四年级-数学笔记-下 .pdf

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1、一 四则运算 加法的意义 把两个数合并成一个数的运算 叫做加法 相加的两个数叫做加数 加得的数叫做 和 减法的意义 已知两个数的和与其中的一个加数 求另一个加数的运算 叫做减 法 在减法中 已知的和叫做被减数 加法各部分间的关系 和 加数 加数加数 和 另一个加数 减法各部分间的关系 差 被减数 减数减数 被减数 差被减数 减数 差 加减法间的关系 减法是加法的逆运算 乘法的意义 求几个相同加数的和的简便运算 叫做乘法 相乘的两个数叫做因数 乘得的数叫做 积 如果给数字赋予意义 加法中的连个加数之间的意义相同 而乘法中的两个因数 之间意义不同 例如 3 只羊和 5 只羊合起来一共8 只羊 算式

2、是3 5 8 这里的加数3 和 5 它们 指的都是羊的个数 二者意义相同 有 3 个小队 每个小队有5 只羊 总共的羊的数量是 3 x 5 15 这里的因数3 和 5 3 指的是 3 个队伍 5 指的是每个队伍有5 只羊 二者意义不同 除法的意义 已知两个因数的积与其中一个因数 求另一个因素的运算 叫做除 法 在除法中 已知的积叫做被除数 乘法各部分间的关系 积 因数 x 因数因数 积 另一个因数 除法各部分间的关系 商 被除数 除数除数 被除数 商被除数 商 x 除数 乘除法间的关系 除法是乘法的逆运算 0 在四则运算中的特性 1 加法中 一个数加上0 还得原数 如 5 0 5 2 减法中

3、一个数减去0 还得原数 如 9 0 9 3 乘法中 一个数和0 相乘 均得0 如 182 x 0 0 4 除法中 0 除以一个非0 的数 还得0 注 0 不能做除数 如 0 92 0 四则运算 加 减 乘 除四种运算统称为四则运算 运算顺序 1 没有括号的四则混合运算的算式中 先算乘 除法 后算加 减法 2 含有小括号的混合运算顺序是 先算小括号里面的 再算小括号外面的 括号里面 的算式运算顺序遵守上述第1 条 3 既有小括号 又有中括号 也叫方括号 的算式中 先算小括号里面的 再算中括 号里面的 最后算中括号外面的 例 96 32 16 x 2 推理出图示方式 分析 最先计算 32 16 故

4、 32 和 16 应该在图的最顶部 32 16 计算结果看成整体 X 这是运算的第二步 故计算结果和2 放在图的第二层 96 除以 x2 运算后的结果 这是整体运算的第三步 放在图的第三层 根据图示反推算式 就是上述分析的逆过程 图示表达式中 从上到下分为不同的 层 每一层代表一步计算顺序 从上到下依次进行 这与先乘除后加减 先算括号内 再算括号外的规则一一对应 租船策略问题 一共 32 人 大船限乘6 人 每船租金30 元 小船限乘4 人 每船租金24 元 问如何 租船最省钱 两条原则 1 优先选择单价最便宜的方式 2 尽可能保证没有空位 寻找租船方案时 每一步都要按同时满足上述2 条原则的

5、方法进行 当出现同时满足 2 条原则时 该方案即为最优方案 大船租金 30 元 限乘 6 人 相当于平均每人5 元 30 6 5 小船租金 24 元 限乘 4 人 相当于平均每人6 元 24 4 6 大船人均单价比小船人均单价便宜 按照原则1 需要优先选择大船 总人数 32 人方案 1方案 2方案 3 大船数限 6 人租金 306 条5 条4 条 小船数限 4 人租金 240 条1 条2 条 大船剩余空位数4 位0 位0 位 小船剩余空位数0 位2 位0 位 实际总租金6x30 1805x30 24 1744x30 2x24 168 到方案 3 时 同时满足了2 条原则 所以方案3 计算出的总

6、租金是最便宜的 门票策略问题 一共 32 人 其中成人4 人 儿童 28 人 按下列门票规则 如何买最划算 公园门票 成人票20 元 人 儿童票10 元 人 团体票15 元 人 满 5 人以上 一条原则 尽可能选择便宜的票价 与租船问题差异 租船以船 可坐若干人 为单位整体付租金 可能产生空位 而门 票问题直接按人付费 不可能产生空位 各自买对应的票价 总票价 4 x 20 28 x 10 80 280 360 元 团体票更便宜 全选团体票 总票价 32 x 15 480 元 32 16 48 2 9696 方案 中成人选择了便宜的团体票价 但儿童却选择了更贵的团体票 所以总票款 更贵了 如果

7、儿童选择儿童票 成人选择团体票 那就可以让不同的人都选择更便 宜的票价 总票价 4 1 x15 28 1 x10 75 270 345 元 二 观察物体 二 一句话 多观察 同时在脑海中建立起立体的空间想象图形 前视图上视图左视图立体图 三 运算定律 加法 交换律 两个数相加 交换加数的位置 和不变 加法 结合律 三个数相加 先把前两个数相加 或者先把后两个数相加 和不变 乘法 交换律 两个数相乘 交换两个因数的位置 积不变 乘法 结合律 三个数相乘 先乘前两个数 或者先乘后两个数 积不变 乘法 分配律 两个数的和与一个数相乘 可以先把它们与这个数分别相乘 再相 加 减法 的运算性质 1 一个

8、数连续减去两个数 等于减去这两个数的和 2 在连减运算中 任意交换两个减数的位置 差不变 除法 的运算性质 1 一个数连续除以两个数 可以用这个数除以两个除数的积 2 在连除运算中 任意交换除数的位置 商不变 运算定律表达公式特征 加法交换律a b b a 1 纯加法算式 2 减法没有交换律 乘法交换律a x b b x a 1 纯乘法算式 2 除法没有交换律 加法结合律 a b c a b c 纯加法算式 乘法结合律 a x b x c a x b x c 纯乘法算式 乘法分配律 a b x c a x c b x c a x b c a x b a x c 1 符号 指加法或减法 2 乘法

9、与加法 或减法 的混合算式 3 公因数写在括号前或后均可 减法性质 a b c a b c a b c a c b a b c a c b a b c a c b 1 纯加减法算式 2 加 或去 括号时 若括号前是减 号 括号内的运算符号要同级变号 如 变成 变成 若括号前是加 号 括号内的运算符号不变 3 后三个公式表示的实际是交换律的性 质 需要注意的是数字要和它前面的 符号一起交换 如 b c 变为 c b 除法性质 a b c a b x c a b c a c b a x b c a c x b a b x c a x c b 1 纯乘除法算式 2 加 或去 括号时 若括号前是除 号

10、 括号内的运算符号要同级变号 如 x 变成 变成x 若括号前 是乘号 括号内的运算符号不变 3 后三个公式表示的实际是交换律的性 质 需要注意的是数字要和它前面的 符号一起交换 如 xb c 变为 cxb 学习运算定律的意义 即使没有运算定律 一样可以对算式进行加减乘除运算 但 是掌握了运算定律 可以简化运算 降低计算错误的可能性 提高运算效率 加减法巧算法 1 凑整法 观察算式中哪几个数可以凑成整十整百 利用加法交换律 加法结合律以 及减法的运算性质 进行巧算 例 115 132 118 85 66 34 115 85 132 118 66 34 200 250 100 350 2 分解法

11、观察算式中数字的特点 如果不能用凑整法 但是个别数字接近整十 整百 该数字可以分解为整十整百和另一个数的差 或和 从而简化计算 例 198 1997 204 200 2 2000 3 200 4 200 2000 200 2 3 4 2400 5 4 2400 1 2399 乘除法巧算法 1 提取公因数 观察算式中所有数字的特点 如果发现有公因数 可以利用乘法分配 律来提取公因数 简化计算 例 1 36 x 29 36 36 x 29 36 x 1 36 x 29 1 36 x 30 1080 例 2 666 x 444 333 x 112 333 x 2 x 444 333 x 112 33

12、3 x 2 x 444 112 333 x 888 112 333 x 1000 333000 2 凑整法 观察算式中数字的特征 如果发现不同数字间有整数倍的关系 或者凑整 的情况 可以利用乘法交换律等方法 简化计算 例 146 x 21 73 x 25 x 4 146 73 x 21 x 25 x 4 42 x 100 4200 3 分解法 观察算式中数字的特点 如果存在特殊运算情况 可以分解数字 使算式 出现特殊运算情况 从而简化计算 例 1 12 x 25 3 x 4 x 25 3 x 4 x 25 3 x 100 300 例 2 12 x 25 10 2 x 25 10 x 25 2

13、x 25 250 50 300 四 小数的意义和性质 小数的组成 由整数部分 小数点 和小数部分 三部分组成 小数的必要性 现实生活中的很多数字都不是整数 比如课桌的高度是1 米多 这 就需要用小数来表达 小数和分数 小数是分数的另一种表示形式 分母是 10 的分数改写为小数时 小数点后有1 位小数 如 7 10 分母是 100 的分数改写为小数时 小数点后有2 位小数 如 34 100 10 份里涂色部分占7 份 所以是7 10 或者 小数的意义 分母是 10 100 1000 的分数可以用小数表示 小数的计数单位 计数单位是十分之一 百分之一 千分之一 分别写 作 每相邻两个计数单位之间的

14、进率是10 小数的读法和写法 有关 0 的读法 整数部分每级末尾的 0 不读 中间无论有几个 0 都只读一个 零 小数部分有几个 0 都要依次读出来 整数部分小数点小数部分 举例 1 8 5 63 12 378 数位 万 位 千 位 百 位 十 位 个 位 十分 位 百分 位 千分 位 万分 位 计数 单位 万千百十一 十分 之一 百分 之一 千分 之一 万分 之一 表示 含义 几 个 万 几 个 千 几 个 百 几 个 十 几 个 一 几个 十分 之一 几个 百分 之一 几个 千分 之一 几个 万分 之一 整数部分最小的数位是个位 整数部分没有最大的数位 小数部分最大的数位是十分位 小数部分

15、没有最小的数位 小数的性质 小数的末尾添上 0 或去掉 0 小数的大小不变 但意义发生改变 小数的大小比较 先比较整数部分 整数部分大的那个数就大 整数部分相同 就比较十分位 十分位上的数大的那个数就大 十分位上的数也相同 就比较百分位 百分位上的数大的那个数就大 小数的大小比较整数的大小比较 相同点从高位开始逐一比较 高位上的数大 这个数就大 不同点小数的大小与小数位数的多少无关整数数位多的数一定比数位少的数大 小数点移动 10 倍100 倍1000 倍1 101 1001 1000 右移 1 位右移 2 位右移 3 位左移 1 位左移 2 位左移 3 位 小数与单位换算中的进率问题 小数的

16、不同数位中 相邻数位间的进率是10 带有单位的小数在进行单位换算时 要注意不同单位间的进率是不是10 如果不同单位间的进率也是10 那么它们可以和小数的不同数位进行一一对应 例如 元角分相邻单位间进率是10 元 9元 2 角 8 分 如果不同单位间的进率不是10 就不能和小数数位一一对应 而要按单位间的进率进 行换算 例如 吨和公斤间的进率是1000 吨 9 吨 吨 9 吨 280 公斤 小数与单位换算中的换算方向 举例说明 1 元和 10 角是等价的 1 元就像是零散的10 角的一个大包装 大小单位间 的换算 就像把东西组成大包装或者从大包装里拆出零散的小包装一样 对 1 元和 10 角进行等价换算 元 的大包装换成 角 的小包装时 包装 单位 变小 数量 数字 就会变大 反过来 包装 单位 变大 数量 数字 就会变 小 大单位变为小单位 数字会变大 需要乘以进率 小单位变为大单位 数字会变小 需要除以进率 例如 米 和 厘米 间的进率是100 6 米换为 厘米时 单位变小 数字需要变 大 6 需要乘以进率100 所以 6 米 600厘米 吨 和 公斤 间的进率是1000 3000