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1、变化率与导数的概念（新授课学案）学生姓名 _ 班级_ 学号_教学内容通过实例探究与分析，引导学生经历思考、讨论、探究、理解瞬时速度的含义、感受逼近的思想. 体验提出问题，寻求想法，实施想法，发现规律，给出定义的数学探究过程.了解导数概念的背景，理解导数的定义和内涵.教学目的1. 了解导数概念的背景，会区分平均速度、瞬时速度、平均变化率、瞬时变化率.2. 理解导数与函数平均变化率、瞬时变化率的关系.3. 会求简单函数y=f(x)在x=x0 处的导数4. 体会用已知探究未知的思考方法和从特殊到一般的探究思想.5. 培养小组合作学习的习惯.教学重点1. 导数（瞬时变化率）概念的形成.2. 体会用已知
2、探究未知的思考方法、从特殊到一般的探究思想.3. 感受无限逼近的思维方法.教学难点1. 体会由平均变化率到瞬时变化率的过渡.2. 导数的思想及其内涵的理解教学过程热爱生活一、自主学习对一种生活的数学解释问题1 气球膨胀率 问题2 高台跳水我们都吹过气球回忆一下吹气 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的球的过程,可以发现,随着气球内空 高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位:气容量的增加,气球的半径增加越 秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.来越慢.从数学角度,如何描述这种 如何用运动员在某些时间段内的平均速现象呢? 度粗略地描述其运动状态?我来算算看：（可用计算器）当气球
3、体积v=0时，半径 当时间t=0时，运动员相对于水面的高度 h（0）=_r(0）=_ 当时间t=0.5时，运动员相对于水面的高度当气球体积v=1时，半径 h（0.5）=_ 当时间t=1时，运动员相对于水面的高度r(1）=_ h（1）=_当气球体积v=2时，半径 当时间t=2时，运动员相对于水面的高度 h（2）=_r(2）=_ 比较以上数据，思考变量间的变化情况.1、当气球空气容量V从0增加到1时，气球半径的平均增长率为_当气球空气容量V从1增加到2时，气球半径的平均增长率为_2、当时间t从0到0.5这段时间里，运动员高度的平均增长率为_ 当时间t从0.5到1这段时间里，运动员高度的平均增长率为
4、_ 当时间t从1到2这段时间里，运动员高度的平均增长率为_我的身边也有这样的数学解释：_(列举1-2个同类的生活实例）我们将生活实例中变量间的关系抽象为函数f(x)，当自变量从x1到x2的过程中，函数值的平均增长率可以表示为：_ 此式称为函数y=f(x)的平均变化率.抽象概念例题1：总结计算平均变化率的方法，并尝试求解函数f(x)=x2-7x+15在x=2到x=6过程中的平均变化率. 习惯上，用x表示x2-x1（读作变量x的增量）,用y表示f(x2)-f(x1)（读作变量y的增量） 函数y=f(x)的平均变化率也可以表示为_变式1：解函数f(x)=x2-7x+15在x=2到x=5过程中的平均变
5、化率是_ 思考：结合高台跳水的生活实例和变式1的结论，你能尝试给出相应的数学解释吗？ 在高台跳水中，运动员在不同时刻的速度是不同的，若将该运动员在时间t0附近很短一段时间内的平均速度看作是运动员在时间t0时刻的近似速度. 即t0到t0+t（t趋近于0）的平均速度_可近似为t0时刻的速度深入探讨 如在时间t=2附近的平均速度_. 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率称为函数y=f(x)在x0处的瞬时变化率.例题2：总结计算瞬时变化率的方法，并尝试求解函数f(x)=x2-7x+15在x=2和x=6时的瞬时变化率. 小结：瞬时速度即时间t1与t2=t1
6、+的间隔无限小（趋近于0）时的平均速度，函数f(x)的瞬时变化率即_ 为了表示方便，我们用表示“当时间t=t1，趋近于0时，运动员的平均速度，即时间t=t1时刻的瞬时速度；一般地，函数y=f(x)在x0处的瞬时变化率可表示为_,记作：_或_,也称为函数y=f(x)在x0处的导数.概念巩固：函数y=f(x)在x=2处的导数就是_气球的半径r关于体积V的导数就是_运动员相对于水面的高度h关于时间t的导数就是_一：求下列函数在2到4范围内的平均变化率.课时小练 (1) f(x)=x (2) f(x)=x2 (3) f(x)= (4) f(x)=4二：求下列函数在x=2处的导数. (1) f(x)=x
7、 (2) f(x)=x2 (3) f(x)= (4) f(x)=4课时小结1、主要知识2、主要思想方法阅读材料导数的发展（一）早期导数概念-特殊的形式 大约在1629年，法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法；1637年左右，他写一篇手稿求最大值与最小值的方法。在作切线时，他构造了差分f(A+E)-f(A),发现的因子E就是我们现在所说的导数f(A)。 （二）17世纪-广泛使用的“流数术”17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，在前人创造性研究的基础上，大数学家牛顿 、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分。牛顿的微积分理论被称为“流数术”，他称变量为流量，称变量的变化
8、率为流数，相当于我们所说的导数。牛顿的有关“流数术”的主要著作是求曲边形面积、运用无穷多项方程的计算法和流数术和无穷级数，流数理论的实质概括为：他的重点在于一个变量的函数而不在于多变量的方程；在于自变量的变化与函数的变化的比的构成；最在于决定这个比当变化趋于零时的极限。 （三）19世纪导数-逐渐成熟的理论 1750年达朗贝尔在为法国科学家院出版的百科全书第四版写的“微分”条目中提出了关于导数的一种观点，可以用现代符号简单表示：dy/dx)=lim(oy/ox)。1823年，柯西在他的无穷小分析概论中定义导数：如果函数y=f(x)在变量x的两个给定的界限之间保持连续，并且我们为这样的变量指定一个
9、包含在这两个不同界限之间的值，那么是使变量得到一个无穷小增量。19世纪60年代以后，魏尔斯特拉斯创造了-语言，对微积分中出现的各种类型的极限重加表达，导数的定义也就获得了今天常见的形式。导数在科学上的应用导数与物理，几何，代数关系密切.在几何中可求切线；在代数中可求瞬时变化率；在物理中可求速度，加速度. 导数亦名纪数、微商（微分中的概念），是由速度变化问题和曲线的切线问题（矢量速度的方向）而抽象出来的数学概念.又称变化率. 如一辆汽车在10小时内走了 600千米，它的平均速度是60千米/小时.但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米/小时.为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置s与时间t的关系为s=f（t）那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是 f(t1)-f(t0)/t1-t0，当 t1与t0很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反映汽车在t0 到 t1这段时间内的运动变化情况 . 自然就把当t1t0时的极限limf(t1)-f(t0)/t1-t0 作为汽车在时刻t0的瞬时速度，这就是通常所说的速度.这实际上是由平均速度类比到瞬时速度的过程 （如我们驾驶时的限“速” 指瞬时速度）5 / 5
