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1、摘要插值和拟合都是函数逼近或者数值逼近的重要组成部分他们的共同点都是通过已知一些离散点集M上的约束，求取一个定义在连续集合S(M包含于S)的未知连续函数，从而达到获取整体规律的目的，即通过窥几斑来达到知全豹。简单的讲，所谓拟合是指已知某函数的若干离散函数值f1,f2,fn，通过调整该函数中若干待定系数f(1, 2,3), 使得该函数与已知点集的差别(最小二乘意义)最小。如果待定函数是线性，就叫线性拟合或者线性回归(主要在统计中)，否则叫作非线性拟合或者非线性回归。表达式也可以是分段函数，这种情况下叫作样条拟合。而插值是指已知某函数的在若干离散点上的函数值或者导数信息，通过求解该函数中待定形式的
2、插值函数以及待定系数，使得该函数在给定离散点上满足约束。插值函数又叫作基函数，如果该基函数定义在整个定义域上，叫作全域基，否则叫作分域基。如果约束条件中只有函数值的约束，叫作Lagrange插值，否则叫作Hermite插值。从几何意义上将，拟合是给定了空间中的一些点，找到一个已知形式未知参数的连续曲面来最大限度地逼近这些点；而插值是找到一个(或几个分片光滑的)连续曲面来穿过这些点。在测绘学中，无论是图形处理，还是地形图处理等，大多离不开插值与拟合的应用，根据插值与拟合原理，构造出插值和拟合函数，理解其原理，并在matlab平台下，实现一维插值，二维插值运算，实现多项式拟合，非线性拟合等，并在此
3、基础上，联系自己所学专业，分析其生活中特殊例子，提出问题，建立模型，编写程序，以至于深刻理解插值与拟合的作用。关键词：差值拟合算法；应用；matlab；实现目录毕业论文（设计）1差值拟合算法的应用及matlab实现1摘要2目录31序言42曲线拟合与最小二乘法基础理论概述62.1曲线拟合简介62.2最小二乘法简介102.3曲线拟合的最小二乘法原理112.4基于MATLAB的最小二乘曲线拟合162.5最小二乘曲线拟合案例分析与解算202.6拟合函数的精度检测252.7拟合函数在实际运用中的优势262.8拉格朗日插值原理和插值多项式构造272.9拉格朗日插值事例分析272.10拟合的方原理和方法29
4、3插值与拟合实际建模与分析314MATLAB在拟合与插值中的应用324.1曲线拟合334.2一维插值354.3二维插值374.4小结435结论44致谢45参考文献461 序言随着人类认识能力的不断进步以及计算技术的快速发展，对于变量之间的未知关系，应用曲线拟合的方法对揭示其内在规律具有重要的理论与现实意义。在科学实验数据的处理、分析时，实验数据拟合是经常采用的一种方法。本文将采用最小二乘法对给定的实验数据进行拟合并得到拟合曲线，加深大家对最小二乘曲线拟合原理的理解。同时将根据最小二乘拟合理论，并利用MATLAB数值分析软件进行编程，解决最小二乘曲线拟合在塔机起重量监测系统中的应用问题，实现相应
5、案例数据的曲线拟合，获得了曲线模型对相应数据的拟合曲线，很好地解决了该工程案例的曲线拟合问题。MATLAB有可以用于曲线拟合的内建函数。 MathWorks公式也提供了很多工具箱可以用于曲线拟合。这些方法可以用来做线性或者非线性曲线拟合。 MATLAB也有一个开放的工具箱曲线拟合工具箱（Curve Fitting Toolbox），她可以用于参数拟合，也可以用于非参数拟合。本节将介绍曲线拟合工具箱与其他工具箱、以及各种 MATLAB可以用于曲线拟合的内建函数的详细特征。cdate 与它自身很好的相关，同样的 Output也与它自身很好相关。反对角线上元素是cdate与 Output之间的相关性
6、。这个值非常接近于 1，因此实际数据与拟合结果能否较好的吻合。因此，这个拟合是“好”的拟合。（应该是这样判断的么？我怎么觉得应该通过 pop与 Output的相关性来判断拟合的好坏的呢？）MATLAB即有内建的解决很多通常遇到的曲线拟合问题的能力，又具有附加这方面的产品。本技术手册描述了几种拟合给定数据集的曲线的方法，另外，本手册还解释了加权曲线拟合、针对复数集的曲线拟合以及其他一些相关问题的拟合技巧。在介绍各种曲线拟合方法中，采用了典型例子的结合介绍。在现代科学研究中，物理量之间的相互关系通常是用函数来描述的。有些函数关系是由经典理论分析推导得出的，这些函数关系为我们进一步的分析研究工作提供
7、了理论基础。在现实的科学研究过程中，有一些问题很难由经典理论推导出物理量的函数表达式，或者此推导出的表达式也十分复杂，不利于进一步的分析，但又很希望能得到这些量之间的函数关系，这时就可以利用曲线拟合的方法，用实验数据结合数学方法得到物理量之间的近似函数表达式。Matlab是Math Works公司推出的一种科学计算软件，是集数值计算、符号运算及出色的图形处理、程序语言设计等强大功能于一体的科学计算语言。应用Matlab处理既克服了最小二乘法计算量大等缺点，又使繁琐、枯燥的数值计算变成种简单、直观的可视化操作过程，且能较准确地标记实验数据点和绘出拟合曲线。在科学实验的统计方法研究中，往往要从一组
8、数据中，寻找自变量x与因变量y之间的函数关系。由于观测数据往往不准确，因此不要求经过所有带点，而只要求在给定点上的误差按某种标准最小。若记，就是要求向量的范数最小。如果用最大范数，计算上困难较大，通常采用欧式范数作为误差度量的标准。的函数类型往往与实验的物理背景以及数据的实际分布有关，它一般含有某些待定参数。如果是所有待定参数的线性函数，那么相应的问题称为线性最小二乘问题，否则称为非线性最小二乘问题。最小二乘法还是实验数据参数估计的重要工具。这是因为这种方法比其他方法更容易理解，即使在其他方法失效的情况下，用最小二乘法还能提供解答，而且从统计学的观点分析，用该方法求得各项估计具有最优统计特征，
9、因此这一方法也是系统识别的重要基础。用最小二乘法求拟合曲线时，首先要确定的形式，然后利用最小二乘曲线拟合去构造一个近似解析式。利用该方法“拟合”出的函数曲线虽然不能保证通过所有的样本点，但是很好地“逼近”了它们，充分反映了已知数据间内在的数量关系。因此，这种方法在生产实践和科学实验中具有广泛的应用前景。本文针对最小二乘曲线拟合的有关理论和应用问题以及相应的MATLAB实现进行探讨。曲线拟合又称函数逼近，是指对一个复杂函数，求出一个简单的便于计算的函数，要求使与的误差在某种度量意义下最小。我们把近似值和测得值的差值称为残余误差。即显然，残差的大小是衡量拟合好坏的重要标志。经常采用的三种衡量的准则
10、为：（1）使残差的最大绝对值最小：；（2）使残差的绝对值之和最小：；（3）使残差的平方和最小：。 分析上面的三种准则，准则（1）、（2）的提法都比较自然，但是由于含有绝对值，所以不利于实际计算，而按照准则（3）来确定参数，得到拟合曲线的方法称作曲线拟合的最小二乘法，它的计算比较简单，是工程实际当中常用的一种函数逼近的方法。通常在生产实际及科学研究中，我们经常要研究变量之间的函数关系y=f(x)，若f(x)的表达式很复杂，或f(x)只是一张数据来表示，这都给研究带来困难，因此我们希望用一个函数P(x)来代替它，把研究f(x)的问题转化成研究，由于近似含义不同，就有插值和拟合两种情况。Matlab
11、是一款功能强大的科学数学计数器，利用matlab可以成功的完成插值与拟合等任务，在编写插值与拟合程序前，本人从以下步骤分析和实现插值与拟合。Matlab软件是集数值计算、符号运算及出色的图形处理、程序语言设计等强大功能于一体的科学计算语言。用Matlab处理实验数据仅需编写十几行几乎像通常笔算式的简练程序，运行后就可得到所需的结果。这样既克服了最小二乘法计算量大等缺点，又使繁琐、枯燥的数值计算变成一种简单、直观的可视化操作过程，且能较准确地标记实验数据点和绘出拟合曲线。2 曲线拟合与最小二乘法基础理论概述2.1 曲线拟合简介实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病
12、疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。曲线拟合是用连续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法。用解析表达式逼近离散数据的一种方法。在科学实验或社会活动中，通过实验或观测得到量x与y的一组数据对（i1，2，m），其中各是彼此不同的 。人们希望用一类与数据的背景材料规律相适应的解析表达式，来反映量x与y之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。常称作拟合模型 ，在式中是一些待定参数。当c在中线性出现时，称为线性模型，否则称为非线性模型。
13、有许多衡量拟合优度的标准，最常用的一种做法是选择参数c使得拟合模型与实际观测值在各点的残差(或离差) 的加权平方和达到最小，此时所求曲线称作在加权最小二乘意义下对数据的拟合曲线。有许多求解拟合曲线的成功方法，对于线性模型一般通过建立和求解方程组来确定参数，从而求得拟合曲线。至于非线性模型，则要借助求解非线性方程组或用最优化方法求得所需参数才能得到拟合曲线，有时称之为非线性最小二乘拟合。运用插值法拟合函数，这是每个数值分析中的必修课，而matlab又是数值分析必备的工具。除却基本差值（拉格朗日，牛顿插值）需编写实现外，在理解了插值法的基本原理后，如何用matlab自带的多种功能进行常用插值（样条
14、插值，hermite插值，三次差值）呢？在完成一些习题后，我的总结如下：1.如何实现三次样条插值（spline插值）特点：连续三次曲线逼近，最高次数为三次法1：spline题：清华大学出版社的数值分析（第5版）P49,20题。x=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10y=0,0.79,1.53,2.19,2.71,3.03,3.27,2.89,3.06,3.19,3.29; 进行三次样条插值xx=0:0.25:10; 取好绘图取值点yy=spline(x,y,xx);plot(x,y,o,xx,yy); 绘制图像那么如何获得插值函数？且如果三次样条插值有边界条件时，应如何拟合插值函数？此
15、时应采取法2法2：csapepp=csape(x,y,complete,0,0.0);disp(pp.coefs);complete表示给定边界条件为一阶导数，0,0便是两端点一阶导数为0.常用的参数还有：second,给定边界二阶导数.variational,自然样条(边界二阶导数为0)运行结果：COEFS的含义是在Xi-Xi+1区间上的多项式是，例如COEFS数组第一行的意思是在X=0到X=1的区间上时表达式是-6.2652*（X-0)3+0.9697*(X-0)1+0.5;同理，可以得到在不同区间上的拟合函数 -6.2652 0.0000 0.9697 0.5000 1.8813 -0.9398 0.9227 0.5477 -0.4600 -0.4318 0.7992 0.6245 2.1442 -0.5146 0.7424 0.6708绘制图像：xi=1:0.25:10;yi=ppval(pp,xi);plot(x,y,o,xi,yi);2.如何实现heimite、三次差值特点： Hermite插值不仅保证了插值函数与原函数在给定数据点处得拟合，同时保证了在相应点处导数的相同，从而在很大程度上保证了曲线的光滑性。
