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1、第06讲-平面向量与复数1、 高考热点牢记概念公式，避免卡壳1.复数zabi(a，bR)概念(1)分类：当b0时，zR；当b0时，z为虚数；当a0，b0时，z为纯虚数.(2)z的共轭复数abi.(3)z的模|z|.2.复数的四则运算法则(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i；(abi)(cdi)i(a，b，c，dR，cdi0).3.平面向量的有关运算(1)两个非零向量平行(共线)的充要条件：abab.两个非零向量垂直的充要条件：abab0|ab|ab|.(2)若a(x，y)，则|a|.(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.(4)若a(
2、x1，y1)，b(x2，y2)，为a与b的夹角，则cos .活用结论规律，快速抢分1.复数的几个常用结论(1)(1i)22i；(2)i，i；(3)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i.2.复数加减法可按向量的三角形、平行四边形法则进行运算.3.z|z|2|2.4.三点共线的判定三个点A，B，C共线，共线；向量，中三终点A，B，C共线存在实数，使得，且1.5.向量的几个常用结论(1)在ABC中，0P为ABC的重心.(2)在ABC中，P为ABC的垂心.(3)在ABC中，向量(0)所在直线过ABC的内心.(4)在ABC中，|P为ABC的外心.2、 真题再现1设，则=A2BCD1【答案】C【解
3、析】【分析】先由复数的除法运算（分母实数化），求得，再求【详解】因为，所以，所以，故选C【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算本题也可以运用复数模的运算性质直接求解2设z=i(2+i)，则=A1+2iB1+2iC12iD12i【答案】D【解析】【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据共轭复数的概念，写出【详解】，所以，选D【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求部分考生易出现理解性错误3设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】C【解析】【
4、分析】先求出共轭复数再判断结果.【详解】由得则对应点（-3，-2）位于第三象限故选C【点睛】本题考点为共轭复数，为基础题目4若，则（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】根据复数运算法则求解即可.【详解】故选D【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养采取运算法则法，利用方程思想解题5已知非零向量满足，且，则与的夹角为ABCD【答案】B【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角【详解】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B【点睛】对向
5、量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为6已知向量，则AB2C5D50【答案】A【解析】【分析】本题先计算，再根据模的概念求出【详解】由已知，所以，故选A【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错7已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=A-3B-2C2D3【答案】C【解析】【分析】根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.【详解】由，得，则，故选C【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基
6、础知识和基本技能，难度不大8已知向量，则_.【答案】【解析】【分析】根据向量夹角公式可求出结果.【详解】【点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键9已知向量=（4，3），=（6，m），且，则m=_.【答案】8.【解析】【分析】利用转化得到加以计算，得到.【详解】向量则.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.10已知为单位向量，且=0，若 ，则_.【答案】.【解析】【分析】根据结合向量夹角公式求出，进一步求出结果.【详解】因为，所以，所以，所以 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角渗透了
7、数学运算、直观想象素养使用转化思想得出答案3、 名校精选1复数的虚部为ABC1D2【答案】B【解析】【分析】利用复数的商的运算进行化简，然后由虚部的概念可得答案.【详解】,则复数z的虚部为-3，故选B【点睛】本题考查复数的商的运算及有关概念，需要注意a+bi的虚部为b，不要误写为bi.2设i是虚数单位，若复数，则（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】由可求出,代入原式计算即可.【详解】复数，则.故选A【点睛】本题主要考查复数的基本运算,难度容易.3在复平面内，复数满足，则复数在复平面内对应的点在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】A【解析】【分析】对条件中的式子进行计算化简
8、，得到复数，从而得到其在复平面对应的点的坐标，得到答案.【详解】由，得所以在复平面对应的点为，所以对应的点在第一象限.故选A项.【点睛】本题考查复数的计算，复平面的相关概念，属于简单题.4已知是虚数单位，若是纯虚数，则实数（ ）A1BCD【答案】B【解析】【分析】利用复数的乘法和除法运算，化简z，再令实部为0，即得解.【详解】由于若为纯虚数，则故选：B【点睛】本题考查了复数的基本概念和四则运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.5设为虚数单位，复数满足，则A1BC2D【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算，再由复数的模的计算公式求解即可【详解】由，得，故选【点睛】本
9、题主要考查复数代数形式的乘除运算以及复数的模的计算6如图，在中，是的中点，若，则实数的值是（ ）AB1CD【答案】C【解析】【分析】以 作为基底表示出，利用平面向量基本定理，即可求出【详解】分别是的中点，.又，.故选C.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及向量的线性运算，意在考查学生的逻辑推理能力7已知向量，满足，则（ ）ABC3D7【答案】B【解析】【分析】由，求解，再根据即得解.【详解】由于故选：B【点睛】本题考查了向量数量积在模长求解中的应用，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.8已知平面向量，则向量与的夹角的余弦值为（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】由向量的模的坐
10、标计算公式求出，利用数量积的坐标表示求出，再根据向量的夹角公式即可求出【详解】由，得.设向量与的夹角为，则故选：B【点睛】本题主要考查向量的夹角公式，向量的模的坐标计算公式，以及数量积的坐标表示的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题9已知向量若与方向相同，则等于( )ABCD【答案】D【解析】【分析】依题/，且与符号相同，运用坐标运算即可得到答案.【详解】因为与方向相同，则存在实数使，因为，所以，所以，解之得，因为，所以，所以.故答案选：D【点睛】本题考查共线向量的基本坐标运算，属基础题.10如图，在中，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为( )ABC3D【答案】D【解析】【分析
11、】运用平面向量基本定理，得到m的值，结合向量模长计算方法，建立等式，计算最值，即可【详解】 ，得到，所以，结合的面积为，得到,得到，所以，故选D【点睛】考查了平面向量基本定理，考查了基本不等式的运用，难度偏难11已知向量，若，则与的夹角为_【答案】【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合，可以求出的值，再根据平面向量夹角公式求出与的夹角.【详解】因为，所以，即，因此，设与的夹角为，因此有，因为，所以.【点睛】本题考查了平面向量夹角公式，考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了平面向量垂直的性质，考查了数学运算能力.12已知，是夹角为120的两个单位向量，则和的夹角的余弦值为_【
12、答案】【解析】【分析】首先利用数量积公式求得,利用夹角公式代入即可.【详解】设与的夹角为，因为，所以故答案为: .【点睛】本题考查单位向量的概念,向量数量积的计算公式及运算,向量的数乘运算.较易.13已知、为单位向量，则_.【答案】【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算律和定义计算，可得出结果.【详解】由于、为单位向量，则，且，因此，故答案为.【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算向量的模，在计算向量的模时，一般将向量的模进行平方，结合平面向量数量积的运算律和定义来进行计算，考查计算能力，属于中等题.s14已知向量，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】先求出与的坐标，再根据与夹角是锐角，则它们的数量积为正值，且它们不共线，求出实数的取值范围，【详解】向量，若与的夹角是锐角，则与不共线，且它们乘积为正值，即，且，求得，且【点睛】本题主要考查利用向量的数量积解决向量夹角有关的问题，以及数量积的坐标表示，向量平行的条件等条件的等价转化是解题的关键15在等腰中，已知底边，点为边的中点，点为边上一点且满足，若，则_【答案】【解析】【分析】根据已知条件求出和的值，然后以、为基底表示向量，利用平面向量数量积的运算律可计算出的值.【详解】为的中点，即，可得，.故答案为：【点睛】本题考查了向量的线性运算、数量积运算，解题的关键就是选择合适的基底来表示向量，考查计算能力
