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1、第三章 数值积分与数值微分 3 3 外推原理与外推原理与Romberg求积法求积法 3 3 2 Romberg 3 3 2 Romberg 求积法求积法求积法求积法 3 3 1 3 3 1 外推原理外推原理外推原理外推原理 第三章 数值积分与数值微分 3 3 外推原理与外推原理与Romberg求积法求积法 学习目标 理解外推原理 会运用 学习目标 理解外推原理 会运用Romberg求积 法 求积 法 第三章 数值积分与数值微分 在科学与工程计算中 很多算法与步长在科学与工程计算中 很多算法与步长h有关 特别是数值积分 数值微分和微分方程数值解的问题 对于这些算法 我们可以通过 外推技巧提高计算
2、精度 先看一个计算 有关 特别是数值积分 数值微分和微分方程数值解的问题 对于这些算法 我们可以通过 外推技巧提高计算精度 先看一个计算 的近似值的例子 由函数的近似值的例子 由函数 sinx的的Taylor展开式有展开式有 5 3 sin 4 5 2 3 L nnn n 若记则有若记则有 6 sin6 6 hFh L L 42 42 16 1 1204 1 62 1206 hh h F hhhF 3 3 1 外推原理外推原理 3 3 外推原理与外推原理与Romberg求积法求积法 第三章 数值积分与数值微分 由此构造新的表达式 由此构造新的表达式 L 4 1 4 1 1203 2 4 h h
3、F h F hF 4 hO 可见 计算 的近似值的算法可见 计算 的近似值的算法F h 的截断误差是 而算法 的截断误差是 外推一次 精度提高了 这就是外推法的基本 思想 的截断误差是 而算法 的截断误差是 外推一次 精度提高了 这就是外推法的基本 思想 2 hO hF 1 若重复以上过程 不断外推 即不断折半步长若重复以上过程 不断外推 即不断折半步长h 得到计算 的 算法序列 随着 得到计算 的 算法序列 随着k的增加 算法的截断误差越来越高 计算精 度越来越好 的增加 算法的截断误差越来越高 计算精 度越来越好 hFk 第三章 数值积分与数值微分 可将外推思想推广到一般情况 设可将外推思
4、想推广到一般情况 设F h 是计算是计算F 0 的一种近似算式 带截断误差的表示式为 的一种近似算式 带截断误差的表示式为 0pshOhaFhF sp p 其中 与其中 与p无关无关 p a 如果我们用如果我们用h和和h q q 1 两种步长分别计算 两种步长分别计算F h 和和 h q 则有 则有 0 sp p hO q h aF q h F 消去截断误差的主项 得新的算法消去截断误差的主项 得新的算法 0 1 1 s P P hOF q hF q h Fq hF 我们称这个过程为我们称这个过程为Richardson外推法外推法 这里 这里 逼近逼近F 0 的截断误 差是 的截断误 差是 h
5、F 1 s hO 第三章 数值积分与数值微分 只要知道只要知道 F h 的更加完整的关于的更加完整的关于h幕的展开式 而无需知道展 开式中各个系数的具体数值 就能重复使用 幕的展开式 而无需知道展 开式中各个系数的具体数值 就能重复使用Richardson 外推法 直 到截断误差达到容许误差 用归纳法可以证明下面更一般的定理 外推法 直 到截断误差达到容许误差 用归纳法可以证明下面更一般的定理 定理定理 3 4假设假设F h 逼近逼近F 0 的余项为 其中 是与 的余项为 其中 是与h 无关的非零常数 则由 无关的非零常数 则由 0 321 321 L ppp hahahaFhF LL 2 1
6、 321 1 hFn 0 21 2 1 L nn pn n pn nn hahaFhF 2 1 L ka n kn Richardon外推法应用非常广泛和有效外推法应用非常广泛和有效 下面应用于数值积分下面应用于数值积分 第三章 数值积分与数值微分 3 3 2 Romberg 3 3 2 Romberg 求积法求积法求积法求积法 先给出先给出Romberg求积法的基础求积法的基础 即对于计算积分即对于计算积分I I f 的复化梯形公 式 的复化梯形公 式T h 其余项为其余项为 1 212 12 1 2 2 m kkk m k k rhbfaf k hTI B 3 3 2 3 3 2 其中其中
7、 为为Bernoulli常数常数 k B2 22 22 22 22 1 bahfab m B r mm m m 在外推算法 在外推算法 3 3 1 中 取由余项 中 取由余项 3 3 2 可得著名的 可得著名的 Romberg求积方法求积方法 2 2kpq k 第三章 数值积分与数值微分 ikm iab j af ab bfaf ab m k m k m m k m j ii i i TT T T T T i LL L 2 1 2 1 14 4 2 1 2 12 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 0 1 1 其中 表示将积分区间其中 表示将积分区间 a b 作等分相应的的复化梯形
8、公式 求和项包括了每次等份后新增加点上的函数值 表示第 作等分相应的的复化梯形公式 求和项包括了每次等份后新增加点上的函数值 表示第m次外 推所得的计算值 次外 推所得的计算值 T i 12 i T k m 1 可以验证 可以验证 m 1时 所得外推值就是复化时 所得外推值就是复化Simpson 公式的计算值 对给定的精确标准 我们可由公式的计算值 对给定的精确标准 我们可由 TTTTT TTT TT TTTTT T ff f ff x x xf 解解 TTTT 0 4 1 3 2 2 3 1 和 还没有满足精度要求 需继续进行外推 接着再计算 于是得到计算结果如表 还没有满足精度要求 需继续进行外推 接着再计算 于是得到计算结果如表3 4 第三章 数值积分与数值微分 由此看出 步长折半由此看出 步长折半3次 复化梯形公式只达到次 复化梯形公式只达到2位有效数字 而 经 位有效数字 而 经3次外推后达次外推后达6位有效数字位有效数字 表表表表3 3 4 4 0 9456909 3 0 94608330 9445135 2 0 946 8310 94608690 9397933 1 0 94608300 94608300 94614590 9207355 0 k
