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1、3 1变化率与导数 为了描述现实世界中运动 变化着的现象 在数学中引入了函数 随着对函数的研究的不断深化 在十七世纪中叶产生了微积分 它是数学史上继欧式几何后的又一个具有划时代意义的伟大创造 被誉为数学史上的里程碑 微积分的创立与处理四类科学问题直接相关 一 已知物体运动的路程作为时间的函数 求物体在任意时刻的速度与加速度 反之 已知物体的加速度作为时间的函数 求速度与路程 二 求曲线的切线 三 求函数的最大值与最小值 四 求长度 面积 体积和重心等 几百年中 科学家们对这些问题的兴趣与研究经久不衰 终于 在十七世纪中叶 牛顿和莱布尼兹在前人探索与研究的基础上 凭着他们敏锐的直觉和丰富的想象力
2、 各自独立地创立了微积分 1646 7 1 1716 11 14 1643 1 4 1727 3 31 牛顿 莱布尼兹发明微积分 自笛卡儿创立解析几何之后 变量进入数学 下一个划时代的数学成就便是微积分的诞生 费尔玛是最早应用了微分学方法的一位学者 1629年 他在 求最大值最小值的方法 一文中 用一个例子说明他的方法 问题是 已知一条线段 要求出其上一点 使被该点分成的直线段的两部分 所构成的矩形面积最大 他设线段长为B 一部分为A 另一部分为B A 矩形面积为AB A2 然后用A E代A 令一部分为B A E 矩形面积遂成为 A E B A E 费尔玛认为 当A的长度恰为最大值时 这两个值
3、应相等 运用了几何观察 即 A E B A E AB A2 这可整理为BE 2AE E2 0 约去E 得B 2A E 略去E 得B 2A 这就是说正方形将获得最大面积 这一想法 与微分学的想法非常接近 英国数学家巴罗 是牛顿的老师 他提出用微分三角形来求切线 其基本思想和费尔玛差不多 也是先将x扩充为x 然后带入函数 最后再略去 积分学的工作 由求面积开始 阿基米德就求过抛物线下的弓形面积 刘徽的割圆术 也是同一思想 更有系统的工作的由开普勒 把曲边形看边数无限增大的直线形 圆的面积就是无穷多个三角形的面积之和 意大利数学家卡瓦列里把曲线看成无限多条线段拼成的 这些 都为微积分学的诞生做了思想
4、上的准备 牛顿关于微积分的手稿表明 他在1665年已经用 0 表示无限小增量 求出瞬时变化率 后来 牛顿把变量x称为流量 x的瞬时变化率称为流数 整个微积分学就称为流数术 1687年牛顿发表了他的巨著 自然哲学的数学原理 该书是第一本公开载有牛顿微积分思想的书 他的第一部关于微积分的专著 运用无穷多项的分析学 发表在1669年 莱布尼兹在1675年到1676年间发明了无穷小算法 他通过几何上求曲线切线的研究得到一般的微分理论 把切线斜率看成是无限小增量dy和dx之比 他引用符号表示变量的求和过程 并看到d和是互逆的运算 1676年 他给出了一般性的法则 牛顿从力学着眼 考虑变量的运动速度 流数
5、 莱布尼兹则从几何上入手 偏重运算法则的探讨 他发明的符号d和一直沿用至今 牛顿 莱布尼兹超越前人的贡献 不是在于发现求切线和求面积的具体方法 而是给出了一般的无穷小算法 同时又找出了微分和积分之间的互逆关系 这一深刻的思想 已成为人类文明中的瑰宝 导数是微积分的核心概念之一 它是研究函数增减 变化快慢 最大 小 值等问题的最一般 最有效的工具 导数研究的问题即变化率问题 研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度 本章我们将利用丰富的背景与大量实例 学习导数的基本概念与思想方法 问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程 可以发现 随着气球内空气容量的增加 气球的半径增加越来越慢 从
6、数学角度 如何描述这种现象呢 气球的体积V 单位 L 与半径r 单位 dm 之间的函数关系是 如果将半径r表示为体积V的函数 那么 思考 这一现象中 哪些量在改变 变量的变化情况 我们来分析一下 当V从0增加到1时 气球半径增加了气球的平均膨胀率为 当V从1增加到2时 气球半径增加了气球的平均膨胀率为 显然0 62 0 16 随着气球体积逐渐变大 它的平均膨胀率逐渐变小 思考 当空气容量从V1增加到V2时 气球的平均膨胀率是多少 问题2高台跳水 在高台跳水运动中 运动员相对于水面的高度h 单位 米 与起跳后的时间t 单位 秒 存在函数关系h t 4 9t2 6 5t 10 如何用运动员在某些时
7、间段内的平均速度粗略地描述其运动状态 请计算 h t 4 9t2 6 5t 10 平均变化率定义 若设 x x2 x1 f f x2 f x1 则平均变化率为 这里 x看作是对于x1的一个 增量 可用x1 x代替x2同样 f y f x2 f x1 上述问题中的变化率可用式子表示 称为函数f x 从x1到x2的平均变化率 1 式子中 x y的值可正 可负 但 x的值不能为0 y的值可以为0 2 若函数f x 为常函数时 y 0 理解 3 变式 1 函数的平均变化率 2 求函数的平均变化率的步骤 1 求函数的增量 f y f x2 f x1 2 计算平均变化率 观察函数f x 的图象平均变化率表
8、示什么 思考 f x2 f x1 x2 x1 直线AB的斜率 例 1 计算函数f x 2x 1在区间 3 1 上的平均变化率 2 求函数f x x2 1的平均变化率 1 解 y f 1 f 3 4 x 1 3 2 2 解 y f x x f x 2 x x x 2 练习 3 已知函数f x x2 x的图象上的一点A 1 2 及临近一点B 1 x 2 y 则 y x A 3B 3 x x 2C 3 x 2D 3 x D A 做两个题吧 1 已知函数f x x2 x的图象上的一点A 1 2 及临近一点B 1 x 2 y 则 y x A 3B 3 x x 2C 3 x 2D 3 x D 2 求y x
9、2在x x0附近的平均变化率 2x0 x 练习 5 过曲线y f x x3上两点P 1 1 和Q 1 x 1 y 作曲线的割线 求出当 x 0 1时割线的斜率 小结 1 函数的平均变化率 2 求函数的平均变化率的步骤 1 求函数的增量 f y f x2 f x1 2 计算平均变化率 二 新课讲授1 瞬时速度 当 t 0 01时 当 t 0 01时 当 t 0 001时 当 t 0 001时 当 t 0 0001时 当 t 0 0001时 t 0 00001 t 0 00001 t 0 000001 t 0 000001 当 t趋近于0时 平均速度有什么变化趋势 定义 函数y f x 在x x0
10、处的瞬时变化率是 称为函数y f x 在x x0处的导数 记作 或 即 由导数的定义可知 求函数y f x 的导数的一般方法 求函数的改变量2 求平均变化率3 求值 一差 二比 三极限 例1 求y x2在点x 1处的导数 解 f x x2 7x 15 0 x 8 计算x 2和x 6时的导数 根据导数的定义 所以 同理可得 例1 由导数的意义可知 求函数y f x 在点x0处的导数的基本方法是 在不致发生混淆时 导函数也简称导数 什么是导函数 由函数f x 在x x0处求导数的过程可以看到 当x x0时 f x0 是一个确定的数 那么 当x变化时 f x0 便是x的一个函数 我们叫它为f x 的
11、导函数 即 1 曲线的切线 如图 曲线C是函数y f x 的图象 P x0 y0 是曲线C上的任意一点 Q x0 x y0 y 为P邻近一点 PQ为C的割线 PM x轴 QM y轴 为PQ的倾斜角 P Q 割线 切线 T 请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时 割线PQ绕着点P逐渐转动的情况 我们发现 当点Q沿着曲线无限接近点P即 x 0时 割线PQ有一个极限位置PT 则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线 设切线的倾斜角为 那么当 x 0时 割线PQ的斜率 称为曲线在点P处的切线的斜率 即 这个概念 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法 切线斜率的本质 函数平均变化率的极限 注意 曲线在某点处
12、的切线 1 与该点的位置有关 2 要根据割线是否有极限位置来判断与求解切线 因此 切线方程为y 2 2 x 1 即y 2x 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤 1 先利用切线斜率的定义求出切线的斜率 2 利用点斜式求切线方程 变式 设f x 为可导函数 且满足 求曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线的斜率 故所求的斜率为 2 例2 已知曲线上一点P 1 2 用斜率的定义求过点P的切线的倾斜角和切线方程 故过点P的切线方程为 y 2 1 x 1 即y x 1 练习 求曲线上一点P 1 1 处的切线方程 答案 y 3x 4 练习 如图已知曲线 求 1 点P处的切线的斜率 2 点P处的切线方程 即点P处的切线的斜率等于4 2 在点P处的切线方程是y 8 3 4 x 2 即12x 3y 16 0 练习 练习1 设函数f x 在点x0处可导 求下列各极限值 练习2 设函数f x 在点x a处可导 试用a f a 和 例2 设函数f x 在点x0处可导 求下列各极限值 分析 利用函数f x 在点x0处可导的条件 将题目中给定的极限恒等变形为导数定义的形式 注意在导数定义中 自变量的增量 x的形式是多样的 但不论 x选择哪种形式 y也必须选择与之相对应的形式
