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1、2011空军工程大学数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 所属学院（请填写完整的全名）： 工程学院 参赛队员
2、(打印并签名) ：1. 王加林 2. 张力 3. 吴锐佳 日期： 2011 年 8 月 18 日评阅编号（由训练部教务处评阅前进行编号）：2011空军工程大学数学建模竞赛编 号 专 用 页评阅编号（由训练部教务处评阅前进行编号）：评阅记录（评阅时使用）：评阅人评分备注中继站的协调摘 要本文利用中继器可以用地理隔离与频段隔离的方法来阻止中继器间的信号干扰，并使用CTCSS技术扩充中继器的容量。本文建立了三个模型，分别讨论了在直径为40英里的区域内，使1000个用户同时通信需要使用的中继器的最少个数；使10000个用户同时通信需要使用的中继器的最少个数；以及在山区进行无线电链路建设的方案。针对问题
3、一，我们假设在平坦地区中继器覆盖区域半径相同，根据某型号中继器的技术参数，利用无线电波传输损耗工程实用公式求得中继器的覆盖半径约为8.7英里。然后，用正六边形近似圆形，建立蜂巢结构模型，计算出完全覆盖这个区域最少需要37个中继器。再用频率隔离的方法，通过对37个中继器的频率进行三色填充分配频段，最终可以使1369个用户同时在线工作，满足题设中1000个在线用户的要求。针对问题二，我们经过认真地分析，对潜在的通信资源进行充分的挖掘，通过改变模型一中蜂窝形状和增加可用频段来扩充小区域的容量，达到满足有10000个同时在线用户需求的目的。我们对每个区域的中继器分布及其天线的朝向、个数问题给出了详细完
4、备的结果，并利用CTCSS系统，为中继站分配PL值增加服务数量。最终我们求得，用188个中继器就可以实现使10044个用户同时工作而不会产生干扰。针对问题三，我们根据地图信息，分析信号在传递过程中的衰减情况：通过寻找绕射山峰，计算出高峰到次高山峰信号的衰减情况；利用反射原理，计算次高山峰到高峰的信号衰减情况。分析比较各个中继站信号发射衰减的情况，利用Dijkstra算法找出信号衰减最弱的传播路径，使这条线路上的中继器尽量把山区的绝大部分覆盖。而未被覆盖到的地方山区边缘，我们可以利用城市的未完全利用的中继站来实现覆盖。这样，我们就能使用数量最少的、信号最好的中继站来满足山区用户的需求。关键词：
5、蜂巢结构模型 三色填充模型 CTCSS系统 Dijkstra算法 一、 问题重述在无线电通信中，我们通常使用中继器放大和还原信号来避免信号在传递过程中的衰减，并且使两个中继器相隔足够远或中继器发送的信号频率足够大来避免干扰。为了提高频率利用效率，通常使用CTCSS系统使两个相邻的中继器使用相同频率工作。已知：在一个半径为40英里的圆形区域，无线电的频率范围是145MHZ到148MHZ，中继器的发射频差为600KHZ，在CTCSS系统中有54条PL专用线路可以使用。问题一：设置最少的中继器使1000个用户在这个区域里同时工作；问题二：设置最少的中继器使10000个用户在这个区域里同时工作；问题三
6、：讨论在视距传播会产生缺陷的山区中建设中继站的情况。二、 模型的假设1）每个中继站的覆盖半径相同；2）可以通过调节中继器的功率改变中继器的覆盖半径；3）用户设备使用越区切换技术，即不考虑相邻中继器辐射重叠区域的信号干扰情况；4）人口服从泊松分布；5）所查询到的相关数据真实可靠。三、 符号说明R：整个服务区域的半径SG: 中继台与对讲机的系统增益r : 每个中继站的服务半径LM: 无线电传输损耗（db）F: 通讯工作频率(MHz)h1: 通讯对象A点天线高度(m)h2: 通讯对象B点天线高度(m)d:A点和B点的通讯距离(km)Pt: 对讲机发射功率PA: 对讲机天线增益RA: 中继台天线增益C
7、L: 同轴电缆损耗RR: 中继台接收灵敏度A、B、C、D、E：分别是145到148MHz内以600KHz为间距的五个频段Inf: 表示频段相同时不使用中继器四、 问题分析1） 当两个移动设备相邻较近时，可以直接通信。2） 两个移动设备相隔足够远时，必须使用中继器，但这两个中继器不会相互干扰。3） 当两个移动设备处在两个相邻的中继器覆盖区内，通常使用CTCSS系统使这两个中继器可以使用相同的频率工作，中继器通过PL值来区分发送请求服务信号的移动设备处于哪个中继器的覆盖范围内。4） 当两个中继器相邻，但频率相差大于600KHZ时，也不会产生干扰。五、 模型的建立与求解5.1模型一5.1.1 模型一
8、的建立针对问题一，我们先查询某一型号的中继器，根据它的技术参数，算出中继器的覆盖半径，再用正六边形近似替代中继器信号覆盖的圆面积，建立蜂巢样的图形将整个区域覆盖住，然后根据频差隔离和地理隔离，使该区域的任何中继器都不会产生干扰，从而设置最少的中继器使1000个用户同时通信。由于中继器的覆盖半径是由中继器的高度和发射机功率、馈线衰减天线增益、驻波比、太阳活动等决定的，而中继器的高度又是主要决定因素。也就是说每个中继器的覆盖半径都是不同的。我们不妨设这个区域是平原地带，每个中继器的覆盖半径也相同。采用六边形近似中继器覆盖圆域的合理性：用最小的小区数就能覆盖整个地理区域，最接近于全向的基站天线和自由
9、空间传播的全向辐射模式。现在计算中继器的覆盖半径：1在网上搜索资料得,无线电波传输损耗工程实用公式： LM(dB)=88.1+20lgF-20lgh1h2+40lgd （1）式中：F通讯工作频率(MHz) h1通讯对象A点天线高度(m) h2通讯对象B点天线高度(m) dA点和B点的通讯距离(km) 上述实用公式仅限于VHF 145MHz和UHF 400470MHz频段，并且地形起伏高度在15m左右，通讯距离在65km范围内。2系统无线设备通讯距离的计算(1)假设已知条件a.系统工作频率： TX 145MHz RX 148MHzb.中继台参数和架设数据： 发射功率：20W (43dBm) 接收
10、灵敏度：-116dBm 同轴电缆损耗：2dB(1/2馈管40m长、5dB/100m) 全向天线增益：9.8dbi 天线架设高度：30mc.对讲机参数 发射功率：4W(36dBm) 接收灵敏度：-116dBm 对讲机天线增益：0dBi 对讲机高度：1.5m (2)中继台与对讲机的系统增益 在本题中，所谓系统增益就是对讲机发射信号给中继台接收机允许衰减的最大值，若不考虑电缆损耗和天线增益的条件下：系统增益(dB)=发射功率(dBm)-接收灵敏度(dBm) （2） 若考虑电缆损耗、天线增益的条件下,本例系统增益为：SG(dB)=Pt+PA-(RA+CL+RR)=36+0-(9.8-2-116)=14
11、4.2(dB) （3）式中：Pt对讲机发射功率 PA对讲机天线增益 RA中继台天线增益 CL同轴电缆损耗 RR中继台接收灵敏度 3.如果系统增益等于电波传输的损耗，则说明通讯距离的电波能量已达极限，若系统增益小于传输损耗则表明通讯可能建立不起来。将系统增益代入电波传输损耗工程公式： 144.2=88.1+201g145-201g1.530+401gr （4）解得，r=14.07km(1英里=1.609344千米)，约为8.7英里。得出覆盖半径后，我们现在从覆盖整个区域需要的中继器入手，利用蜂窝网络，提出如下三种覆盖方案。图. 19个正六边形区域覆盖圆图. 27个正六边形区域覆盖圆图. 37个正
12、六边形区域覆盖圆在图中，共有19个正六边形区域，我们利用内切圆半径为40英里计算出正六边形的边长，从而得出正六边形的边长约为13.3（8.7）英里，超出中继器的覆盖范围，不满足题意要求。在图中，共有27个正六边形区域，我们利用内切圆半径为40英里计算出正六边形的边长，从而得出正六边形的边长为10（8.7）英里，超出中继器的覆盖范围，不满足题意要求。在图中，共有37个正六边形区域，我们利用内切圆半径为40英里计算出正六边形的边长，从而得出正六边形的边长为8（8.7）英里，符合中继器的覆盖范围，满足题意要求。然后我们讨论在每个中继器覆盖区里最多能为多少用户服务，才能使1000个移动用户同时工作。由
13、于只有两个中继器覆盖区域有重叠，并且频率相差小于600KHZ时，中继器才会互相干扰；我们制定优化方案，使这两个条件在任意相邻的中继器覆盖区域内不能同时成立，那么整个区域里的中继器就不会产生干扰了。这个区域的频段为145.0145.6MHZ、145.6146.2 MHZ、146.2146.8 MHZ、146.8147.4 MHZ、147.4148.0 MHZ五个频段，我们将其分别设为A、B、C、D、E五个频段。由于两个中继器相邻，但发射频率相差大于600KHZ时，中继器不会产生干扰。这样我们就只使用A、C、E三个频段，那么中继器相邻也不会产生干扰。现我们对37个正六边形区域进行填色，如图4.所示。这样，我们就将问题转化成三色填充模型求解的问题了。图4.三色填充模型图这样分布后，就使得区域上的37个中继器都不会产生干扰。5.1.2 模型一的求解对于模型一的求解，首先要讨论用户之间如何交流。当两个用户在一个中继器的覆盖范围内时，他们不需要使用中继器。当两个用户不在同一个中继器的覆盖范围内时，需要通过中继器进行连接，两个用户才能交流。而中继器只有频率相同时，两个用户
