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1、上杭一中2019-2020学年第一学期12月考高二数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将你认为正确答案序号填涂在答题卡相应位置上）1.原命题“设、，若则”的逆命题、否命题中，真命题的个数是( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】A【解析】【详解】逆命题为“若，则”，当时，所以逆命题为假命题其否命题为“若，则”，同理，当是有，此时大小无法判断，所以也是假命题综上可得，真命题的个数为0，故选A2.设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用导函
2、数的图象，判断导函数的符号，得到函数的单调性以及函数的极值，然后判断选项即可【详解】由题意可知：，函数是增函数，函数是减函数；是函数的极大值点，是函数的极小值点；所以函数的图象只能是故选【点睛】本题考查函数的导数与函数的图象的关系，判断函数的单调性以及函数的极值是解题的关键3.已知A,B,C三点不共线,对于平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点A,B,C一定共面的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据点与点共面，可得，验证选项，即可得到答案.【详解】设，若点与点共面,则，只有选项D满足，.故选D.【点睛】本题主要考查了向量的共面定理的应用，其中熟记点与点共面时
3、，且,则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.4.在区间上随机取一个数，则使不等式成立的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出符合已知不等式的x的范围，然后根据几何概型的求解公式求解可求【详解】由可得，由几何概率的计算公式可得，所求的概率 故选：C【点睛】本题主要考查了与长度有关的几何概型的求解，属于基础试题5.某协会有200名会员，现要从中抽取40名会员作样本，采用系统抽样法等间距抽取样本，将全体会员随机按1200编号，并按编号顺序平均分为40组（15号，610号，196200号）.若第5组抽出的号码为22，则第1组至第3组抽出的号码依次是（ ）A.
4、 3，8，13B. 2，7，12C. 3，9，15D. 2，6，12【答案】B【解析】【分析】根据系统抽样原理求出抽样间距，再根据第5组抽出的号码求出第1组抽出的号码，即可得出第2组、第3组抽取的号码【详解】根据系统抽样原理知，抽样间距为20040=5，当第5组抽出的号码为22时，即22=45+2，所以第1组至第3组抽出的号码依次是2，7，12故选：B【点睛】本题考查了系统抽样方法的应用问题，是基础题6.“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解不等式，进而根据充要条件的定义，可得答，【详解】由可得，所以 “”
5、是“”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查的知识是充要条件的判断，正确理解并熟练掌握充要条件的定义，是解答的关键7.点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离之和的最小值是（ ）A. B. 2C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PA|AF|，再求出|AF|的值即可【详解】依题设P在抛物线准线的投影为P，抛物线的焦点为F，A（0，-1）则F（1，0），依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP|=|PF|，则点P到点A（0，-1）的距离与P到该抛物线准线的距离之和，d=|PF|+|PA|AF|=故答案为： 【点睛】本
6、题考查抛物线的定义，考查求距离和，解题的关键是点P到点（0，-1）的距离与P到该抛物线准线的距离之和转化为点P到点（0，-1）的距离与P到焦点F的距离之和.8.如图，长方体中，点分别是， ，的中点，则异面直线与所成的角是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意：E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，连接B1G，FB1，那么FGB1或其补角就是异面直线A1E与GF所成的角【详解】由题意：ABCDA1B1C1D1是长方体，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，连接B1G，A1EB1G，FGB1为异面直线A1E与GF所成的角或其补角连接FB1，在三角形FB1G中，AA1A
7、B2，AD1，B1FB1G，FG，B1F2B1G2+FG2FGB190，即异面直线A1E与GF所成的角为90故选A【点睛】本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养9.设椭圆的离心率为，右焦点为，方程 的两个实根分别为和，则点（）A. 必在圆内B. 必在圆上C. 必在圆外D. 以上三种情形都有可能【答案】A【解析】【分析】判断点和圆的关系，则判断与2的关系即可其中的关系来自的两根，故两根关系用韦达定理得出【详解】因为 的两个实根分别为和，故，故又椭圆离心率，故，即，故点必在圆内选A.【点睛】本题使用韦达定理以及离心率化简，遇到时，因为已知离心率的
8、范围，故转换成都是的关系，凑出离心率从而带入求范围10.过双曲线的右顶点作轴的垂线与的一条渐近线相交于.若以的右焦点为圆心、半径为4的圆经过，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】可得渐近线方程为，将x=a代入求得由条件知，半焦距,所以由得，又因,所以解得，双曲线的方程为故选A11.已知函数的图象与轴恰有两个公共点，则A. 或2B. 或3C. 或1D. 或1【答案】A【解析】【分析】利用导数判断函数的单调性求出极值点为，利用或可得结果.【详解】因为,所以f(x)的增区间为,减区间为,所以的极大值为，极小值为，因为函数的图象与轴恰有两个公共点,所以只须满足或，即
9、或,故选A.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的极值以及函数的零点，属于中档题.对于与“三次函数”的零点个数问题，往往考虑函数的极值符号来解决,设函数的极大值为 ，极小值为 ：一个零点或；两个零点或；三个零点且.12.已知圆和圆，动圆M与圆,圆都相切，动圆的圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为，（），则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】动圆与两定圆都内切时：，所以动圆与两定圆分别内切，外切时：，所以，则 ，最小值为，故选A.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将最简答案填写在答题卡相应位置上）13.从集合中任意取出两个
10、不同的数记作，则方程表示焦点在轴上的双曲线的概率是_【答案】【解析】从集合中任意取出两个不同的数记作，共有个基本事件，其中满足方程表示焦点在轴上的双曲线，即的基本事件有3个，由古典概型的概率公式，得方程表示焦点在轴上的双曲线的概率是；故填.14.已知为单位向量，且=0，若 ，则_.【答案】【解析】【分析】根据结合向量夹角公式求出，进一步求出结果.【详解】因为，所以，所以，所以 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角渗透了数学运算、直观想象素养使用转化思想得出答案15.在中，.如果一个椭圆通过、两点，它的一个焦点为点，另一个焦点在边上，则这个椭圆的焦距为 【答案】【解析】试题分析：设另
11、一个焦点为，在中，所以，而，所以，又，所以，所以，即椭圆的焦距为.考点：1.椭圆的定义.16.在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_.【答案】4.【解析】分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离【详解】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小.由，得，即切点，则切点Q到直线的距离为，故答案为【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明
12、过程或演算步骤.）17.已知，设命题：关于的不等式，对任意实数都成立；命题：直线与抛物线有两个不同的交点。若命题“”为真命题，求的取值范围.【答案】.【解析】【分析】分别求出p、q命题为真时m的取值范围，根据为真命题可推导m的范围【详解】由命题知，关于的不等式对任意实数都成立，则当时，不等式变为，不合题意。当时，必须满足，解得，因此，当时，命题“”是真命题，当时，“”是真命题。直线与抛物线有两个不同的交点，联立消去得。令，解得。因此，当时，是真命题。“”为真命题，“”和“”都为真命题，可得，实数的取值范围是。【点睛】本题考查了简易逻辑的有关判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18.如图：
13、正三棱柱中，是的中点，（1）求二面角的余弦值；（2）求点到平面的距离【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】建立空间直角坐标系D-xyz，（1）求出平面AB1D的法向量，平面AB1B的法向量，设二面角B-AB1-D的大小为，利用空间向量的数量积求解即可（2）由（1）得平面的法向量为，取其单位法向量，用向量法能求出点C到平面AB1D的距离.【详解】建立空间直角坐标系，如图，（1）解：，设是平面的法向量，则，且，故，.取，得；同理，可求得平面的法向量是 设二面角的大小为，.（2）解由（1）得平面的法向量为，取其单位法向量，又，点到平面的距离.【点睛】本题考查二面角的平面角的求法，考查点到面的距离的
14、求法，考查空间想象能力以及计算能力19.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间.【答案】（1）；（2）函数的递增区间为，递减区间为.【解析】【分析】（1）把代入，先对函数求导，然后求f（1），根据导数的几何意义可知，该点切线的斜率k=f（1），从而求出切线方程（2）先对函数求导，分两种情况讨论可得函数的单调区间.【详解】（1）当时，所以曲线在点处的切线方程.（2），1）当时，解，得，解，得，所以函数的递增区间为，递减区间为在.2）时，令得或.当时，在上，在上，函数的递增区间为，递减区间为.【点睛】本小题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法20.已知直线：与抛物线：交于、两点，为坐标原点，.（1）求直线和抛物线的方程；（2）抛物线上一动点从到运动时，求点到直线的最大值，并求此时点的坐标【答案】（1）直线的方程为，抛物线的方程为；（2）.【解析】【分析】（1）由得，可
