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1、第07练-立体几何与空间向量一、单选题1若直线l的方向向量，平面的法向量，且直线平面，则实数x的值是( )A1B5C1D5【答案】C【解析】【分析】根据直线与平面垂直时直线的方向量与平面的法向量共线，利用共线时对应的坐标关系即可计算出的值.【详解】因为直线平面，所以，所以，所以.故选：C.【点睛】本题考查根据直线与平面的位置关系求解参数，其中涉及到空间向量的共线计算，难度一般.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若则有，若则有.2已知四棱锥的所有顶点都在球的球面上，底面是等腰梯形，且满足，则球的表面积是（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】根据几何关系，可知中点即为球心位置，求得半径，即可
2、求得表面积.【详解】根据题意，取中点为，过D点作，如下图所示：在等腰梯形中，因为，故在中，即可得，解得.又因为是中点，故可得，故是边长为1的等边三角形，同理也是边长为1的等边三角形，故可得，在中，因为，且，故斜边上的中线.综上所述可知：，故点即为该四棱锥外接球的球心，且半径为.故外接球的表面积.故选：C.【点睛】本题考查四棱锥外接球表面积的求解，问题的关键是球心位置的寻找，属常考题型.3已知正方体中，分别为，的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】根据题意画出图形，可将异面直线转化共面的相交直线，再进行求解【详解】如图：作的中点，连接，由题设可知，则异面直线与
3、所成角为或其补角，设正方体的边长为4，由几何关系可得， ，得，即故选D【点睛】本题考查异面直线的求法，属于基础题4如图，在四面体中，点，分别在棱，上，若直线，都平行于平面，则四边形面积的最大值是（ ）A B C D【答案】C.【解析】试题分析：，设，则，由，同理，当且仅当时，等号成立，故选C.考点：1.线面平行的性质；2.立体几何中的最值问题.【方法点睛】立体几何的综合应用问题中常涉及最值问题，处理时常用如下两种方法：1.结合条件与图形恰当分析取得最值的条件；2.直接建系后，表示出最值函数，转化为求最值问题；3.化立体为平面，利用平面几何知识求解.5如图,四边形ABCD为正方形,PD平面ABC
4、D,PDQA,QA=AB=PD,则平面PQC与平面DCQ的位置关系为()A平行B垂直C相交但不垂直D位置关系不确定【答案】B【解析】【分析】由已知可得PDDC,PDDA,DCDA,如图,以D为原点,建立空间直角坐标系,设QA=1,则D(0,0,0),C(0,0,1),Q(1,1,0),P(0,2,0).故=(1,1,0),=(0,0,1),=(1,-1,0).利用向量的数量积可得PQ平面DCQ,平面PQC平面DCQ.得到结论.【详解】由已知可得PDDC,PDDA,DCDA,如图,以D为原点,建立空间直角坐标系,设QA=1,则D(0,0,0),C(0,0,1),Q(1,1,0),P(0,2,0)
5、.故=(1,1,0),=(0,0,1),=(1,-1,0).故=0,=0,即,故PQ平面DCQ,平面PQC平面DCQ.【点睛】本题考查利用向量证明平面与平面的垂直关系，属基础题.6如图，在正方体中，分别是的中点，则下列说法错误的是（）AB平面CD平面【答案】C【解析】【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果【详解】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点， 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，则B（2，2，0），C1（0，2，
6、2），M（1，2，1），D1（0，0，2），C（0，2，0），N（0，1，1）， MNCC1，故A正确；MN平面ACC1A1，故B成立； MN和AB不平行，故C错误；平面ABCD的法向量 又MN平面ABCD，MN平面ABCD，故D正确故选C【点睛】本题考查命题的真假判断，考空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题7如图，在正三棱柱中，,，分别是棱，的中点，为棱上的动点，则的周长的最小值为()ABCD【答案】D【解析】【分析】根据正三棱柱的特征可知为等边三角形且平面，根据可利用勾股定理求得；把底面与侧面在同一平面展开，可知当三点共线时，取得最小
7、值；在中利用余弦定理可求得最小值，加和得到结果.【详解】三棱柱为正三棱柱 为等边三角形且平面平面 把底面与侧面在同一平面展开，如下图所示：当三点共线时，取得最小值又，周长的最小值为：本题正确选项：【点睛】本题考查立体几何中三角形周长最值的求解问题，关键是能够将问题转化为侧面上两点间最短距离的求解问题，利用侧面展开图可知三点共线时距离最短.8在三棱锥中，在底面内的射影位于直线上，且. 设三棱锥的每个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】先求出外接圆的半径，利用勾股定理求出，再利用线面的垂直的性质，结合球的性质可以求出的值，而后利用勾股定理求出外接球的半径，最后
8、利用球的表面积公式进行求解即可.【详解】因为，所以外接圆的圆心在上，设此圆的半径为，因为，所以，解得. 因为，所以，设，易知平面，则. 因为，所以，即，解得. 所以球的半径，表面积. 故选：A【点睛】本题考查了三棱锥外接球的问题，考查了球的表面积公式，考查了空间想象能力和数学运算能力.9已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】先利用等边三角形中心的性质，结合勾股定理计算得球的半径，过的最大截面是经过球心的截面，可由球的半径计算得出.过最小的截面是和垂直的截面，先计
9、算得的长度，利用勾股定理计算得这个截面圆的半径，由此计算得最小截面的面积.【详解】画出图象如下图所示，其中是球心，是等边三角形的中心.根据等边三角形中心的性质有，设球的半径为，在三角形中，由勾股定理得，即，解得，故最大的截面面积为.在三角形中，由余弦定理得.在三角形中，,过且垂直的截面圆的半径，故最小的截面面积为.综上所述，本小题选B.【点睛】本小题主要考查几何体外接球的问题，考查过一点球的截面面积的最大值和最小值问题，属于中档题.10如图，矩形中，为边的中点，沿将折起，点折至处（平面），若为线段的中点，则在折起过程中，下列说法错误的是（ ）A始终有 /平面B不存在某个位置，使得平面C三棱锥体
10、积的最大值是D一定存在某个位置，使得异面直线与所成角为【答案】D【解析】【分析】利用翻折前后的不变量、结合反证法，可证A，B，C正确，从而利用排除法得到正确选项。【详解】连结交于，取的中点，连结，。对A，易证，平面平面，平面，所以始终有/平面，故A正确；对B，因为，假设平面，则，则，因为，所以不成立，所以假设错误，故不存在某个位置，使得平面，故B正确；对C，当平面平面时，三棱锥的体积最大，故C正确；故选：D【点睛】本题考查空间平面图形的翻折问题，考查线面、面面位置关系、体积求解，考查空间想象能力和运算求解能力，属于较难问题。二、多选题11已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“
11、点M与点A，B，C共面”的充分条件的是（ ）ABCD【答案】BD【解析】【分析】根据“时，若则点与点共面”，分别判断各选项是否为充分条件.【详解】当时，可知点与点共面，所以，所以，所以，不妨令，且此时，因为，由上可知：BD满足要求. 故选：BD.【点睛】本题考查利用空间向量证明空间中的四点共面，难度一般.常见的证明空间中四点共面的方法有：(1)证明；(2)对于空间中任意一点，证明；(3) 对于空间中任意一点，证明.12如图，等边三角形的中线与中位线相交于，已知是绕旋转过程中的一个图形，下列命题中，正确的是（ ）A动点在平面上的射影在线段上B恒有平面平面C三棱锥的体积有最大值D旋转过程中二面角的
12、平面角始终为【答案】ABCD【解析】【分析】由斜线的射影定理可判断A正确;由面面垂直的判定定理,可判断B正确;由三棱锥的体积公式,可判断C正确;由二面角的平面角定义可判断D正确.【详解】,是正三角形, ， 平面，因为平面，所以平面平面在平面上的射影在线段上,故A正确;由知, 平面,平面恒有平面平面,故B正确;三棱锥的底面积是定值,体积由高即到底面的距离决定,故当平面平面时,三棱锥的体积有最大值,故C正确;平面平面,且,则二面角的平面角为,故D正确;故选:ABCD.【点睛】本题考查了线面面面垂直的判定定理及性质定理的运用,考查了二面角的平面角的概念,需要学生具备一定的空间想象能力.三、解答题13
13、在中，分别为，的中点，如图1.以为折痕将折起，使点到达点的位置，如图2. 如图1 如图2（1）证明：平面平面；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值【答案】(1)见解析；（2）直线与平面所成角的正弦值为.【解析】【分析】（1）在题图1中，可证 ，在题图2中，平面.进而得到平面.从而证得平面平面；（2）可证得平面. .则以为坐标原点，分别以，的方向为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）证明：在题图1中，因为，且为的中点.由平面几何知识，得. 又因为为的中点，所以 在题图2中，且，所以平面，所以平面. 又因为平面，所以平面平
14、面.（2）解：因为平面平面，平面平面，平面，.所以平面. 又因为平面，所以.以为坐标原点，分别以，的方向为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系在题图1中，设，则，.则，.所以，. 设为平面的法向量，则，即令，则.所以. 设与平面所成的角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的证明，以及利用空间向量求线面角，属中档题.14如图，在矩形中，点是边上一点，且，点是的中点，将沿着折起，使点运动到点处，且满足.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）取的中点，连接，由，进而，由，得. 进而平面,进而结论可得证（2）（方法一）过点作的平行线交于点，以点为坐标原点，所在直线
