阶距离 k阶距离 2 泛函的强相对极小对于容许函数的强领域总有，则称泛函在函数上达到强相对极小。3 泛函的弱相对极小对于容许函数的弱领域总有，则称泛函在函数上达到弱相对极小。显然，强相对极小必为弱相对极小，反之不成立。4泛函的变分泛函的连续性：对于任何一个正数，可以找到这样一个当 时，就有那么，则称泛函在点处是连续的。当时，称为阶连续。5 线性泛函连续泛函如果满足以下两个条件：其中是
5、任意常数，则称为线性泛函。6 泛函的变分 若连续泛函的增量可以表示为其中是的线性连续泛函，是关于的高阶无穷小，那么叫做泛函的变分，记为也称为泛函的微分。引理2.1 泛函的变化定理2.1 若可微泛函在上达到极小(大)值，则在上有例 求泛函的变分。在上例中应用了宗量变分的导数等于导数变分的性质，即。2.2欧拉方程变分法上研究泛函极值的一种方法，为古典变分法。拉格朗日问题： 求一容许函数，使泛函取最小值。下面利用泛函达到极值的必要条件：，导出欧拉方程。引理： 设连续函数 对于任一具有下述性质的函数(1) 在上，连续(2) 总有 则对于。定理：若最简单的泛函；在曲线处达到极值，则必为欧拉方程的解。证明
6、 因为泛函在处达到极值，所以有其中而 代入得 由引理可得 还可写成欧拉方程是二阶常微分方程。两个积分常数由两个边界条件确定。例 求泛函 满足边界条件的极值曲线。解 ， 欧拉方程为求得，由边界条件可得。故得极值曲线为。含有多个未知函数的变分问题其中 有相似结论边界条件为。2.3条件极值的变分问题问题： 求泛函 在约束条件求满足边界条件的极值。求解步骤：Step1:作系统 其中向量算子 Step2： 解欧拉方程其中 将欧拉方程与约束方程联合求解，可得和，积分常数由边界条件确定。2.4 在一点处的变分积分中值定理：连续，在上不变号且可积，则有满足下面建立泛涵 在一点处的变分概念如下：设与都属于，且其
7、中这样选取 ： （1） （2）： 非零值 在的零域之内 0 在的零域之外 且保持定号。并设二曲线与之间的小块面积设计的泛函增量由二元函数泰勒中值定理可得： = 令小块向点这样地收缩（1）收缩到，即（2）曲线与的一阶距离或 ，其中随趋于零。称为泛函在点上的变分，称为点导数。多变量情况： 为泛函在点上的变分，其中，是的广义坐标。2.5 哈米顿原理本节利用泛函的变分，推导力学中的一个基本变分原理-哈米顿原理。考虑由n个质点组成的力学系：n个质点的质量分别为，以表示第个质点的坐标。以 表示这个系统的动能，则以表示系统的势能，则在第个质点上，作用力的分量为 再令第个质点上的惯性力的分量为 ： 达朗贝尔原
8、则：如果点所受的作用力增添惯性力，那么沿任何位移合成的微功等于零。若设则有，即记 ，则有 因为只依赖于，所以由于在曲线上任一点，沿着方向上的泛函的微商为：因为，所以泛函的微商为：有，此即哈米顿原理。在实际应用中，如果力场是保守场，则存在位势函数，使：2.5 单元小结变分的理解：(1) (2)第三章 极大值原理古典变分法的问题：1.控制变量u没有约束条件，或只常有开集性的约束条件，而在最优控制问题中，都经常带有闭集性的约束条件，如，此时变分法不适用。2.要求F和f都有足够的可微性，特别是要求存在。这样的性能指标就排除在外了，而实际问题经常存在此情况，为克服上述困难，不少人作了许多努力，较成功的是
9、庞特里雅金的最大值原理。3-1自由末端的极大值原理考虑定常的末值型性能指标、末态自由的控制问题。定理3.1设是一容许控制，指定末值型性能指标泛函为是定常系统，相应于的轨线。为未知的末端时刻。设和是使性能指标最小的最优解，为相应的最优轨线，则必存在非零的n维向量函数，使得:(1) 是方程 满足边界条件(2) 的解。其中，哈密顿函数为 则有(3) ， (4) 当自由时 当固定时说明:1.容许控制条件的放宽 没有要求存在2.H取全局最小值，而t是变分法中的极值3.最优控制使哈密顿函数H取最小值“极小值原理”。证明过程中， 均称“极大值原理”。以下沿用“极大值原理”的习惯叫法，实质上采用的是“极小值原
10、理”。4.定理3.1中的条件(1)、(2)称为协态方程（共轭方程）的横截条件。先根据(3)、(4)作出及，然后求解5.只给出必要条件实际问题的解是否存在，如存在极大值原理的解又只有一个，则可以说，此解就是最优控制。3.2极大值原理的证明假设：(1)函数和都是连续函数；(2)函数和对是连续可微（并不要求对U可微）；(3)对任意、，有一常数a使1.泛函J的增量令固定 (3.2-1)2.的表达式 (3.2-2)令为线性方程 (3.2-3)的状态转移矩阵，则有 (3.2-4)因为=0，故方程(3.2-2)的解为= (3.2-5)当时，有= (3.2-6)式(3.2-6)代入式(3.2-1)=+ (3.2-7)3.对的估计由前式可知 可得出 = +由假设，存在0，0,其中， =可得出 (3.2-8)引理3.1 引理3.2 分段连续，且，若,且，则有 ,由引理3.1 有引理3.2 (3.2-9)下面对进行限定 ut针状变分:l0的某一确定数；
