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1、摘 要 指数分布是可靠性工程中最重要的分布之一，对其参数区间估计的研究有一定的理论意义和实用价值。本文主要针对小样本情况，研究指数分布尺度参数的区间估计问题。 讨论了单参数指数分布尺度参数基于选定枢轴变量的最短区间估计方法，根据假设检验与区间估计之间内在的联系，通过似然比检验推导出尺度参数在无偏估计类中最短的置信区间； 针对双参数指数分布，在位置参数未知的条件下，利用尺度参数一致最小方差无偏估计构造枢轴变量推导出该参数的置信区间，同时又利用似然比检验法求出尺度参数置信区间，两种方法所得结果相同，最后给出了尺度参数的定数截尾估计； 本文最后想对指数分布尺度区间估计进行改进，由于涉及到陌生的概念被
2、迫中止，所以将在进一步学习和研究以后再进行讨论。关键词：区间估计；单参数指数；双参数指数；尺度参数；置信区间。AbstractPonential distribution is one of the most important distributions in reliability engineering. It is both theoretically meaningful and practical to study the estimation of its parameter range. In this article the parameter range estimatio
3、n of an exponential distribution scale is studied by taking small samples. The choice of the parameter(s) of single-parameter exponential distribution based on the selection of shortest interval of a pivot is discussed. According to the inner connection of hypothesis testing and range estimation, th
4、e shortest confidence interval is derived via likelihood ratio testing. For double-parameter exponential distribution, the confidence interval of its position parameter is derived from the pivot constructed from the scale parameter UMVU. The confidence interval of this scale parameter is obtained us
5、ing likelihood testing. These two methods give the same results from which the truncation estimation for the scale parameter is determined. Finally, the distribution of scale index would like to improve the range of estimates, as it relates to the concept of strangers was forced to suspend, it will
6、further study and research in the future discussion.Keywords: range estimation;single-parameter exponent; double-parameter exponent; scale parameter; confidence interval.目录1 绪论11.1 定义介绍11.2 小结32 单参数指数分布的置信区间42.1 引言42.2 尺度参数区间估计最短化42.3 似然比检验法构造置信区间92.4 小结153 双参数指数分布尺度参数的区间估计163.1 引言163.2 带冗余参数尺度参数的区间
7、估计163.3 尺度参数的定数截尾估计204 总结234.1 综述234.2 尺度参数区间估计的改进23致 谢25参考文献26附录A 英文原文27附录B 汉语翻译32351 绪论1.1 定义介绍定义1.1 设样本来自分布函数为F(X;), (为未知参数)的总体，对于给定的常数，如果存在两个统计量与满足 ， (1.1)则称随机区间是参数的置信水平为的置信区间。由概率性质易知即 (1.2)由置信区间定义得 (1.3)故可得到与定义1.1等价的定义1.2定义1.2 设总体分布函数为F(X;)，其中为未知参数，对于给定的常数，由来自总体的简单随机样本确定的两个统计量和满足，和，且，则称随机区间是的置信
8、水平为的置信区间。说明：在定义1.1中，是事先选定的，与假设检验类似，对给定的置信水平，人们总是力图构造这样的区间估计，使得(1.1)式得到满足，并且至少存在一个，使得，这意味着置信水平被“足量”使用了，以满足区间的精确度尽可能高的要求。区间估计的要旨是充分使用样本提供的信息，做出尽可能可靠和精确的估计，有了样本，就要把估计在区间之内，不难理解，这里要有两个要求：（1）要以很大的可能性落在区间内，也就是说概率要尽量大。（2）区间长度要尽可能小，或某种能体现这个要求的其它准则。故此，评价区间估计的优良性有两个要求，其一是置信水平（可靠度），即区间包含未知参数概率的大小；其二是精确度，即衡量置信区
9、间的长度，因置信区间是随机区间，故应使用平均长度作为精确度的度量。平均长度俞小俞好，但在样本大小一定的条件下，这两者是矛盾的，犹如假设检验中犯第一类错误的概率与犯第二类错误的概率这一对矛盾，完全与Neyman和Pearson的假设检验理论的基本思想类似，而区间估计理论和方法的基本问题莫不在于已有样本资源的限制下，怎样找出更好的估计方法，以尽量提高二者置信水平和精确度，但终归有一定的限度。Neyman提出并为现今广泛采用的原则，在使得置信水平达到一定要求的前提下，寻找精确度尽可能高的区间估计，也就是寻找区间平均长度尽可能短，或者区间包含非真值的概率尽可能小的区间估计。通常，我们通过使用枢轴变量来
10、推导参数的置信区间，或者用某个量的渐近分布（中心极限定理）获得参数的置信区间，但是在样本容量不太大时，并不能保证渐近分布的精确性， 要研究小样本下参数区间估计问题，故采用枢轴变量法推导参数的置信区间。欲构造参数的置信水平为的置信区间，我们首先考虑的MLE或充分统计量，然后据此得到一个统计量，并基于构造枢轴变量，然后推导的置信区间。定义1.3 设样本的分布族为，其中为分布的参数，设为一统计量，若在已知的条件下，的分布与参数无关，则称是充分统计量。定义1.4 设是来自分布族的独立同分布的样本，随机变量是样本与参数的函数，而它的分布又必须与参数无关的已知分布，具有这一特性的随机变量称为枢轴变量。一般
11、地，常是充分统计量或点估计的函数。给定的枢轴变量，设其分布密度函数为，对于给定的常数，选取两个常数和（），使得， (1.4)如果下面两个不等式可以相互转化 (1.5)那么 ， (1.6)则区间为参数的一个置信水平为的置信区间。对于枢轴变量T=T(X;)令 P(Tb)=g(t)dt=1- (1.7)满足(1.7)式的有无穷多个值。事实上，对集合中任一元素，由等式和都能确定出满足，从而由不等式可解出无穷多个随机区间使得，即能得到参数的无穷多个置信水平为的置信区间。1.2 小结在样本数和置信水平一定的条件下进行参数区间估计时，由于置信区间不是唯一的，所以做区间估计时应尽可能使置信区间平均长度变短，能
12、使置信区间平均长度达到最短，一般就认为比较合理。对于枢轴变量的密度函数为对称的单峰函数时（如标准正态分布，t分布等），在许多经典的统计著作中所提到的左右各取概率为的分位点，这样确定的置信区间是最短的。但是当枢轴变量的密度函数为非对称的单峰函数时（如卡方分布，F分布等），用上述方法所确定的置信区间显然不是最短的，而根据Neyman置信区间理论可求得平均长度最短的无偏置信区间，如果没有无偏性的保证，置信区间并不是唯一的，受参数估计理论CR不等式的启发，如果我们能得到置信区间平均长度较好的下界，那么对于衡量一个置信区间的优劣是极其有益的。2 单参数指数分布的置信区间2.1 引言历史上指数分布是第一个
13、寿命模型，应用很广，所以该模型的统计方法得到广泛发展，早期的Sukhatme(1973)的工作，随后的Epstein和Sobel（1953,1954,1955）等工作给出了许多结果，并把指数分布当作寿命在推广使用，特别在工业寿命试验领域内的应用更是这样，很多专家学者致力于该分布统计方法的研究 定义2.1：设总体服从尺度参数为的单参数指数分布，其密度函数为2.2 尺度参数区间估计最短化引理2.1 设是来自单参数指数分布的一个简单样本，则。7由引理2.1知，对于给定的常数，有令，其中表示的密度函数。所以尺度参数的置信水平为的一个置信区间为。在样本数和置信水平都固定的条件下，尺度参数置信区间的平均长
14、度越短越好，而枢轴变量的概率密度函数显然是单峰非对称函数，故用上述方法得到的置信区间不是最短的，下面我们将在上述置信区间的基础上寻找最短置信区间。对于给定的置信水平，设分位点满足 (2.1)其中是的概率分布函数。由此我们得到尺度参数的置信水平为的置信区间。该区间的平均长度为根据Neyman区间估计理论的基本思想，我们需要解下述的条件极值问题：寻找和使得 (2.2)由于上述条件极值的约束条件比较特殊，很难确定解析解，故先证明此条件极值驻点唯一，以便给数值解法提供方便。定理2.2 当时，上述条件极值问题(2.2)有唯一驻点。证明：采用乘子法令 由此可解出 即 (2.3)我们所求的驻点就是(2.1)式与(2.3)式的解，这样仅需证明(2.1)式与(2.3)式有解而且解是唯一的即可。考虑函数，令，可求出的最大值点。当时，是严格单调递增的；当时，是严格单调递减的，即是单峰非对称函数，而当趋于正无穷大或零时趋于零。为了保证和(2.3)式成立，应该有，。根据的单峰性易知，对于任意的都
