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1、2 0 0 8年全国中考数学压轴题精选 六 51 08 湖南郴州27 题 本题满分10 分 如图10 平行四边形ABCD中 AB 5 BC 10 BC边上的 高AM 4 E为 BC边上的一个动点 不与B C重合 过E作直线AB的垂线 垂足为F FE与DC的 延长线相交于点G 连结DE DF 1 求证 BEF CEG 2 当点E在线段BC上运动时 BEF和 CEG的周长之间有什么关系 并说明你的理由 3 设BE x DEF的面积为 y 请你求出y和x之间的函数关系式 并求出当x为何值时 y有最 大值 最大值是多少 08 湖南郴州27 题解析 1 因为四边形ABCD是平行四边形 所以ABDG 1
2、分 所以 BGCEGBFE 所以BEFCEG 3 分 2 BEFCEG 与 的周长之和为定值 4 分 理由一 过点C作FG的平行线交直线AB于H 因为GF AB 所以四边形FHCG为矩形 所以FH CG FG CH 因此 BEFCEG 与 的周长之和等于BC CH BH 由BC 10 AB 5 AM 4 可得CH 8 BH 6 所以BC CH BH 24 6 分 理由二 由AB 5 AM 4 可知 在 Rt BEF与 Rt GCE中 有 4343 5555 EFBEBFBEGEECGCCE 所以 BEF的周长是 12 5 BE ECG的周长是 12 5 CE 又BE CE 10 因此BEFCE
3、G与的周长之和是24 6 分 3 设BE x 则 43 10 55 EFxGCx 所以 2 11 43622 10 5 22 55255 yEF DGxxxx 8 分 配方得 2655121 2566 yx 所以 当 55 6 x时 y有最大值 9 分 图 10 M B D C E F G x A A M x H G F E D CB 最大值为 121 6 10 分 52 08 湖南郴州28 题 本题满分10 分 如 图13 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 圆M 经 过 原 点O 且 与x轴 y轴 分 别 相 交 于 8 006AB 两点 1 求出直线AB的函数解析式 2 若有一抛物线的对
4、称轴平行于 y轴且经过点 M 顶点C 在 M上 开口向下 且经过点B 求 此抛物线的函数解析式 3 设 2 中的抛物线交x轴于 D E两点 在抛物线上是否存在点P 使得 ABCPDE SS 10 1 若存在 请求出点P的坐标 若不存在 请说明理由 08 湖南郴州28 题解析 解 1 设 AB的函数表达式为 bkxy 6 0 0 8BA 6 80 b bk 6 4 3 b k 直线 AB的函数表达式为 3 6 4 yx 3 分 2 设抛物线的对称轴与 M相交于一点 依题意知这一点就是抛物线的顶点C 又设对称轴与x轴相 交于点 N 在直角三角形AOB中 1068 2222 OBAOAB 因为 M经
5、过 O A B 三点 且为ABAOB 90 M的直径 半径MA 5 N 为 AO的中点 AN NO 4 MN 3 CN MC MN 5 3 2 C 点的坐标为 4 2 设所求的抛物线为cbxaxy 2 则 6 4 2 1 6 4162 4 2 c b a c cba a b 所求抛物线为 21 46 2 yxx 7 分 3 令 0 64 2 1 2 xx得 D E 两点的坐标为D 6 0 E 2 0 所以DE 4 又 AC 54 52BC直角三角形的面积 205452 2 1 ABC S 假设抛物线上存在点1 20 10 1 2 1 10 1 yyDESSyxp ABCPDE 即使得 当 64
6、1 241xyxy时 当时 故满足条件的存 在 它们是 1234 42 1 42 1 46 1 46 1PPPP 10 分 53 08 湖南湘潭26 题 本题满分10 分 已知抛物线 2 yaxbxc经过点A 5 0 B 6 6 和原点 1 求抛物线的函数关系式 2 若过点B的直线ykxb与抛物线相交于点C 2 m 请求出OBC的面积S的值 3 过点C作平行于x轴的直线交y轴于点D 在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上 任取一点P 过点P作直线PF平行于y轴交x轴于点F 交直线DC于点E 直线PF与直线DC及两 坐标轴围成矩形OFED 如图 是否存在点P 使得OCD与CPE相似 若存在
7、 求出点P的坐 标 若不存在 请说明理由 08 湖南湘潭26 题解析 解 1 由题意得 2550 3660 0 abc abc c 2 分 解得 1 5 0 a b c 3 分 故抛物线的函数关系式为 2 5yxx 4 分 2 C在抛物线上 2 252 6mm5 分 C点坐标为 2 6 B C在直线ykxb上 62 66 kb kb 解得3 12kb 直线BC的解析式为312yx 6 分 设BC与x轴交于点G 则G的坐标为 4 0 11 464624 22 OBC S 7 分 3 存在P 使得 OCD CPE 8 分 设 P m n 90ODCE 故2 6CEmEPn 若要 OCD CPE 则
8、要 ODDC CEEP 或 ODDC EPCE 即 62 26mn 或 62 62nm x y 4 6 C E P D B 5 1 2 4 6 F A G 2 2 解得203mn或123nm 又 m n在抛物线上 2 203 5 mn nmm 或 2 123 5 nm nmm 解得 1 2 2 1 10 2 3 650 9 m m n n 或 12 12 26 66 mm nn 故P点坐标为 10 50 39 和 6 6 10 分 只写出一个点的坐标记9 分 54 08 湖南永州 25 题 10 分 如图 二次函数y ax 2 bx c a 0 与坐标轴 交于点 A B C且 OA 1 OB
9、OC 3 1 求此二次函数的解析式 2 写出顶点坐标和对称轴方程 3 点 M N在y ax 2 bx c的图像上 点 N在点 M的右边 且 MN x 轴 求以MN为直径且与x轴相切的圆的半径 08湖 南 永 州25题 解 析 1 依 题 意 1 0 3 0 0ABC 分别代入 2 yaxbxc 解方程组得所求解析式为 2 23yxx 2 22 23 1 4yxxx 顶点坐标 14 对称轴1x 3 设圆半径为 r 当MN在x轴下方时 N点坐标 为 1 rr 把N点代入 2 23yxx得 117 2 r 9 分 同理可得另一种情形 117 2 r 圆的半径为 117 2 或 117 2 10 分
10、55 08 吉林长春27 题 分 已知两个关于x的二次函数 1 y与当xk时 2 17y 且二次函 数 2 y的图象的对称轴是直 22 2112 2 0 612yya xkkyyxx 线1x 1 求k的值 2 求函数 12 yy 的表达式 3 在同一直角坐标系内 问函数 1 y的图象与 2 y的图象是否有交点 请说明理由 08 吉林长春27 题解析 解 1 由 22 112 2612ya xkyyxx 得 2222 2121 612 2610 yyyyxxa xkxxa xk 又因为当xk时 2 17y 即 2 61017kk 解得 1 1k 或 2 7k 舍去 故k的值为1 2 由1k 得
11、222 2 610 1 1 26 10yxxa xa xaxa 所以函数 2 y的图象的对称轴为 26 2 1 a x a 于是 有 26 1 2 1 a a 解得 1a 所以 22 12 212411yxxyxx 3 由 2 1 1 2yx 得函数 1 y的图象为抛物线 其开口向下 顶点坐标为 12 由 22 2 24112 1 9yxxx 得 函 数 2 y的 图 象 为 抛 物 线 其 开 口 向 上 顶 点 坐 标 为 19 故在同一直角坐标系内 函数 1 y的图象与 2 y的图象没有交点 56 08 江苏盐城28 题 本题满分12 分 如图甲 在 ABC 中 ACB为锐角 点D为射线
12、 BC上一动点 连接AD 以 AD为一边且在AD的右 侧作正方形ADEF 解答下列问题 1 如果 AB AC BAC 90o 当点 D在线段 BC上时 与点 B不重合 如图乙 线段CF BD之间的位置关系为 数量关系为 当点 D在线段 BC的延长线上时 如图丙 中的结论是否仍然成立 为什么 2 如果 AB AC BAC 90o 点 D在线段 BC上运动 试探究 当 ABC 满足一个什么条件时 CF BC 点 C F 重合除外 画出相应图形 并说 明理由 画图不写作法 3 若 AC 42 BC 3 在 2 的条件下 设正方形ADEF的边 DE与线段 CF相交于点P 求线 段 CP长的最大值 08
13、 江苏盐城28 题解析 1 CF 与 BD位置关系是垂 直 数量关系是相等 当点 D在 BC的延长线上时 的结论仍成立 由正方形ADEF得 AD AF DAF 90o A B C D E F 第 28 题图 图甲图乙 F E DCB A F EDCB A 图丙 BAC 90o DAF BAC DAB FAC 又 AB AC DAB FAC CF BD ACF ABD BAC 90o AB AC ABC 45o ACF 45o BCF ACB ACF 90o 即CF BD 2 画图正确 当 BCA 45o 时 CF BD 如图丁 理由是 过点A作 AG AC 交 BC于点 G AC AG 可证
14、GAD CAF ACF AGD 45o BCF ACB ACF 90o 即 CF BD 3 当具备 BCA 45o 时 过点 A作 AQ BC交 BC的延长线于点Q 如图戊 DE与 CF交于点 P时 此时点D位于线段CQ上 BCA 45o 可求出AQ CQ 4 设 CD x DQ 4 x 容易说明 AQD DCP CPCD DQAQ 44 CPx x 2 21 2 1 44 x CPxx 0 x 3 当 x 2 时 CP有最大值1 57 08江西省卷 24题 本大题9分 已知 如图所示的两条抛物线的解析式分别是 2 1 1yaxax 2 2 1yaxax 其中a为常数 且0a 1 请写出三条
15、与上述抛物线有关的不同类型的结论 2 当 1 2 a时 设 2 1 1yaxax与x轴 分 别 交 于MN 两 点 M在N的 左 边 2 2 1ya xax与x轴分别交于EF 两点 E在F的左边 观察MNEF 四点坐标 请 写出一 个 你所得到的正确结论 并说明理由 3 设上述两条抛物线相交于AB 两点 直线 12 lll 都垂直于x轴 12 ll 分别经过AB 两点 l在直线 12 ll 之间 且l与两条抛物线分别交于CD 两点 求线段CD的最大值 08 江西省卷24 题解析 1 解 答案不唯一 只要合理均可 例如 抛物线 2 1 1yaxax开口向下 或抛物线 2 2 1yaxax开口向上
16、 抛物线 2 1 1yaxax 的对称轴是 1 2 x 或抛物线 2 2 1yaxax 的对称轴是 1 2 x 抛物线 2 1 1yaxax经过点 0 1 或抛物线 2 2 1yaxax经过点 01 抛物线 2 1 1yaxax与 2 2 1yaxax的形状相同 但开口方向相反 抛物线 2 1 1yaxax与 2 2 1yaxax都与x轴有两个交点 图丁 G A B C D E F 图戊 P Q A BCD E F y x A O B 抛物线 2 1 1yaxax经过点 11 或抛物线 2 2 1yaxax经过点 11 等等 3 分 2 当 1 2 a时 2 1 11 1 22 yxx 令 211 10 22 xx 解得21 MN xx 4 分 2 2 11 1 22 yxx 令 2 11 10 22 xx 解得12 EF xx 5 分 00 MFNE xxxx 点M与点F对称 点N与点E对称 0 MFNE xxxxMNEF 四点横坐标的代数和为0 33MNEFMNEF 或ME NF 6 分 3 0a 抛物线 2 1 1yaxax开口向下 抛物线 2 2 1yaxax开口向上 7 分
