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1、第四节 矩阵的奇异值分解 我们知道，若A是Hermite矩阵，即AH=A，则存在酉矩阵U，使UHAU=U-1AU=diag(l1，l2，ln)其中li（i=1，2，n）为A的特征值。对于一般的矩阵，有与之相仿的结论。 定义1 设ACrmn，记Hermite矩阵AHA的n个特征值(因为Hermite矩阵的特征值都是非负实数)为l1l2lrlr+1=ln=0，则称（i=1，2，,n）为A的奇异值。易知，A的奇异值的个数等于A的列数（因为AHA Crmn）, A的非零奇异值的个数等于A的秩。因为由本节开始知 例知，对于矩阵 ，所以A的奇异值为,又如，Hermite矩阵的奇异值为其特征值的绝对值，即s
2、i=|li|。（因为AHA=A2，所以AHA的特征值是A的特征值的平方。） 定理 设ACrmn（r0）的非零奇异值为s1，s2，sr，记=diag（s1，s2，sr），则存在酉矩阵UCmm、VCnn，使得 （2） 证明 由AHA是Hermite矩阵知，存在酉矩阵VCnn使得这里li0（i=1，r）和li=0（i=r+1，n）是AHA的特征值，令V=（V1|V2），V1Cnr，V2Cn(n-r)，上式可写为即 比较两边主对角块，得，或 ，AV2=O若记 U1=AV1-1，则上式说明 U1Cmr的r个列向量u1，u2，ur是两两酉交的单位向量，把它们扩充为Cm的一个标准正交基，并记添加的向量为ur
3、+1，um，令U2=（ur+1，um）,则有U2HU1=O。(因为酉交)。令U=（U1|U2），可以得到也就是把上式写成 (3)称(3)式为A的奇异值分解。 注1： 从得即 所以是的非零特征值对应的酉交单位特征向量构成的矩阵；从， 所以说明是的零特征值对应的酉交单位特征向量构成的矩阵。注2：求奇异值分解步骤。求的特征值，求A的奇异值，写出; 求, 写出;求U1=AV1-1; 扩充U1为酉矩阵U=（ U1| U2），写出例 求矩阵A的奇异值分解,其中 。 解 因ATA的特征值为l1=4，l2=l3=0，故A的奇异值为s1=2，s2=s3=0 ，所以 =2 。 AHA的对应于l1=4的单位特征向量为对应于l2=l3=0的两个正交的单位特征向量为 于是所以可取，使U=（U1|U2）为正交矩阵，便得A的奇异值分解4
